Artykuł Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Jak istnieją liczby?

Co mamy na myśli, mówiąc, że jakieś twierdzenie matematyczne jest prawdziwe? Zgodnie z klasyczną koncepcją prawdy oznacza to po prostu, że jest ono zgodne z rzeczywistością. Czym jednak może być owa rzeczywistość, o której orzekają zdania matematyczne? O czym mówią zdania „2 + 2 = 4” czy „Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych”? Jakiej rzeczywistości dotyczą?

Najnowszy numer: Zrozumieć emocje

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Nume­ry dru­ko­wa­ne moż­na zamó­wić onli­ne > tutaj. Pre­nu­me­ra­tę na rok 2017 moż­na zamó­wić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 28 kwietnia w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobro­wol­nie WESPRZEĆ naszą ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą, klik­nij „TUTAJ”.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 3 (15), s. 15–16. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Rzeczywistość matematyczna?

Z pew­no­ścią nie jest to rze­czy­wi­stość przy­po­mi­na­ją­ca świat fizycz­ny. Obiek­ty takie jak licz­by natu­ral­ne z pew­no­ścią nie przy­po­mi­na­ją krze­seł i sto­łów. Są byta­mi abs­trak­cyj­ny­mi – a pod­sta­wo­wa cha­rak­te­ry­sty­ka obiek­tów abs­trak­cyj­nych jest taka, iż nie są one zlo­ka­li­zo­wa­ne w cza­sie i prze­strze­ni. Nie mają więc sen­su pyta­nia „Gdzie jest dzi­siaj licz­ba 5?” albo „Czy licz­ba π (pi) zmie­ni­ła w cią­gu ostat­nich 24 godzin swo­je miej­sce poby­tu?”. Obiek­ty abs­trak­cyj­ne – jeśli ist­nie­ją – ist­nie­ją w inny spo­sób lub – mówiąc facho­wo – mają inny sta­tus ontycz­ny.

Czy jed­nak pogląd, iż takie obiek­ty ist­nie­ją, ma sens? Zdro­wy roz­są­dek pod­po­wia­da nam, że ist­nie­ją sto­ły i krze­sła, a wia­ra w rze­tel­ność naukow­ców – że ist­nie­ją tak­że geny i neu­tri­na. Na jakiej jed­nak pod­sta­wie mie­li­by­śmy sądzić, że ist­nie­ją nie tyl­ko (widzial­ne) sto­ły i krze­sła oraz (nie­wi­docz­ne gołym okiem) geny i neu­tri­na –
lecz rów­nież abs­trak­cyj­ne licz­by natu­ral­ne? Do nich prze­cież nie może­my mieć podob­ne­go dostę­pu poznaw­cze­go jak do naj­bar­dziej nawet wyra­fi­no­wa­nych obiek­tów fizy­ki.

Matematyczny realizm (platonizm)

Mate­ma­tycz­ny reali­sta twier­dzi, iż moż­na podać roz­sąd­ne argu­men­ty na rzecz ist­nie­nia takich bytów. Jego zda­niem mate­ma­ty­ka opi­su­je ist­nie­ją­cą nie­za­leż­nie od nas rze­czy­wi­stość. Jest to wła­śnie opis, a nie two­rze­nie owej rze­czy­wi­sto­ści. Z punk­tu widze­nia reali­sty mate­ma­tyk jest raczej odkryw­cą niż twór­cą. Mate­ma­tyk nie ma wpły­wu na to, że liczb pierw­szych jest nie­skoń­cze­nie wie­le, zaś po każ­dej licz­bie nie­pa­rzy­stej poja­wia się parzy­sta. Jest tak rów­nież w wypad­ku bar­dziej wyra­fi­no­wa­nych obiek­tów niż licz­by natu­ral­ne. Nie ist­nie­je licz­ba rze­czy­wi­sta, któ­ra pod­nie­sio­na do kwa­dra­tu daje w wyni­ku –1 (bo prze­cież x2 > 0, gdy tyl­ko x ≠ 0 – to jest ele­men­tarz!). Nie­któ­re z tych twier­dzeń nie­sły­cha­nie trud­no jest udo­wod­nić, a z nie­któ­ry­mi pro­ble­ma­mi mate­ma­ty­cy zma­ga­ją się od stu­le­ci i wciąż nie wie­dzą, jak jest napraw­dę. Wie­rzą jed­nak, że roz­wią­za­nie takie­go otwar­te­go pro­ble­mu mate­ma­tycz­ne­go nie ma cha­rak­te­ru „towa­rzy­skiej czy poli­tycz­nej umo­wy” – te pyta­nia mają obiek­tyw­ną odpo­wiedź, któ­ra po pro­stu cze­ka na swo­je odkry­cie.

Nominalizm

Prze­ciw­nik reali­sty – czy­li nomi­na­li­sta – odrzu­ca ist­nie­nie obiek­tów mate­ma­tycz­nych. Uwa­ża on, że wszel­kie argu­men­ty, jakie może sfor­mu­ło­wać reali­sta, są mało prze­ko­nu­ją­ce. Zda­nia mate­ma­tycz­ne (takie jak „7 + 5 = 12”) mają w jego oce­nie cha­rak­ter prawd tyl­ko kon­wen­cjo­nal­nych: po pro­stu uma­wia­my się, że będzie­my posłu­gi­wać się okre­ślo­ny­mi ter­mi­na­mi w dany spo­sób – ale jest to pew­ne­go rodza­ju gra. Moż­na powie­dzieć: mate­ma­ty­ka to szcze­gól­ne­go typu baj­ka, tyle że jej boha­te­ra­mi nie są smo­ki i kra­sno­lud­ki, lecz licz­by natu­ral­ne (i bar­dziej zło­żo­ne byty). Praw­dzi­wość zda­nia mate­ma­tycz­ne­go zna­czy jedy­nie: „w ramach przy­ję­tych kon­wen­cji pew­ne zda­nia przyj­mu­je­my jako praw­dzi­we”.

Nie­któ­rzy auto­rzy wręcz porów­nu­ją mate­ma­ty­kę do swo­istej „gry w uda­wa­nie”: uda­je­my, że ist­nie­ją licz­by i że praw­dzi­we są pew­ne zało­że­nia doty­czą­ce tych liczb. Mając do dys­po­zy­cji logi­kę, może­my wte­dy udo­wod­nić pew­ne twier­dze­nia – np. wła­śnie takie, że ist­nie­je nie­skoń­cze­nie wie­le liczb pierw­szych. Jed­nak o praw­dzi­wo­ści moż­na mówić tyl­ko w takim „uda­wa­nym” sen­sie.

Matematyczna gra pozorów?

Poja­wia się natu­ral­ne pyta­nie: po co mie­li­by­śmy upra­wiać taką mate­ma­tycz­ną grę pozo­rów, a ową mate­ma­tycz­ną baj­kę nazy­wać „kró­lo­wą nauk”? Otóż owe mate­ma­tycz­ne fik­cje są bar­dzo uży­tecz­ne. Jak wspo­mnie­li­śmy na począt­ku, trud­no wyobra­zić sobie poważ­nie upra­wia­ną naukę bez mate­ma­ty­ki. Instru­men­ta­rium mate­ma­tycz­ne jest pod­sta­wą fizy­ki, a nie­któ­rzy naukow­cy sami nie­mal­że nie wie­dzą, czy zaj­mu­ją się fizy­ką, czy mate­ma­ty­ką… Np. zmia­na w cza­sie jest opi­sy­wa­na za pomo­cą mate­ma­tycz­ne­go poję­cia pochod­nej. Aby racjo­nal­nie osza­co­wać szan­se pew­ne­go zda­rze­nia posłu­gu­je­my się rachun­kiem praw­do­po­do­bień­stwa i sta­ty­sty­ką. Oka­zu­je się, że owe fik­cje są klu­czo­we dla opi­su świa­ta fizycz­ne­go.

Matematyka w opisie świata

Tu poja­wia się pewien pro­blem, z któ­rym musi się zmie­rzyć nie tyl­ko nomi­na­li­sta, ale rów­nież reali­sta. Dla­cze­go mate­ma­ty­ka, któ­ra doty­czy: (a) abs­trak­cyj­nych bytów mate­ma­tycz­nych (jak chce pla­to­nik) lub też (b) kon­wen­cji ter­mi­no­lo­gicz­nych lub po pro­stu fik­cji (jak chce nomi­na­li­sta), tak dobrze sto­su­je się do opi­su świa­ta fizycz­ne­go? Pla­to­nik ma nie­co mniej­szy pro­blem, może bowiem twier­dzić, że mate­ma­ty­ka w jakiś spo­sób odzwier­cie­dla struk­tu­rę świa­ta fizycz­ne­go. Nomi­na­li­sta musi ten fakt wytłu­ma­czyć ina­czej. Jeśli zda­nia o pochod­nych mają taki sam sta­tus poznaw­czy, co zda­nia o smo­kach, to dla­cze­go rachu­nek róż­nicz­ko­wy jest pod­sta­wą fizy­ki, a „smo­ko­lo­gia” nie znaj­du­je żad­ne­go zasto­so­wa­nia? Jesz­cze innym pro­ble­mem nomi­na­li­sty jest prak­ty­ka mate­ma­tycz­na i wspo­mnia­ne już wcze­śniej powszech­ne wśród mate­ma­ty­ków poczu­cie swo­istej „twar­do­ści” danych mate­ma­tycz­nych. Nie ma tu miej­sca na nego­cja­cje, na decy­zje o cha­rak­te­rze „poli­tycz­nym”…

Podsumowanie

Pozwól­my sobie tutaj na pew­ną spe­ku­la­cję. Przy­pu­ść­my, że cała ludz­kość wymar­ła, a następ­nie poja­wią się nowe isto­ty o umy­słach racjo­nal­nych. Czy owe racjo­nal­ne isto­ty utwo­rzy­ły­by naszą mate­ma­ty­kę, czy może jakąś zupeł­nie inną? Czy rów­nież dowie­dzia­ły­by się, że ist­nie­je nie­skoń­cze­nie wie­le liczb pierw­szych? A może stwo­rzy­ły­by jakąś zupeł­nie inną mate­ma­ty­kę?

Oczy­wi­ście, sygna­li­zu­ję tu tyl­ko pro­ble­my. Nie­za­leż­nie jed­nak od tego, do jakich roz­wią­zań skła­nia się Czy­tel­nik, war­to pod­kre­ślić, że w ramach filo­zo­ficz­nych roz­wa­żań doty­czą­cych mate­ma­ty­ki moż­na jasno przed­sta­wić kla­sycz­ne pro­ble­my filo­zo­ficz­ne, sfor­mu­ło­wać je w jasny spo­sób – i przy oka­zji posta­wić nowe, cie­ka­we pyta­nia. Mówiąc języ­kiem żoł­nier­skim, filo­zo­fia mate­ma­ty­ki jest zna­ko­mi­tym poli­go­nem, na któ­rym moż­na testo­wać wiel­kie pyta­nia filo­zo­ficz­ne.


Krzysz­tof Wój­to­wicz — Ukoń­czył stu­dia mate­ma­tycz­ne na Wydzia­le Mate­ma­ty­ki, Infor­ma­ty­ki i Mecha­ni­ki UW oraz stu­dia dok­to­ranc­kie w Insty­tu­cie Filo­zo­fii UW, gdzie uzy­skał sto­pień dok­to­ra (1998) oraz dok­to­ra habi­li­to­wa­ne­go (2004) i pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych (2013). Zaj­mu­je się filo­zo­fią mate­ma­ty­ki, jego doro­bek nauko­wy obej­mu­je czte­ry pozy­cje książ­ko­we oraz oko­ło 90 arty­ku­łów.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF

< Powrót do spi­su tre­ści nume­ru.

Ilu­stra­cja: Mal­wi­na Ada­szek

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Reklama

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wes­przeć tę ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakład­ki WSPARCIE na naszej stro­nie, kli­ka­jąc poniż­szy link. Klik: Chcę wes­przeć „Filo­zo­fuj!”

Polecamy