Artykuł Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Jak istnieją liczby?

Co mamy na myśli, mówiąc, że jakieś twierdzenie matematyczne jest prawdziwe? Zgodnie z klasyczną koncepcją prawdy oznacza to po prostu, że jest ono zgodne z rzeczywistością. Czym jednak może być owa rzeczywistość, o której orzekają zdania matematyczne? O czym mówią zdania „2 + 2 = 4” czy „Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych”? Jakiej rzeczywistości dotyczą?

Najnowszy numer: Nowy człowiek?

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2017 można zamówić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 23 listopada w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „TUTAJ”.

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 3 (15), s. 15–16. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


Rzeczywistość matematyczna?

Z pewnoś­cią nie jest to rzeczy­wis­tość przy­pom­i­na­ją­ca świat fizy­czny. Obiek­ty takie jak licz­by nat­u­ralne z pewnoś­cią nie przy­pom­i­na­ją krze­seł i stołów. Są byta­mi abstrak­cyjny­mi – a pod­sta­wowa charak­terysty­ka obiek­tów abstrak­cyjnych jest taka, iż nie są one zlokali­zowane w cza­sie i przestrzeni. Nie mają więc sen­su pyta­nia „Gdzie jest dzisi­aj licz­ba 5?” albo „Czy licz­ba π (pi) zmieniła w ciągu ostat­nich 24 godzin swo­je miejsce poby­tu?”. Obiek­ty abstrak­cyjne – jeśli ist­nieją – ist­nieją w inny sposób lub – mówiąc fachowo – mają inny sta­tus onty­czny.

Czy jed­nak pogląd, iż takie obiek­ty ist­nieją, ma sens? Zdrowy rozsądek pod­powia­da nam, że ist­nieją stoły i krzesła, a wiara w rzetel­ność naukow­ców – że ist­nieją także geny i neu­t­ri­na. Na jakiej jed­nak pod­staw­ie mielibyśmy sądz­ić, że ist­nieją nie tylko (widzialne) stoły i krzesła oraz (niewidoczne gołym okiem) geny i neu­t­ri­na –
lecz również abstrak­cyjne licz­by nat­u­ralne? Do nich prze­cież nie może­my mieć podob­ne­go dostępu poz­naw­czego jak do najbardziej nawet wyrafi­nowanych obiek­tów fizy­ki.

Matematyczny realizm (platonizm)

Matem­aty­czny real­ista twierdzi, iż moż­na podać rozsądne argu­men­ty na rzecz ist­nienia takich bytów. Jego zdaniem matem­aty­ka opisu­je ist­niejącą nieza­leżnie od nas rzeczy­wis­tość. Jest to właśnie opis, a nie tworze­nie owej rzeczy­wis­toś­ci. Z punk­tu widzenia real­isty matem­atyk jest raczej odkry­w­cą niż twór­cą. Matem­atyk nie ma wpły­wu na to, że liczb pier­wszych jest nieskończe­nie wiele, zaś po każdej licz­bie nieparzys­tej pojaw­ia się parzys­ta. Jest tak również w wypad­ku bardziej wyrafi­nowanych obiek­tów niż licz­by nat­u­ralne. Nie ist­nieje licz­ba rzeczy­wista, która pod­nie­siona do kwadratu daje w wyniku –1 (bo prze­cież x2 > 0, gdy tylko x ≠ 0 – to jest ele­men­tarz!). Niek­tóre z tych twierdzeń niesły­chanie trud­no jest udowod­nić, a z niek­tóry­mi prob­le­ma­mi matem­aty­cy zma­ga­ją się od stule­ci i wciąż nie wiedzą, jak jest naprawdę. Wierzą jed­nak, że rozwiązanie takiego otwartego prob­le­mu matem­aty­cznego nie ma charak­teru „towarzyskiej czy poli­ty­cznej umowy” – te pyta­nia mają obiek­ty­wną odpowiedź, która po pros­tu czeka na swo­je odkrycie.

Nominalizm

Prze­ci­wnik real­isty – czyli nom­i­nal­ista – odrzu­ca ist­nie­nie obiek­tów matem­aty­cznych. Uważa on, że wszelkie argu­men­ty, jakie może sfor­mułować real­ista, są mało przekonu­jące. Zda­nia matem­aty­czne (takie jak „7 + 5 = 12”) mają w jego oce­nie charak­ter prawd tylko kon­wencjon­al­nych: po pros­tu umaw­iamy się, że będziemy posługi­wać się określony­mi ter­mi­na­mi w dany sposób – ale jest to pewnego rodza­ju gra. Moż­na powiedzieć: matem­aty­ka to szczegól­nego typu baj­ka, tyle że jej bohat­era­mi nie są smo­ki i kras­nolud­ki, lecz licz­by nat­u­ralne (i bardziej złożone byty). Prawdzi­wość zda­nia matem­aty­cznego znaczy jedynie: „w ramach przyję­tych kon­wencji pewne zda­nia przyj­mu­je­my jako prawdzi­we”.

Niek­tórzy autorzy wręcz porównu­ją matem­atykę do swois­tej „gry w udawanie”: uda­je­my, że ist­nieją licz­by i że prawdzi­we są pewne założe­nia doty­czące tych liczb. Mając do dys­pozy­cji logikę, może­my wtedy udowod­nić pewne twierdzenia – np. właśnie takie, że ist­nieje nieskończe­nie wiele liczb pier­wszych. Jed­nak o prawdzi­woś­ci moż­na mówić tylko w takim „udawanym” sen­sie.

Matematyczna gra pozorów?

Pojaw­ia się nat­u­ralne pytanie: po co mielibyśmy upraw­iać taką matem­aty­czną grę pozorów, a ową matem­aty­czną bajkę nazy­wać „królową nauk”? Otóż owe matem­aty­czne fikc­je są bard­zo użyteczne. Jak wspom­nieliśmy na początku, trud­no wyobraz­ić sobie poważnie upraw­ianą naukę bez matem­aty­ki. Instru­men­tar­i­um matem­aty­czne jest pod­stawą fizy­ki, a niek­tórzy naukow­cy sami niemalże nie wiedzą, czy zaj­mu­ją się fizyką, czy matem­atyką… Np. zmi­ana w cza­sie jest opisy­wana za pomocą matem­aty­cznego poję­cia pochod­nej. Aby racjon­al­nie osza­cow­ać szanse pewnego zdarzenia posługu­je­my się rachunkiem praw­dopodobieńst­wa i statystyką. Okazu­je się, że owe fikc­je są kluc­zowe dla opisu świa­ta fizy­cznego.

Matematyka w opisie świata

Tu pojaw­ia się pewien prob­lem, z którym musi się zmierzyć nie tylko nom­i­nal­ista, ale również real­ista. Dlaczego matem­aty­ka, która doty­czy: (a) abstrak­cyjnych bytów matem­aty­cznych (jak chce pla­tonik) lub też (b) kon­wencji ter­mi­no­log­icznych lub po pros­tu fikcji (jak chce nom­i­nal­ista), tak dobrze sto­su­je się do opisu świa­ta fizy­cznego? Pla­tonik ma nieco mniejszy prob­lem, może bowiem twierdz­ić, że matem­aty­ka w jak­iś sposób odzwier­cied­la struk­turę świa­ta fizy­cznego. Nom­i­nal­ista musi ten fakt wytłu­maczyć inaczej. Jeśli zda­nia o pochod­nych mają taki sam sta­tus poz­naw­czy, co zda­nia o smokach, to dlaczego rachunek różniczkowy jest pod­stawą fizy­ki, a „smokolo­gia” nie zna­j­du­je żad­nego zas­tosowa­nia? Jeszcze innym prob­le­mem nom­i­nal­isty jest prak­ty­ka matem­aty­cz­na i wspom­ni­ane już wcześniej powszechne wśród matem­atyków poczu­cie swois­tej „twar­doś­ci” danych matem­aty­cznych. Nie ma tu miejs­ca na negoc­jac­je, na decyz­je o charak­terze „poli­ty­cznym”…

Podsumowanie

Pozwólmy sobie tutaj na pewną speku­lację. Przy­puśćmy, że cała ludzkość wymarła, a następ­nie pojaw­ią się nowe isto­ty o umysłach racjon­al­nych. Czy owe racjon­alne isto­ty utworzyły­by naszą matem­atykę, czy może jakąś zupełnie inną? Czy również dowiedzi­ały­by się, że ist­nieje nieskończe­nie wiele liczb pier­wszych? A może stworzyły­by jakąś zupełnie inną matem­atykę?

Oczy­wiś­cie, syg­nal­izu­ję tu tylko prob­le­my. Nieza­leżnie jed­nak od tego, do jakich rozwiązań skła­nia się Czytel­nik, warto pod­kreślić, że w ramach filo­zoficznych rozważań doty­czą­cych matem­aty­ki moż­na jas­no przed­staw­ić klasy­czne prob­le­my filo­zoficzne, sfor­mułować je w jas­ny sposób – i przy okazji postaw­ić nowe, ciekawe pyta­nia. Mówiąc językiem żołnier­skim, filo­zofia matem­aty­ki jest znakomi­tym poligonem, na którym moż­na testować wielkie pyta­nia filo­zoficzne.


Krzysztof Wój­tow­icz — Ukończył stu­dia matem­aty­czne na Wydziale Matem­aty­ki, Infor­maty­ki i Mechani­ki UW oraz stu­dia dok­toranck­ie w Insty­tu­cie Filo­zofii UW, gdzie uzyskał stopień dok­to­ra (1998) oraz dok­to­ra habil­i­towanego (2004) i pro­fe­so­ra nauk human­isty­cznych (2013). Zaj­mu­je się filo­zofią matem­aty­ki, jego dorobek naukowy obe­j­mu­je cztery pozy­c­je książkowe oraz około 90 artykułów.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF

< Powrót do spisu treś­ci numeru.

Ilus­trac­ja: Mal­wina Adaszek

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy