Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2015 nr 5, s. 24–26. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
Ostrzeżenie: niniejszy tekst stanowi kontynuację serii artykułów opublikowanych w „Filozofuj!” 2015, numery od 1 do 3. W przypadku niezrozumienia poszczególnych symboli, sięgnij do poprzednich części niniejszej serii.
1. Znowu zmiana przydziału
Tym razem zostajemy przydzieleni do grupy nadzorującej okoliczną kolonię karną Predatorów. Któregoś pięknego poranka, spacerując sobie beztrosko w otoczeniu silnej ochrony po głównym placu kolonii, znajdujemy odgryzioną, przeżutą i wyplutą głowę jednego z Predatorów. Nasz niepodważalny talent logiczny pozwala nam błyskawicznie wywnioskować, że być może należy sprawdzić, czy żadnego Predatora nie brakuje w obozowym klubie miłośników bierek podwodnych, w którym obecnie wszystkie Predatory powinny przebywać, ćwicząc przed nadchodzącymi zawodami.
Szybko dowiadujemy się, że rzeczywiście brakuje Predatora o imieniu Zbyszek. Dłuższe badania odcisku zębów ze znalezionej głowy (lekarz kilka razy mylił się w liczeniu kłów) pozwalają ustalić, że znaleziona głowa należała do Zbyszka.
Dalsze badania czterech pozostałych przy życiu Predatorów (nikt nie powiedział, że to była duża kolonia karna) pozwalają zawęzić krąg podejrzanych do trzech z nich – jeden w ramach protestu przeciwko polskiej ksenofobii już dawno powyrywał sobie zęby, więc głowy przeżuć nie mógł.
Z pozostałych trzech każdy miał motyw. Zbyszek był fundacjonalistą epistemologicznym, a każdy z trzech podejrzanych był relatywistą poznawczym. Wiadomo natomiast, że Predatory tego typu kwestie traktują całkiem poważnie – jakiś czas temu wygnały dość duży kontyngent Predatorów o nastawieniu fundacjonalistycznym na Ziemię. Bierzemy się więc za przesłuchiwanie podejrzanych: Adama Wyczesanego, Bdzigosta Nielepszego oraz Częstowoja Paskudnego.
Adam Wyczesany powiada: Jestem niewinny. Co więcej, Bdzigost trzymał się ze Zbyszkiem, a Częstowój był na Zbyszka zły, bo ten go systematycznie ogrywał w bierki podwodne.
Bdzigost Nielepszy zeznaje: Jestem niewinny. Nawet Zbyszka nie znałem za bardzo, a tak w ogóle to przez cały dzień, w którym został zamordowany, grałem w bierki ze strażnikiem o imieniu Arnold. (Arnolda o stan rzeczy zapytać nie możemy, bo w międzyczasie wysłany został na jakąś misję do Ameryki Środkowej).
Wreszcie Częstowój Paskudny mówi: Jestem niewinny. Ponadto zarówno Adam, jak i Bdzigost siedzieli ze Zbyszkiem w jednym akwarium i grali z nim w bierki w dzień morderstwa.
Zakładając, że tylko jeden Predator ma powód kłamać (ten winny), a pozostałe mówią prawdę – czy potrafimy ustalić, który z nich zagryzł Zbyszka?
Zadanie dla czytelnika: ze stoperem, spróbuj rozwiązać ten problem w pięć minut.
2. Formalizacja
Szczęście w nieszczęściu, ukończyłaś(eś) studia licencjackie z filozofii na Uniwersytecie Gdańskim (jakimś cudem w końcu dostałaś(eś) zaszczytną pracę nadzorcy Predatorów na jakiejś odludnej asteroidzie). Pośród zaś wielu pożytecznych rzeczy, których można było nauczyć się na tych studiach, była logika formalna, którą teraz, tak jak zazwyczaj łopatę do przerzucania predatorskich odchodów, bierzesz do ręki.
Pierwszym krokiem do systematycznego rozwiązania sprawy jest formalizacja problemu: przedstawienie posiadanych informacji skrótowo za pomocą czytelnych formuł. Niech A reprezentuje zeznania Adama, B zeznania Bdzigosta, C zeznania Częstowoja. Ponadto skróćmy ich imiona do a, b i c (a Zbyszka do z).
| A | A1 A2 A3 |
¬Winny (a) Trzyma (b, z) Zły (c, z) |
| B | B1 B2 B3 |
¬Winny (b) ¬Trzyma (b, z) Alibi (b) |
| C | C1 C2 |
¬Winny (c) ¬Alibi (b) |
A1 mówi, że Adam jest niewinny; A2, że Bdzigost trzymał ze Zbyszkiem; A3, że Częstowój był na Zbyszka zły. B1 powiada, że Bdzigost jest niewinny; B2, że nie trzymał się ze Zbyszkiem; a B3 dostarcza Bdzigostowi alibi. C1 z kolei głosi, że niewinny jest Częstowój, a C2 podważa alibi Bdzigosta.
Łącznie zeznania te możemy reprezentować za pomocą pojedynczych liter:
A ↔ A1 ˄ A2 ˄ A3
B ↔ B1 ˄ B2 ˄ B3
C ↔ C1 ˄ C2
Zdanie A jest więc równoważne koniunkcji A1‑3 (tj. „A1 i A2, i A3”), zdanie B jest równoważne koniunkcji B1‑3, a zdanie C jest równoważne koniunkcji C1‑2.
Wiemy, że nie jest tak, że wszyscy naraz mówią prawdę:
(1) ¬(A ˄ B ˄ C),
oraz że co najmniej dwa Predatory mówią prawdę:
(2) (A ˄ B) ˅ (A ˄ C) ˅ (B ˄ C).
(Zwróćmy uwagę: powyżej napisaliśmy tylko, że zachodzi co najmniej jedna z opcji: A i B albo A i C, albo B i C).
3. Rozumowanie
Krok pierwszy naszego rozumowania polega na zauważeniu, że A2 razem z B2 pokazują, że A i B nie mogą zarazem być prawdziwe i nie mogą być zarazem fałszywe. To znaczy, że A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy fałszywe jest B:
(3) A ↔ ¬B
Do analogicznego wniosku dochodzimy, gdy rozważymy B3 i C2:
(4) B ↔ ¬C
Rozważmy teraz wszystkie możliwe sytuacje (1 reprezentuje prawdziwość, 0 reprezentuje fałszywość). Jako że rozważamy tak naprawdę trzy zdania: A, B, C, a każde może (przynajmniej na pierwszym etapie rozumowania) być prawdziwe lub fałszywe, zaczynamy z ośmioma możliwościami. Nie przejmujmy się chwilowo resztą tabeli.
| A | B | C | |||
| Opcja 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| Opcja 2 | 1 | 1 | 0 | ||
| Opcja 3 | 1 | 0 | 1 | ||
| Opcja 4 | 1 | 0 | 0 | ||
| Opcja 5 | 0 | 1 | 1 | ||
| Opcja 6 | 0 | 1 | 0 | ||
| Opcja 7 | 0 | 0 | 1 | ||
| Opcja 8 | 0 | 0 | 0 |
Wiemy już, że uwzględnić możemy tylko te opcje, przy których (3) i (4) są oba prawdziwe. Wpiszmy je więc do tabeli i przy okazji wyliczmy, kiedy prawdziwe są zdania ¬B i ¬C. Do tego celu wystarczy odwrócić wartości zdań B i C.
| A | B | C | A ↔ | ¬ | B | B ↔ | ¬ | C | |||
| Opcja 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| Opcja 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| Opcja 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| Opcja 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| Opcja 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| Opcja 6 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| Opcja 7 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| Opcja 8 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Możemy teraz policzyć wartość całych równoważności. Dla pierwszej wystarczy porównać A z ¬B i wpisać 1, jeżeli są takie same, a 0 w przeciwnym wypadku. Podobnie dla drugiej równoważności porównujemy B z ¬C.
| A | B | C | A | ↔ | ¬ | B | B | ↔ | ¬ | C | |||
| Opcja 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| Opcja 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| Opcja 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| Opcja 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||||
| Opcja 5 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| Opcja 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| Opcja 7 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| Opcja 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Ponieważ pierwsza równoważność ma być prawdziwa, odpadają wszystkie opcje, w których jest fałszywa (tj. opcje 1, 2, 7 i 8). Prawdziwość drugiej równoważności wymusza na nas wykluczenie opcji 1, 4, 5 i 8. Zostają więc tylko opcje 3 i 6:
| A | B | C | A | ↔ | ¬ | B | B | ↔ | ¬ | C | |||
| Opcja 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| Opcja 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Przypominamy sobie jednak, że prawdą ma być również (2), które powiada, że co najmniej dwa z rozważanych zdań są prawdziwe. To zaś wyklucza opcję 6, w której zarówno A, jak i C są fałszywe. Zostajemy z opcją 3:
| A | B | C | A | ↔ | ¬ | B | B | ↔ | ¬ | C | |||
| Opcja 3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
To zaś znaczy, że Adam i Częstowój są niewinni, a biednego Zbyszka zagryzł Bdzigost, bo to właśnie on jest jedynym Predatorem, który kłamie.
4. Kolejne wyzwanie
Jakiś czas po uroczyście świętowanej egzekucji Bdzigosta wykonanej poprzez długotrwałe czytanie mu Hegla na głos, zaczęliśmy podejrzewać, że Częstowój coś planuje – być może dlatego, że zaczął niewiarygodnie dobrze grać w bierki podwodne, a być może dlatego, że zbyt często wypożyczał z biblioteki Summę teologii św. Tomasza z Akwinu. Tak czy siak, postanowiliśmy do niego zadzwonić i zapytać, co porabia. Powiedział: Jeżeli nie gram w bierki podwodne, oglądam rozgrywki w bierki w telewizji. Jeżeli nie oglądam bierek w telewizji, czytam o bierkach.
Załóżmy, że okres warunkowy jeżeli A, to B interpretujemy jako tzw. implikację materialną A → B, która fałszywa jest wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest A, a fałszywe B (a prawdziwa we wszystkich pozostałych przypadkach). Wywnioskujmy, co porabia Częstowój.
Do rozwiązania tej zagadki oraz dalszego rozważenia problematyki okresów warunkowych, którą ten przykład dopiero otwiera, przejdziemy w kolejnym numerze.
Rafał Urbaniak – jest logikiem i filozofem. Ukończył studia magisterskie w Gdańsku, doktorat w Calgary, habilitację w Warszawie. Logika go fascynuje i chce się tą odrobiną zrozumienia logiki, jaką posiada, podzielić.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska. W pełnej wersji graficznej można go przeczytać > tutaj.
Skomentuj