Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #11. Logika kwantyfikatorów. Rewolucja naukowa epoki informatycznej

Zalążek logiki jako nauki pojawił się w dziele Arystote­lesa Analityki ok. 350 p.n.e. Był to jedyny w obiegu system logiki aż do połowy wieku XIX. Wtedy począł się ferment, który doprowadził do przemiany podob­nie doniosłej, jak teoria względności i odkrycie kwantów w fizyce. Z obu tych nauk, jak z potężnych strumieni, powstał nurt, który kształtuje nowy etap historii – epokę informatyczną.

Najnowszy numer: Kim jest osoba?

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Najnowszy numer można nabyć od 1 sierpnia w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2018 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 5 (17), s. 30–31. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


§1. Jaką trzeba mieć logikę, żeby rozumować na temat relacji

Pod­czas gdy oper­a­to­ry logi­ki zdań – negac­ja, koni­unkc­ja etc. – tworzą zda­nia złożone z prost­szych, kwan­ty­fika­to­ry dopowiada­ją na treść zdań: ogól­ny wskazu­je, że warunek zawarty w poprzedza­ją­cym go zda­niu speł­ni­a­ją wszys­tkie ele­men­ty rozważanej dziedziny; egzys­tenc­jal­ny poprzes­ta­je na wskaza­niu, że ist­nieje przy­na­jm­niej jeden taki ele­ment. Oznaczmy je, odpo­wiednio, skró­ta­mi: KO, KE.

To skromne z pozoru uzu­pełnie­nie ling­wisty­czne okaza­ło się brzemi­enne w skutkach, gdy połączyło się z proce­sa­mi aksjo­matyza­cji i for­mal­iza­cji teorii matem­aty­cznych. A wśród nich – aksjo­matyza­cji i for­mal­iza­cji logi­ki, która – przy­brawszy postać rachunku – stała się teorią matem­aty­czną. Nie straciła jed­nak przez to uczest­nict­wa w klu­bie nauk huma­nistycznych. Abstrak­cyjny bowiem świat matem­aty­ki spla­ta się z akty­wnoś­cią ludzkiego umysłu – przed­miotu human­isty­ki. Jej rozu­mie­nie pogłębiło się dzię­ki osiąg­nię­ciom logi­ki matem­aty­cznej.

Stosowanie kwan­ty­fika­torów jest tym, co umożli­wia pre­cyzję w for­mułowa­niu prob­lemów i twierdzeń do­tyczących relacji. Potrze­bu­je­my ich na każdym kroku, w szczegól­noś­ci w matem­atyce. Już w Elemen­tach Euk­lidesa wiel­ka część twierdzeń doty­czy istnie­nia obiek­tu będącego w relacji do danych wcześniej obiek­tów.

Na przykład: „dla każdego odcin­ka prostej ist­nieje trójkąt równoboczny, którego dany odcinek jest pod­stawą”. Kursy­wą zaz­naczam zwrot mówią­cy o relacji tego trójką­ta do danego odcin­ka.

Wys­tępowanie kwan­ty­fika­to­ra egzys­tenc­jal­nego było w styl­istyce Ele­men­tów mało czytelne. Wszędzie bo­wiem, gdzie współczes­ny matem­atyk uży­je KE, Eu­klides mówi o możli­woś­ci skon­struowa­nia (lini­ałem i cyrklem) określonego obiek­tu. Dziś mamy świa­domość, że real­i­zowal­ność tego rodza­ju możli­woś­ci jest równoważ­na matem­aty­czne­mu ist­nie­niu. Po­trzeba KOKE w rozważa­ni­ach o relac­jach stała się szczegól­nie wyrazista przy pre­cyzyjnym defin­iowa­niu pojęć z anal­izy matem­aty­cznej, które miało miejsce w wieku XIX [por. tutaj].

Np. w definicji relacji, jaką jest zbieżność ciągu an do grani­cy, mamy następu­ją­cy szyk kwan­ty­fika­torów:

>0δ>0n>δ|an − g| <∈

Wyraz­ić tę myśl w potocznej pol­szczyźnie, bez symbo­liki log­icznej, to zadanie tak nużące i utrud­ni­a­jące bieg myśli, że skła­ni­ało to logików XIX wieku do poszuki­wania prostego kodu log­icznego zdol­nego wyraz­ić całą matem­atykę w sposób wysoce prze­jrzysty, a zarazem zdol­ny kon­trolować poprawność dowodów matema­tycznych.

Pier­wszy taki kod w postaci dojrza­łego sys­te­mu logi­ki kwan­ty­fika­torów opub­likował matem­atyk nie­miecki Got­t­lob Frege w roku 1879. Niebawem ana­logiczne sys­te­my pow­stały w Anglii (B. Rus­sell), we Włoszech (G. Peano), a potem w Polsce (J. Łukasiewicz i A. Tars­ki).

Dojrza­łość oznacza tu więcej niż tylko pros­totę i wygodę kodu. Pole­ga na tym, że były to sys­te­my ra­chunkowe, aksjo­maty­czne i sfor­mal­i­zowane. Sys­tem twierdzeń nazy­wamy sfor­mal­i­zowanym, gdy wypro­wadza się je z aksjo­matów za pomocą log­icznych reguł wnioskowa­nia, które odwołu­ją się jedynie do formy (czyli ksz­tał­tu) wyrażeń, bez potrze­by odnoszenia się do ich treś­ci.

For­mal­iza­c­ja toru­je drogę automatyza­cji rozu­mowań właśnie dzię­ki temu, że nie odwołu­je się do rozu­mienia treś­ci, które jest dla maszyny nieosią­galne. Dzię­ki for­mal­iza­cji każdy prob­lem matem­aty­czny rozstrzy­gal­ny przez człowieka może być też rozstrzyg­nię­ty przez maszynę.

§2. Europejski racjonalizm w stosowaniu logiki do kwestii światopoglądowych

Wśród tych kwestii na czoło wysuwa się pytanie tyleż nie­jasne, co prze­j­mu­jące: o sens ludzkiego ist­nienia. Od swego zara­nia ludzkość próbu­je na to odpowie­dzieć w wierzeni­ach religi­jnych, mają­cych w cen­trum poję­cie bóst­wa. Jed­nak ani ludom pier­wot­nym, ani uczonym Grekom i Rzymi­anom nie przy­chodz­iło do głowy, żeby do pewnoś­ci o ist­nie­niu Boga dochodz­ić rozu­mowaniem powołu­ją­cym się na prawa logi­ki.

Jest to fenomen śred­niowiecznej scholasty­ki, która pod­jęła hasło św. Anzel­ma z Can­ter­bury (1033–1109): fides quaerens intel­lec­tum – wiara szuka­ją­ca racjonal­nego rozu­mienia. Tenże Anzelm stworzył dowód ist­nienia Boga zwany onto­log­icznym [zob. tutaj].

Najwięk­szy logik XX wieku Kurt Gödel zo­stawił w notatkach swo­ją wer­sję argu­men­tu Anzel­ma, w której sto­su­je bard­zo wyrafi­nowaną logikę kwan­ty­fika­torów (modal­ną wyższych rzędów). Rekon­strukcje jego pomysłu w tej log­ice, w pełni sformali­zowane, zawdz­ięcza­my kilku współczes­nym logikom o głośnych nazwiskach. Najnowsza (Benzmüller 2014) stanowi majster­sz­tyk, który pole­ga na takiej formaliza­cji, żeby poprawność rozu­mowa­nia mogła być spraw­dzona kom­put­erowo. Co też się stało, przynosząc pozy­ty­wną odpowiedź co do jego poprawnoś­ci log­icznej. To oczy­wiś­cie nie przesądza o prawdzi­woś­ci kon­kluzji; ta współza­leży od prawdzi­woś­ci wyjś­ciowych przesłanek, a o nich żywo dysku­tu­je się w lit­er­aturze świa­towej [zob. tutaj].

Wynik Benzmüllera otwiera per­spek­ty­wę na nowy nurt filo­zoficzny – filo­zofię obliczeniową – ele­ment epo­ki infor­maty­cznej. Głównym w tej filozo­fii środ­kiem argu­men­tacji jest logi­ka kwan­ty­fika­torów wyższych rzędów. To znaczy taka, w której przyj­muje się ist­nie­nie obiek­tów wysoce abstrak­cyjnych, jak zbio­ry i funkc­je, zbio­ry zbiorów etc.

§3. Relacje i kwantyfikatory w kinetycznym dowodzie istnienia Boga

Nie się­ga­jąc w tak wysok­ie rejony logi­ki, popa­trzmy na zas­tosowa­nia kwan­ty­fika­torów najniższego rzę­du w dowodzie z ruchu, inaczej kine­ty­cznym, którego po­mysł wziął św. Tomasz z Akwinu (1225–1274) z do­ciekań astro­nom­icznych Arys­tote­le­sa i zaadap­tował do celów teo­log­icznych.

Scholasty­czną łac­inę Tomasza przekładam poniżej na język logi­ki kwan­ty­fika­torów. Litery „Rx” to skrót predykatu „x jest w Ruchu”, zaś „yPx” to skrót pre­dykatu rela­cyjnego „y Porusza x”. W roli głównej przesłan­ki przyj­mu­je Tomasz twierdze­nie:

[T1] ∀xyx(Rx ⇒ yPx).

Oba sym­bole zmi­enne (x, y) doty­czą obiek­tów z roz­ległej dziedziny bytów real­nych, tj. takich, które są w kręgu odd­zi­ały­wań przy­czynowych. Czy­tamy za­tem: dla każdego bytu będącego w ruchu ist­nieje różny od niego byt, który go porusza. Ruch rozu­mie Tomasz sze­roko, nie tylko jako prze­sunię­cie w przestrzeni, lecz jako dowol­ną zmi­anę.

Czy z przesłan­ki T1 wyni­ka wniosek o ist­nie­niu Uni­w­er­sal­nego Pier­wszego Poruszy­ciela – UPP? Wnio­sek ten miał­by postać:

[T2] ∃yxx(Rx ⇒ yPx).

To znaczy, ist­nieje taki byt, który porusza wszyst­kie byty różne od niego. Zdanie T2 będzie prawdzi­we zarówno wtedy, gdy UPP porusza każdy byt bezpośred­nio, jak i wtedy, gdy czyni to za pośred­nictwem innych bytów. Niech tę drugą ewen­tualność uprzy­tom­ni przykład.

Wskazówka mojego trady­cyjnego zegar­ka porusza się dzię­ki temu, że jest osad­zona na ośce z try­bikiem poru­szanym przez inny try­bik, a ten ewen­tu­al­nie przez inny, aż dojdzie się do sprężyny. Tę ja nakrę­ciłem, ale ruch mo­ich pal­ców nie wziął się z niczego, lecz z przemi­any ener­gii w moim orga­nizmie, a więc z pewnych pro­cesów che­micznych, których przemi­any są wzbudzane przez inne pro­cesy. W tym – wybuch jakiejś super­nowej, z którego dotarł na ziemię węgiel z jej wnętrza i wszedł w skład białek zdol­nych do przemi­any materii w moim organi­zmie. A ta spek­taku­lar­na przemi­ana miała źródło w ja­kimś wcześniejszym łańcuchu zmi­an, którego nie sposób do koń­ca prześledz­ić.

Okazu­je się, gdy zas­to­su­je­my pewną pro­ce­durę for­malną logi­ki kwan­ty­fika­torów, że ze zda­nia T1 zda­nie T2 nie wyni­ka. Czy dało­by się je uzyskać jako wniosek, gdy­by wzmoc­nić rozu­mowanie o jakieś inne jeszcze przesłan­ki? Tomasz dołączył przesłankę o skońc­zonoś­ci łańcucha zmi­an. Nie ma powodu, żeby ją z miejs­ca odrzu­cać, ale trze­ba się zas­tanow­ić, co ma ona znaczyć na grun­cie fizy­ki i kos­mologii. Podany wyżej przykład ruchu zegar­ka pokazu­je, jak skompli­kowane jest to zagad­nie­nie.

Nie miejsce tutaj, żeby w nie wchodz­ić. Celem tych rozważań jest pokazanie, jak przy­dat­na jest lo­gika kwan­ty­fika­torów, także w zas­tosowa­niu do pro­blemów świato­poglą­dowych. Tym przy­dat­niejsza, że jest to język, którym może­my porozu­mieć się z kom­puterem. To niewyobrażal­ny sukces racjon­al­iz­mu i ery infor­maty­cznej, o którym w najśmiel­szych snach nie mógł marzyć ani Arys­tote­les, ani Anzelm, ani Tomasz.


Witold Mar­ciszews­ki – Pro­fe­sor dr hab. nauk human­isty­cznych w zakre­sie logi­ki. Wykładał na UW, w Col­legium Civ­i­tas, Uni­w­er­syte­cie w Salzbur­gu i in. Jego najbardziej znana książ­ka to Log­ic from a Rhetor­i­cal Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bione zaję­cie: roz­mowy z żoną na wszelkie tem­aty.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka.

W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.

Fot.: pixabay.com, CC0

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy