Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #11. Logika kwantyfikatorów. Rewolucja naukowa epoki informatycznej

Zalążek logiki jako nauki pojawił się w dziele Arystote­lesa Analityki ok. 350 p.n.e. Był to jedyny w obiegu system logiki aż do połowy wieku XIX. Wtedy począł się ferment, który doprowadził do przemiany podob­nie doniosłej, jak teoria względności i odkrycie kwantów w fizyce. Z obu tych nauk, jak z potężnych strumieni, powstał nurt, który kształtuje nowy etap historii – epokę informatyczną.

Najnowszy numer: Filozofia czasu

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Najnowszy numer można nabyć od 23 marca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2018 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Tekst ukazał się w „Filozofuj” 2017 nr 5 (17), s. 30–31. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


§1. Jaką trzeba mieć logikę, żeby rozumować na temat relacji

Podczas gdy operatory logiki zdań – negacja, koniunkcja etc. – tworzą zdania złożone z prostszych, kwantyfikatory dopowiadają na treść zdań: ogólny wskazuje, że warunek zawarty w poprzedzającym go zdaniu spełniają wszystkie elementy rozważanej dziedziny; egzystencjalny poprzestaje na wskazaniu, że istnieje przynajmniej jeden taki element. Oznaczmy je, odpo­wiednio, skrótami: KO, KE.

To skromne z pozoru uzupełnienie lingwistyczne okazało się brzemienne w skutkach, gdy połączyło się z procesami aksjomatyzacji i formalizacji teorii matematycznych. A wśród nich – aksjomatyzacji i formalizacji logiki, która – przybrawszy postać rachunku – stała się teorią matematyczną. Nie straciła jednak przez to uczestnictwa w klubie nauk huma­nistycznych. Abstrakcyjny bowiem świat matematyki splata się z aktywnością ludzkiego umysłu – przed­miotu humanistyki. Jej rozumienie pogłębiło się dzięki osiągnięciom logiki matematycznej.

Stosowanie kwantyfikatorów jest tym, co umożliwia precyzję w formułowaniu problemów i twierdzeń do­tyczących relacji. Potrzebujemy ich na każdym kroku, w szczególności w matematyce. Już w Elemen­tach Euklidesa wielka część twierdzeń dotyczy istnie­nia obiektu będącego w relacji do danych wcześniej obiektów.

Na przykład: „dla każdego odcinka prostej istnieje trójkąt równoboczny, którego dany odcinek jest pod­stawą”. Kursywą zaznaczam zwrot mówiący o relacji tego trójkąta do danego odcinka.

Występowanie kwantyfikatora egzystencjalnego było w stylistyce Elementów mało czytelne. Wszędzie bo­wiem, gdzie współczesny matematyk użyje KE, Eu­klides mówi o możliwości skonstruowania (liniałem i cyrklem) określonego obiektu. Dziś mamy świa­domość, że realizowalność tego rodzaju możliwości jest równoważna matematycznemu istnieniu. Po­trzeba KO i KE w rozważaniach o relacjach stała się szczególnie wyrazista przy precyzyjnym definiowaniu pojęć z analizy matematycznej, które miało miejsce w wieku XIX [por. tutaj].

Np. w definicji relacji, jaką jest zbieżność ciągu an do granicy, mamy następujący szyk kwantyfikatorów:

>0δ>0n>δ|an − g| <∈

Wyrazić tę myśl w potocznej polszczyźnie, bez symbo­liki logicznej, to zadanie tak nużące i utrudniające bieg myśli, że skłaniało to logików XIX wieku do poszuki­wania prostego kodu logicznego zdolnego wyrazić całą matematykę w sposób wysoce przejrzysty, a zarazem zdolny kontrolować poprawność dowodów matema­tycznych.

Pierwszy taki kod w postaci dojrzałego systemu logiki kwantyfikatorów opublikował matematyk nie­miecki Gottlob Frege w roku 1879. Niebawem ana­logiczne systemy powstały w Anglii (B. Russell), we Włoszech (G. Peano), a potem w Polsce (J. Łukasiewicz i A. Tarski).

Dojrzałość oznacza tu więcej niż tylko prostotę i wygodę kodu. Polega na tym, że były to systemy ra­chunkowe, aksjomatyczne i sformalizowane. System twierdzeń nazywamy sformalizowanym, gdy wypro­wadza się je z aksjomatów za pomocą logicznych reguł wnioskowania, które odwołują się jedynie do formy (czyli kształtu) wyrażeń, bez potrzeby odnoszenia się do ich treści.

Formalizacja toruje drogę automatyzacji rozu­mowań właśnie dzięki temu, że nie odwołuje się do rozumienia treści, które jest dla maszyny nieosiągalne. Dzięki formalizacji każdy problem matematyczny rozstrzygalny przez człowieka może być też rozstrzygnięty przez maszynę.

§2. Europejski racjonalizm w stosowaniu logiki do kwestii światopoglądowych

Wśród tych kwestii na czoło wysuwa się pytanie tyleż niejasne, co przejmujące: o sens ludzkiego istnienia. Od swego zarania ludzkość próbuje na to odpowie­dzieć w wierzeniach religijnych, mających w centrum pojęcie bóstwa. Jednak ani ludom pierwotnym, ani uczonym Grekom i Rzymianom nie przychodziło do głowy, żeby do pewności o istnieniu Boga dochodzić rozumowaniem powołującym się na prawa logiki.

Jest to fenomen średniowiecznej scholastyki, która podjęła hasło św. Anzelma z Canterbury (1033–1109): fides quaerens intellectum – wiara szukająca racjonal­nego rozumienia. Tenże Anzelm stworzył dowód ist­nienia Boga zwany ontologicznym [zob. tutaj].

Największy logik XX wieku Kurt Gödel zo­stawił w notatkach swoją wersję argumentu Anzelma, w której stosuje bardzo wyrafinowaną logikę kwantyfikatorów (modalną wyższych rzędów). Rekon­strukcje jego pomysłu w tej logice, w pełni sformali­zowane, zawdzięczamy kilku współczesnym logikom o głośnych nazwiskach. Najnowsza (Benzmüller 2014) stanowi majstersztyk, który polega na takiej formaliza­cji, żeby poprawność rozumowania mogła być spraw­dzona komputerowo. Co też się stało, przynosząc pozytywną odpowiedź co do jego poprawności logicznej. To oczywiście nie przesądza o prawdziwości konkluzji; ta współzależy od prawdziwości wyjściowych przesłanek, a o nich żywo dyskutuje się w literaturze światowej [zob. tutaj].

Wynik Benzmüllera otwiera perspektywę na nowy nurt filozoficzny – filozofię obliczeniową – element epoki informatycznej. Głównym w tej filozo­fii środkiem argumentacji jest logika kwantyfikatorów wyższych rzędów. To znaczy taka, w której przyj­muje się istnienie obiektów wysoce abstrakcyjnych, jak zbiory i funkcje, zbiory zbiorów etc.

§3. Relacje i kwantyfikatory w kinetycznym dowodzie istnienia Boga

Nie sięgając w tak wysokie rejony logiki, popatrzmy na zastosowania kwantyfikatorów najniższego rzędu w dowodzie z ruchu, inaczej kinetycznym, którego po­mysł wziął św. Tomasz z Akwinu (1225–1274) z do­ciekań astronomicznych Arystotelesa i zaadaptował do celów teologicznych.

Scholastyczną łacinę Tomasza przekładam poniżej na język logiki kwantyfikatorów. Litery „Rx” to skrót predykatu „x jest w Ruchu”, zaś „yPx” to skrót pre­dykatu relacyjnego „y Porusza x”. W roli głównej przesłanki przyjmuje Tomasz twierdzenie:

[T1] ∀xyx(Rx ⇒ yPx).

Oba symbole zmienne (x, y) dotyczą obiektów z roz­ległej dziedziny bytów realnych, tj. takich, które są w kręgu oddziaływań przyczynowych. Czytamy za­tem: dla każdego bytu będącego w ruchu istnieje różny od niego byt, który go porusza. Ruch rozumie Tomasz szeroko, nie tylko jako przesunięcie w przestrzeni, lecz jako dowolną zmianę.

Czy z przesłanki T1 wynika wniosek o istnieniu Uniwersalnego Pierwszego Poruszyciela – UPP? Wnio­sek ten miałby postać:

[T2] ∃yxx(Rx ⇒ yPx).

To znaczy, istnieje taki byt, który porusza wszyst­kie byty różne od niego. Zdanie T2 będzie prawdziwe zarówno wtedy, gdy UPP porusza każdy byt bezpośrednio, jak i wtedy, gdy czyni to za pośrednictwem innych bytów. Niech tę drugą ewen­tualność uprzytomni przykład.

Wskazówka mojego tradycyjnego zegarka porusza się dzięki temu, że jest osadzona na ośce z trybikiem poru­szanym przez inny trybik, a ten ewentualnie przez inny, aż dojdzie się do sprężyny. Tę ja nakręciłem, ale ruch mo­ich palców nie wziął się z niczego, lecz z przemiany ener­gii w moim organizmie, a więc z pewnych procesów che­micznych, których przemiany są wzbudzane przez inne procesy. W tym – wybuch jakiejś supernowej, z którego dotarł na ziemię węgiel z jej wnętrza i wszedł w skład białek zdolnych do przemiany materii w moim organi­zmie. A ta spektakularna przemiana miała źródło w ja­kimś wcześniejszym łańcuchu zmian, którego nie sposób do końca prześledzić.

Okazuje się, gdy zastosujemy pewną procedurę for­malną logiki kwantyfikatorów, że ze zdania T1 zda­nie T2 nie wynika. Czy dałoby się je uzyskać jako wniosek, gdyby wzmocnić rozumowanie o jakieś inne jeszcze przesłanki? Tomasz dołączył przesłankę o skończoności łańcucha zmian. Nie ma powodu, żeby ją z miejsca odrzucać, ale trzeba się zastanowić, co ma ona znaczyć na gruncie fizyki i kosmologii. Podany wyżej przykład ruchu zegarka pokazuje, jak skompli­kowane jest to zagadnienie.

Nie miejsce tutaj, żeby w nie wchodzić. Celem tych rozważań jest pokazanie, jak przydatna jest lo­gika kwantyfikatorów, także w zastosowaniu do pro­blemów światopoglądowych. Tym przydatniejsza, że jest to język, którym możemy porozumieć się z kom­puterem. To niewyobrażalny sukces racjonalizmu i ery informatycznej, o którym w najśmielszych snach nie mógł marzyć ani Arystoteles, ani Anzelm, ani Tomasz.


Witold Marciszewski – Profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.

W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Fot.: pixabay.com, CC0

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy