Adam Grobler: Daję głowę, nawet więcej

„Daję głowę, nawet więcej, że to twierdzenie jest prawdziwe” – powiedział jeden z moich profesorów, kiedy siedziałem w ławach studentów matematyki. – „Ale nie potrafię go udowodnić” – ciągnął. Tym czymś więcej bynajmniej nie jest to, o czym śpiewał Ludwik Sempoliński, „Tomasz, ach, Tomasz, powiedz mi, gdzie ty to masz” (1931). To jest coś, co potrafi odkryć prawdę niezależnie od dowodów, które znajduje głowa.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 3 (63), s. 39–40. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Ten sam profesor, a może inny, po ponad 50 latach sobie nie przypomnę, opowiedział nam, że udowodnił jakieś twierdzenie, ale coś – intuicja – mu mówiło, że jest ono fałszywe. Błąd w dowodzie okazał się tak subtelny, że jego poszukiwanie zajęło mu i jego współpracownikom z górą pół roku. Jeżeli to coś jest czymś więcej od głowy, to po co miesiącami zaprzątać sobie głowę dowodzeniem? Nie lepiej poprzestać na intuicji?

Różni filozofowie głosili pochwałę intuicji. Erich Fromm (Zapomniany język, 1951) uważał ją za władzę podświadomego kojarzenia doświadczeń, wolną od społecznych konwenansów i przez to bardziej przenikliwą od – podatnej na wpływ stereotypów – świadomej rozwagi. Henri Bergson (Wstęp do metafizyki, 1903) stawiał ją ponad rozumem naukowym, który ruchomą rzeczywistość rozkłada na serię nieruchomych migawek. W szczególności w matematycznej reprezentacji na osi liczbowej czas przedstawia się jako szereg pozbawionych trwania punktowych niby-chwil. Kartezjusz określa intuicję jako „proste i wyraźne pojęcie umysłu czystego i uważnego, że o tym, co poznajemy, zgoła już wątpić nie można” (Reguły kierowania umysłem, ok. 1628). Od niej zaczyna się wszelkie rozumowanie, ona też kontroluje poprawność kolejnych kroków dedukcyjnych.

W ujęciu kartezjańskim intuicja jest ostateczną, nieomylną instancją odwoławczą rozumu. Mój profesor wszakże pojmował ją raczej w duchu Fromma. Nie jak przyrodzoną władzę intelektu, lecz wykształconą dzięki matematycznemu treningowi zdolność docierania do prawdy na skróty, zanim zostanie udowodniona. Dowód jednak jest niezbędny, ponieważ tak pojmowana intuicja bywa niestety omylna, jak wszystko, co stanowi projekcję przeszłego doświadczenia. Dowód służy zatem sprawdzeniu intuicyjnych domysłów. W filozofii podobnie traktował intuicję Rudolf Carnap (Logika indukcyjna i intuicja indukcyjna, 1968). W swojej pracy nad problemem indukcji, czyli prawomocności przenoszenia wyników dotychczasowych obserwacji na przypadki niezaobserwowane, uznał, że spekulacje na ten temat należy skonfrontować ze skonstruowanym w tym celu rachunkiem logicznym, aby zbadać, czy nasze intuicje indukcyjne nie są sprzeczne.

Z drugiej strony, jak pokazuje przygoda mojego profesora, intuicja może podpowiadać, że udowodnione twierdzenie jest jednak fałszywe i należy dowód dokładnie sprawdzić. Z punktu widzenia logiki dowód stanowi ciąg zdań, z których każde jest albo aksjomatem, albo daje się wyprowadzić ze zdań poprzedzających za pomocą reguł wnioskowania. Matematycy traktują dowodzenie nieco luźniej i robią intuicyjne skróty, przeskakując kilka kroków rozumowania naraz. Inaczej musieliby pracować nad dowodem zaawansowanych twierdzeń nie miesiącami, lecz setkami lat. I zajmowałby setki stron. W ten sposób dowód stanowi sprawdzian trafności intuicji, która jest sprawdzianem poprawności dowodu i zastosowanych w nim intuicyjnych skrótów myślowych. Ruch między intuicją a dowodzeniem to szczególny przypadek poszukiwania refleksyjnej równowagi metodą filozoficzną, zaproponowaną przez Johna Rawlsa (Teoria sprawiedliwości, 1971).

To jednak nie koniec opowieści. Oto Philomena Cunk (Świat oczami Cunk, Netflix, 2022) pyta profesora historii matematyki, czy to prawda, że liczby zostały wynalezione przez Babilończyków. A po usłyszeniu odpowiedzi twierdzącej, dopytuje: „Czy wszystkie?”. Za tą absurdalną woltą kryje się poważne zagadnienie filozoficzne. Z pewnością można sobie pomyśleć liczbę dowolnie dużą. Czy jednak intuicją można objąć nieskończenie wiele liczb naraz? Jedni matematycy, na podobieństwo Platona, uważają, że tak. Natomiast inni, wśród nich tzw. – nomen omen – intuicjoniści, sądzą, jak John Locke czy Immanuel Kant, że nie.

Rozstrzygnięcie tej kwestii decyduje o akceptacji lub odrzuceniu określonych metod dowodu, a w konsekwencji pewnych twierdzeń. Platonicy mają większość, bo ich matematyka dysponuje mocniejszymi środkami, dzięki czemu jest bogatsza w twierdzenia. Niestety, zbyt wielka potęga może narozrabiać i wtedy trzeba ją wziąć za mordę. Na przykład Bertrand Russell w liście (1902) do Gottloba Fregego wykazał mu sprzeczność w jego podstawach arytmetyki (1893). Żeby jej uniknąć, trzeba (nieco upraszczając) zakazać zbiorom bycia elementami siebie samych. Intuicjoniści i im podobni wolą się zaasekurować przed ewentualnymi podobnymi niespodziankami i na wszelki wypadek stosują słabsze środki, kosztem rezygnacji z niektórych twierdzeń. Z intuicją zatem jak z balonem. Bardziej nadmuchana może czasem i pęknąć, ale sflaczała od ziemi się nie oderwie.

Kiedy to piszę, Donald Trump ogłosza, że w Ameryce są tylko dwie płcie. Obiecał Amerykę uczynić wielką i chce ją powiększyć o Kanał Panamski, Grenlandię i Kanadę. Ale więcej niż dwóch płci jego świat nie pomieści. Z Pisma zrozumiał tyle, i chyba tylko tyle, że Bóg stworzył człowieka jako mężczyznę i kobietę (Rdz 1:27). Wedle śmielszej, bardziej owocnej intuicji i w świetle naukowych dowodów należałoby dodać: […] i osobę niebinarną. Ale to jest temat na inny felieton.

Warto doczytać:

E. Fromm, Zapomniany język. Wstęp do rozumienia snów, baśni i mitów, tłum. K. Płaza, Kraków 2016.
H. Bergson, Wstęp do metafizyki, tłum. K. Błeszyński, Kraków 2022.
Kartezjusz, Reguły kierowania umysłem, tłum. L. Chmaj, Kęty 2002.
R. Carnap, Logika indukcyjna i intuicja indukcyjna, w: Filozofia współczesna, Z. Kuderowicz (red.), Warszawa 1990.
J. Rawls, Teoria sprawiedliwości, tłum. M. Panufnik, J. Pasek, A. Romaniuk, Warszawa 2010.

Adam Grobler – Profesor, były pracownik Katedry Filozofii Uniwersytetu Opolskiego i członek Prezydium Komitetu Nauk Filozoficznych PAN. Zajmuje się metodologią nauk, teorią poznania, filozofią analityczną i dydaktyką filozofii. W wolnym czasie gra w brydża sportowego. Wdowiec (2006), w powtórnym związku (od 2010), ojciec czworga dzieci (1980, 1983, 1984, 1989) i dziadek, jak na razie, ośmiorga wnucząt. Mieszka w Krakowie. E‑mail: adam_grobler@interia.pl.