Artykuł

Anna Wójtowicz: Czy zachowujemy się racjonalnie, gdy w grę wchodzi nieskończoność?

Wojtowicz a czarne l
Jeśli uznamy, że dzięki wierze w Boga możemy zyskać życie wieczne i że ma ono wartość nieskończoną, to wystarczy założyć, że istnienie Boga jest możliwe, aby jedyną racjonalną decyzją była wiara w Boga. Jest to jednak argument, który wielu ludzi odrzuca.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 18–19. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Zgodnie z obowiązującą (normatywną) teorią maksymalizowania oczekiwanej użyteczności (EUT, Expected Utility Theory) racjonalna decyzja to taka, która w dłuższej perspektywie przyniesie nam większą korzyść niż decyzje konkurencyjne. Najprościej wyjaśnić zalecenia teorii EUT na przykładzie (zob. tabela nr 1).

Tabela nr 1

Decyzja / Stan świata
i jego prawdopodobieństwo
S1; P(S1) = 0,3 S2; P(S2) = 0,7
D1 skutek decyzji D1
w sytuacji S1: +1
skutek decyzji D1
w sytuacji S2: +8
D2 skutek decyzji D2
w sytuacji S1: +10
skutek decyzji D2
w sytuacji S2: +2

Wyobraźmy sobie, że mamy podjąć jedną z dwóch decyzji: D1 lub D2. Na ich ocenę wpływa to, który z możliwych stanów świata się zrealizuje: S1 czy S2, i w konsekwencji, jaki będzie skutek danej decyzji. Prawdopodobieństwo, że będzie to stan S1, wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo, że będzie to stan S2, wynosi 0,7. Zgodnie z EUT należy wybrać decyzję D1, bo jej wartość oczekiwana (oznaczana zwykle przez EVU) jest większa niż wartość oczekiwana decyzji D2. Wskazują na to proste obliczenia:

EVU(D1) = 0,3 × 1 + 0,7 × 8 = 5,9

EVU(D2) = 0,3 × 10 + 0,7 × 2 = 4,4

Cechą charakterystyczną teorii EUT jest jej jednowymiarowość. Aby oceniać decyzje, obliczając ich EVU, wszystkie skutki naszych decyzji muszą być porównywalne na tej samej skali liczbowej. Skrajną wartością, jaką możemy przypisać wartości oczekiwanej decyzji lub skutkowi decyzji, jest nieskończoność (∞). Jeśli jednak pojawi się ona we wzorach na EVU, powstają różnego typu anomalie. Wynikają one z pewnych specyficznych własności nieskończoności.

Własności nieskończoności

Z punktu widzenia interesującego nas problemu istotne są dwie własności nieskończoności:

Jeśli jakaś wartość jest nieskończenie duża, to odjęcie od niej skończonej wartości nic nie zmienia. Innymi słowy, dla dowolnej liczby a: ∞ – a = ∞.

Jeśli jakaś wartość jest nieskończenie duża, to nie da się jej uzyskać, dodając do siebie skończenie wiele wartości skończonych. Konsekwencją tego jest to, że jeśli jakąś wartość nieskończoną podzielimy na skończoną ilość równych części, to każda z nich musi być nieskończona. Innymi słowy, dla dowolnej liczby a: ∞ × 1/a = ∞ (taki zapis nie jest oczywiście formalnie poprawny, bo operacja „pomnożyć coś przez ∞” nie jest w arytmetyce zdefiniowana; ma on jednak jasny, intuicyjny sens).

Przyjrzyjmy się teraz dwóm klasycznym przykładom problemów decyzyjnych, w których wymienione własności odgrywają istotną rolę.

Superparadoks petersburski

Wyobraźmy sobie, że kasyno proponuje – za kwotę o wartości a – prawo do udziału w następującej grze (którą roboczo nazwiemy PP, od nazwy tzw. paradoksu petersburskiego):

Krupier ma rzetelną monetę, tzn. taką, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła i reszki jest takie samo i wynosi ½. Będzie nią rzucał aż do momentu wypadnięcia pierwszego orła, przy czym:

1) jeśli orzeł wypadnie w pierwszym rzucie – dostaniemy wypłatę o wartości 2;

2) jeśli orzeł wypadnie w drugim rzucie – dostaniemy wypłatę o wartości 4;

3) jeśli orzeł wypadnie w trzecim rzucie – dostaniemy wypłatę o wartości 8;

n) jeśli orzeł wypadnie w ­n‑tym rzucie – dostaniemy wypłatę o wartości 2n.

Czy racjonalnie jest przyjąć propozycję kasyna? Przedstawmy ten problem w tabelce i obliczmy wartości oczekiwane poszczególnych decyzji (zob. tabela nr 2).

Tabela nr 2

Decyzja / stan świata (sekwencja rzutów) i jego prawdopodobieństwo {R}
p1 = 1/2
{O,R}
p2 = 1/4
{O,O,R}
p3 = 1/8
{O,O,O,R}
p4 = 1/16
{O(n–1 razy),R}
pn = 1/2n
D1: Zagrać za kwotę o wartości a 2 – a 4 – a 8 – a 16 – a (2n – a)
D2: Nie zagrać 0 0 0 0 0

EVU(D1) = ½ × (2 – a) + ¼ × (4 – a) + 1/8 × (8 – a) + … + 1/2n × (2n – a) +… = (–a) + 1 + 1 + 1 + … + 1 + … = + ∞ – a = +∞

EVU(D2) = 0

Decyzja D1 będzie miała wyższą wartość oczekiwaną niż D2 niezależnie od tego, ile wynosi kwota a (korzystamy tu z pierwszej z wymienionych własności nieskończoności). Zgodnie z teorią EUT racjonalne jest więc nawet poświęcenie całego posiadanego majątku za możliwość zagrania w PP. Zgodzimy się jednak, że takie rozwiązanie jest bardzo trudne do zaakceptowania i że żaden rozsądny człowiek tak nie zrobi…

Zakład Pascala

Rozważmy teraz przykładową sytuację decyzyjną, w której coś o wartości nieskończonej występuje jako jeden z możliwych skutków naszych potencjalnych decyzji i obliczmy ich wartości oczekiwane (zobacz tabela nr 3).

Tabela nr 3

Decyzja / stan świata
i jego prawdopodobieństwo
S1; P(S1) = p S2; P(S2) = q
D1 +∞ –1000000
D2 +10 +1000000

EVU(D1) = p × + ∞ – q × 1000000 = + ∞ – 1000000q = + ∞

EVU(D2) = p × 10 + q × 10000000

Okazuje się, że – niezależnie od tego, jak mało prawdopodobne jest zajście stanu S1 – racjonalnie jest wybrać D1. Taki schemat zastosował Pascal w swoim słynnym zakładzie. Podstawmy za D1Wierzę w Boga, za D2 – Nie wierzę w Boga, za S1Bóg istnieje, a za S2Bóg nie istnieje. Jeśli uznamy, że dzięki wierze w Boga możemy zyskać życie wieczne i że ma ono wartość nieskończoną, to wystarczy założyć, że istnienie Boga jest możliwe (czyli że p jest większe niż 0), aby jedyną racjonalną decyzją była wiara w Boga. Jest to jednak argument, który wielu ludzi odrzuca.

Powyższe przykłady pokazują, że gdy w grę wchodzą wartości nieskończone, pojawia się niezgodność między zaleceniami normatywnej teorii podejmowania decyzji EUT a powszechnie akceptowanymi przekonaniami. Mamy więc następujące możliwości:

  • uznać, że teoria EUT ma ograniczony zakres działania, bo nie radzi sobie z decyzjami o nieskończonej wartości oczekiwanej (w takich przypadkach daje nierozsądne rekomendacje);
  • uznać, że teoria EUT działa dobrze i w przypadku wartości nieskończonych daje rozsądne rekomendacje (a to, że ludzie wybierają inaczej, świadczy o ich nieracjonalności);
  • uznać, że teoria EUT działa dobrze, bo wartości nieskończone nie występują w naszym życiu (a powyższe przykłady są tylko sztuczkami filozofów).

Decyzję, którą z nich wybrać, pozostawiamy Czytelnikowi.


Anna Wójtowicz – dr hab., prof. Uniwersytetu Warszawskiego. Pracuje w Zakładzie Logiki Filozoficznej na Wydziale Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego. Główne zainteresowania naukowe: logika formalna i ontologia, kryteria racjonalności wnioskowań zawodnych, logika prawnicza, logika filozoficzna.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Florianen vinsi’Siegereith

 

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy