Artykuł

Anna Wójtowicz: Czy zachowujemy się racjonalnie, gdy w grę wchodzi nieskończoność?

Jeśli uznamy, że dzięki wierze w Boga możemy zyskać życie wieczne i że ma ono wartość nieskończoną, to wystarczy założyć, że istnienie Boga jest możliwe, aby jedyną racjonalną decyzją była wiara w Boga. Jest to jednak argument, który wielu ludzi odrzuca.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 18–19. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Zgod­nie z obo­wią­zu­ją­cą (nor­ma­tyw­ną) teo­rią mak­sy­ma­li­zo­wa­nia ocze­ki­wa­nej uży­tecz­no­ści (EUT, Expec­ted Uti­li­ty The­ory) racjo­nal­na decy­zja to taka, któ­ra w dłuż­szej per­spek­ty­wie przy­nie­sie nam więk­szą korzyść niż decy­zje kon­ku­ren­cyj­ne. Naj­pro­ściej wyja­śnić zale­ce­nia teo­rii EUT na przy­kła­dzie (zob. tabe­la nr 1).

Tabe­la nr 1

Decy­zja / Stan świata
i jego prawdopodobieństwo
S1; P(S1) = 0,3 S2; P(S2) = 0,7
D1 sku­tek decy­zji D1
w sytu­acji S1: +1
sku­tek decy­zji D1
w sytu­acji S2: +8
D2 sku­tek decy­zji D2
w sytu­acji S1: +10
sku­tek decy­zji D2
w sytu­acji S2: +2

Wyobraź­my sobie, że mamy pod­jąć jed­ną z dwóch decy­zji: D1 lub D2. Na ich oce­nę wpły­wa to, któ­ry z moż­li­wych sta­nów świa­ta się zre­ali­zu­je: S1 czy S2, i w kon­se­kwen­cji, jaki będzie sku­tek danej decy­zji. Praw­do­po­do­bień­stwo, że będzie to stan S1, wyno­si 0,3, a praw­do­po­do­bień­stwo, że będzie to stan S2, wyno­si 0,7. Zgod­nie z EUT nale­ży wybrać decy­zję D1, bo jej war­tość ocze­ki­wa­na (ozna­cza­na zwy­kle przez EVU) jest więk­sza niż war­tość ocze­ki­wa­na decy­zji D2. Wska­zu­ją na to pro­ste obliczenia:

EVU(D1) = 0,3 × 1 + 0,7 × 8 = 5,9

EVU(D2) = 0,3 × 10 + 0,7 × 2 = 4,4

Cechą cha­rak­te­ry­stycz­ną teo­rii EUT jest jej jed­no­wy­mia­ro­wość. Aby oce­niać decy­zje, obli­cza­jąc ich EVU, wszyst­kie skut­ki naszych decy­zji muszą być porów­ny­wal­ne na tej samej ska­li licz­bo­wej. Skraj­ną war­to­ścią, jaką może­my przy­pi­sać war­to­ści ocze­ki­wa­nej decy­zji lub skut­ko­wi decy­zji, jest nie­skoń­czo­ność (∞). Jeśli jed­nak poja­wi się ona we wzo­rach na EVU, powsta­ją róż­ne­go typu ano­ma­lie. Wyni­ka­ją one z pew­nych spe­cy­ficz­nych wła­sno­ści nieskończoności.

Własności nieskończoności

Z punk­tu widze­nia inte­re­su­ją­ce­go nas pro­ble­mu istot­ne są dwie wła­sno­ści nieskończoności:

Jeśli jakaś war­tość jest nie­skoń­cze­nie duża, to odję­cie od niej skoń­czo­nej war­to­ści nic nie zmie­nia. Inny­mi sło­wy, dla dowol­nej licz­by a: ∞ – a = ∞.

Jeśli jakaś war­tość jest nie­skoń­cze­nie duża, to nie da się jej uzy­skać, doda­jąc do sie­bie skoń­cze­nie wie­le war­to­ści skoń­czo­nych. Kon­se­kwen­cją tego jest to, że jeśli jakąś war­tość nie­skoń­czo­ną podzie­li­my na skoń­czo­ną ilość rów­nych czę­ści, to każ­da z nich musi być nie­skoń­czo­na. Inny­mi sło­wy, dla dowol­nej licz­by a: ∞ × 1/a = ∞ (taki zapis nie jest oczy­wi­ście for­mal­nie popraw­ny, bo ope­ra­cja „pomno­żyć coś przez ∞” nie jest w aryt­me­ty­ce zde­fi­nio­wa­na; ma on jed­nak jasny, intu­icyj­ny sens).

Przyj­rzyj­my się teraz dwóm kla­sycz­nym przy­kła­dom pro­ble­mów decy­zyj­nych, w któ­rych wymie­nio­ne wła­sno­ści odgry­wa­ją istot­ną rolę.

Superparadoks petersburski

Wyobraź­my sobie, że kasy­no pro­po­nu­je – za kwo­tę o war­to­ści a – pra­wo do udzia­łu w nastę­pu­ją­cej grze (któ­rą robo­czo nazwie­my PP, od nazwy tzw. para­dok­su petersburskiego):

Kru­pier ma rze­tel­ną mone­tę, tzn. taką, że praw­do­po­do­bień­stwo wypad­nię­cia orła i resz­ki jest takie samo i wyno­si ½. Będzie nią rzu­cał aż do momen­tu wypad­nię­cia pierw­sze­go orła, przy czym:

1) jeśli orzeł wypad­nie w pierw­szym rzu­cie – dosta­nie­my wypła­tę o war­to­ści 2;

2) jeśli orzeł wypad­nie w dru­gim rzu­cie – dosta­nie­my wypła­tę o war­to­ści 4;

3) jeśli orzeł wypad­nie w trze­cim rzu­cie – dosta­nie­my wypła­tę o war­to­ści 8;

n) jeśli orzeł wypad­nie w ­n‑tym rzu­cie – dosta­nie­my wypła­tę o war­to­ści 2n.

Czy racjo­nal­nie jest przy­jąć pro­po­zy­cję kasy­na? Przed­staw­my ten pro­blem w tabel­ce i oblicz­my war­to­ści ocze­ki­wa­ne poszcze­gól­nych decy­zji (zob. tabe­la nr 2).

Tabe­la nr 2

Decy­zja / stan świa­ta (sekwen­cja rzu­tów) i jego prawdopodobieństwo {R}
p1 = 1/2
{O,R}
p2 = 1/4
{O,O,R}
p3 = 1/8
{O,O,O,R}
p4 = 1/16
{O(n–1 razy),R}
pn = 1/2n
D1: Zagrać za kwo­tę o war­to­ści a 2 – a 4 – a 8 – a 16 – a (2n – a)
D2: Nie zagrać 0 0 0 0 0

EVU(D1) = ½ × (2 – a) + ¼ × (4 – a) + 1/8 × (8 – a) + … + 1/2n × (2n – a) +… = (–a) + 1 + 1 + 1 + … + 1 + … = + ∞ – a = +∞

EVU(D2) = 0

Decy­zja D1 będzie mia­ła wyż­szą war­tość ocze­ki­wa­ną niż D2 nie­za­leż­nie od tego, ile wyno­si kwo­ta a (korzy­sta­my tu z pierw­szej z wymie­nio­nych wła­sno­ści nie­skoń­czo­no­ści). Zgod­nie z teo­rią EUT racjo­nal­ne jest więc nawet poświę­ce­nie całe­go posia­da­ne­go mająt­ku za moż­li­wość zagra­nia w PP. Zgo­dzi­my się jed­nak, że takie roz­wią­za­nie jest bar­dzo trud­ne do zaak­cep­to­wa­nia i że żaden roz­sąd­ny czło­wiek tak nie zrobi…

Zakład Pascala

Roz­waż­my teraz przy­kła­do­wą sytu­ację decy­zyj­ną, w któ­rej coś o war­to­ści nie­skoń­czo­nej wystę­pu­je jako jeden z moż­li­wych skut­ków naszych poten­cjal­nych decy­zji i oblicz­my ich war­to­ści ocze­ki­wa­ne (zobacz tabe­la nr 3).

Tabe­la nr 3

Decy­zja / stan świata
i jego prawdopodobieństwo
S1; P(S1) = p S2; P(S2) = q
D1 +∞ –1000000
D2 +10 +1000000

EVU(D1) = p × + ∞ – q × 1000000 = + ∞ – 1000000q = + ∞

EVU(D2) = p × 10 + q × 10000000

Oka­zu­je się, że – nie­za­leż­nie od tego, jak mało praw­do­po­dob­ne jest zaj­ście sta­nu S1 – racjo­nal­nie jest wybrać D1. Taki sche­mat zasto­so­wał Pas­cal w swo­im słyn­nym zakła­dzie. Pod­staw­my za D1Wie­rzę w Boga, za D2 – Nie wie­rzę w Boga, za S1Bóg ist­nie­je, a za S2Bóg nie ist­nie­je. Jeśli uzna­my, że dzię­ki wie­rze w Boga może­my zyskać życie wiecz­ne i że ma ono war­tość nie­skoń­czo­ną, to wystar­czy zało­żyć, że ist­nie­nie Boga jest moż­li­we (czy­li że p jest więk­sze niż 0), aby jedy­ną racjo­nal­ną decy­zją była wia­ra w Boga. Jest to jed­nak argu­ment, któ­ry wie­lu ludzi odrzuca.

Powyż­sze przy­kła­dy poka­zu­ją, że gdy w grę wcho­dzą war­to­ści nie­skoń­czo­ne, poja­wia się nie­zgod­ność mię­dzy zale­ce­nia­mi nor­ma­tyw­nej teo­rii podej­mo­wa­nia decy­zji EUT a powszech­nie akcep­to­wa­ny­mi prze­ko­na­nia­mi. Mamy więc nastę­pu­ją­ce możliwości:

  • uznać, że teo­ria EUT ma ogra­ni­czo­ny zakres dzia­ła­nia, bo nie radzi sobie z decy­zja­mi o nie­skoń­czo­nej war­to­ści ocze­ki­wa­nej (w takich przy­pad­kach daje nie­roz­sąd­ne rekomendacje);
  • uznać, że teo­ria EUT dzia­ła dobrze i w przy­pad­ku war­to­ści nie­skoń­czo­nych daje roz­sąd­ne reko­men­da­cje (a to, że ludzie wybie­ra­ją ina­czej, świad­czy o ich nieracjonalności);
  • uznać, że teo­ria EUT dzia­ła dobrze, bo war­to­ści nie­skoń­czo­ne nie wystę­pu­ją w naszym życiu (a powyż­sze przy­kła­dy są tyl­ko sztucz­ka­mi filozofów).

Decy­zję, któ­rą z nich wybrać, pozo­sta­wia­my Czytelnikowi.


Anna Wój­to­wicz – dr hab., prof. Uni­wer­sy­te­tu War­szaw­skie­go. Pra­cu­je w Zakła­dzie Logi­ki Filo­zo­ficz­nej na Wydzia­le Filo­zo­fii Uni­wer­sy­te­tu War­szaw­skie­go. Głów­ne zain­te­re­so­wa­nia nauko­we: logi­ka for­mal­na i onto­lo­gia, kry­te­ria racjo­nal­no­ści wnio­sko­wań zawod­nych, logi­ka praw­ni­cza, logi­ka filozoficzna.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Flo­ria­nen vinsi’Siegereith

 

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy