Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 12–15. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
Ograniczenia logiki klasycznej
W logice klasycznej każde zdanie, które coś stwierdza, musi być albo prawdziwe, albo fałszywe. Dla przykładu: nie wiemy, czy zdanie „Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych” jest prawdziwe, czy prawdziwa jest jego negacja. Logika klasyczna mówi, że jedna z tych dwóch opcji musi zachodzić.
Takie podejście jest bardzo wygodne. Pozwala budować systemy logiczne oparte na dwóch wartościach: 0 (fałsz) i 1 (prawda). Dobrze się sprawdza w matematyce, informatyce czy elektronice. Można ją sprowadzić do prostych operacji w tzw. algebrze Boole’a. Dzięki temu tworzy się algorytmy, projektuje obwody, a przyjęcie reguł rozumowania postulujących, że każde zdanie ma jedną z dwóch wartości logicznych, ogromnie upraszcza dowody matematyczne.
Ale ta prostota ma swoją cenę: nie jest oczywiste, czy każde zdanie da się ocenić jako prawdziwe albo fałszywe. Klasycznym przykładem są zdania o istnieniu obiektów matematycznych. Często w matematyce pytamy, czy np. istnieje figura geometryczna o danej własności P lub czy istnieje rozwiązanie jakiegoś równania. W matematyce współczesnej nieraz dowodzi się istnienia obiektów przez sprowadzenie do sprzeczności hipotezy przeciwnej: gdyby każda figura miała własność P, uzyskalibyśmy sprzeczność, z czego wnioskujemy, że istnieje jakaś figura, która jest nie-P.
Intuicjoniści protestowali jednak, że takie wnioskowanie zakłada jakąś formę nieuprawnionego platonizmu, którego nie powinna od nas wymagać sama logika. Figura geometryczna – argumentowali – istnieje tylko o tyle, o ile możemy konkretnie ją opisać. Nie czeka na nas w niebie platońskich idei. Uzyskaliśmy sprzeczność z założenia przeciwnego, ale nie znaczy to, że dana figura istnieje. Ponieważ jednak założenie jest sprzeczne, nie możemy też powiedzieć, że nie istnieje. Może więc warto uznać, że zdanie: „Figura o własności P istnieje” nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe.
Zasada wyłączonego środka i wątpliwości Houyhnhnma
Jednym z kluczowych założeń logiki klasycznej jest zasada wyłączonego środka: każde zdanie jest albo prawdziwe, albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe. Nie ma trzeciej możliwości (łac. tertium non datur). Co jednak zrobić, jeśli nie umiemy stwierdzić, która z tych dwóch możliwości zachodzi?
Jak powiedział Guliwerowi rozumny koń, pewien Houyhnhnm:
Rozsądek uczy nas zaprzeczać lub twierdzić tam tylko, gdzie mamy pewność. Bez dokładnej znajomości rzeczy jedno i drugie jest niepodobieństwem. (anonimowe tłumaczenie 1784)
To zdanie oddaje istotę tzw. intuicjonizmu – kierunku w logice i matematyce, który uważa, że nie wystarczy mówić, że coś „musi być prawdziwe albo fałszywe”. Trzeba mieć dowód. Trzeba wiedzieć, jak coś skonstruować. Dopóki nie potrafimy tego zrobić, nie ma sensu mówić o prawdzie czy fałszu.
Konstrukcja zamiast wartości
W intuicjonizmie rezygnuje się z pytania o wartość zdania. Zamiast tego pyta się, czy można je „skonstruować”. Czytelnik ma w tym momencie prawo być skonfundowany. Co w ogóle rozumiemy, mówiąc o „konstrukcji” zdania? Samo to pojęcie jest w istocie dość subtelne, ale można wyjaśnić je intuicyjnie, odwołując się do przykładu, znanego jeszcze ze szkoły, że istnieją dowolnie duże liczby pierwsze, tzn. dla dowolnej liczby n istnieje liczba p większa od n. Zamiast myśleć, że zdanie to jest prawdziwe (lub fałszywe), możemy pomyśleć o nim samym jako o pewnej operacji. W istocie dowód tego twierdzenia, poznanego w szkole, jest zarazem opisem pewnej operacji, czy procedury, która – ilekroć podamy liczbę n, podaje liczbę p większą niż n. Możemy sobie wyobrazić – a to jest bardzo bliskie rozumieniu Brouwera, jednego z twórców intuicjonizmu – że każde zdanie pojawiające się w matematyce nie tyle wyraża jakiś fakt, ile stanowi opis pewnej procedury.
Jak więc „skonstruować” zdanie? Można np. podać taki opis w zależności od złożoności tego zdania:
- Konstrukcja koniunkcji A i B polega na podaniu konstrukcji dla A i konstrukcji dla B.
- Konstrukcja alternatywy A lub B polega na wskazaniu jednego ze składników: A lub B, oraz skonstruowaniu tego składnika.
- Konstrukcja implikacji A → B to metoda (funkcja), która każdej konstrukcji przesłanki A przypisuje jakąś konstrukcję dla konkluzji B.
- Nie ma konstrukcji dla wyróżnionego zdania, „absurdu” ⊥.
- Konstrukcja tezy egzystencjalnej: „Istnieje x takie, że A(x)” to wskazanie obiektu t i konstrukcji dla A(t).
- Konstrukcja tezy uniwersalnej: „Dla każdego x A(x)” to metoda (funkcja), która każdemu t przypisuje jakąś konstrukcję dla A(t).
- Negację „nie A” identyfikujemy z implikacją: „Jeśli A, to ⊥”, a zatem konstrukcja „nie A” to metoda obrócenia dowolnej konstrukcji A w absurd.
To podejście nazywa się interpretacją BHK – od nazwisk Brouwera, Heytinga i Kołmogorowa. Rezygnuje ono z przypisywania zdaniom wartości w stylu 0 lub 1. Zamiast tego analizuje, co trzeba zrobić, aby dane zdanie uznać za „skonstruowane”, co przynajmniej w wypadku niektórych przedstawicieli intuicjonizmu można utożsamić z „udowodnione”. Niektóre zasady klasyczne nie przechodzą tego testu. Na przykład zasada „albo A, albo nie A”. W logice intuicjonistycznej nie da się jej udowodnić bez wskazania dowodu dla jednego z członów alternatywy. Zasada wyłączonego środka nie zawsze jest więc uznawana na gruncie tej logiki.
Dowód jako program
Aby móc mówić o dowodach w logice intuicjonistycznej w sposób precyzyjny, trzeba wprowadzić formalny sposób ich zapisywania. Jednym z najciekawszych pomysłów jest potraktowanie dowodu jak funkcji albo programu komputerowego. W takim ujęciu twierdzenie traktowane jest jak zadanie do wykonania, a dowód jak instrukcja, wskazująca sposób rozwiązania.
Na przykład jeśli udowodniliśmy implikację: „Jeśli A, to B”, a tym samym wskazaliśmy instrukcję rozwiązującą zadanie B przy danym rozwiązaniu zadania A i zbudowaliśmy dowód dla A (czyli znaleźliśmy instrukcję „rozwiązującą” zadanie A), to możemy zbudować dowód B (czyli „rozwiązać” zadanie B). Działa to jak program: jeśli masz funkcję „dodaj 1” i podasz jej liczbę 2, to osiągniesz wynik: 3. Analogicznie: jeśli masz dowód, że „z A wynika B”, i dowód A, to możesz „uruchomić” ten dowód i otrzymać B.
Przyjmując tę perspektywę, jesteśmy w stanie zapisać cały dowód w formie kolejnych poleceń, tworzących dany program, czy instrukcji rozwiązującej dane zadanie. Ten sposób myślenia prowadzi do pewnej naturalnej procedury upraszczania dowodów: jeśli udowodniliśmy B, najpierw dowodząc, że „z A wynika B”, a potem dowodząc „A”, to okazuje się, że całą „instrukcję” zawartą w implikacji (zamieniającej rozwiązania problemu „A” na rozwiązania problemu „B”) można było od razu, krok po kroku, zastosować do konstrukcji rozwiązującej problem A. W ten sposób uzyskujemy instrukcję rozwiązującą „od razu” problem B. Tę procedurę możemy stosować, ilekroć osobno dowodziliśmy implikacji: „Jeśli A, to B” i osobno „A”, żeby uzyskać „B”, aby za każdym razem otrzymać dowód dający od razu „B”. W końcu usuwamy z dowodu wszystkie „zastosowane” implikacje. Taki maksymalnie uproszczony dowód nazywamy dowodem w postaci normalnej.
Dzięki takiej analizie dowiadujemy się, jakie zdania nie są konsekwencjami logiki intuicjonistycznej. Jeśli zdanie ma dowód, jest to dowód w postaci normalnej. Podczas analizy, jak może on wyglądać, czasami okazuje się, że po prostu nie da się go zbudować. Weźmy na przykład prawo Peirce’a: „Jeśli z założenia, że z A wynika B, wynika A, to A”. W logice klasycznej to zupełnie poprawne twierdzenie. W logice intuicjonistycznej próba zbudowania takiego dowodu kończy się jednak niepowodzeniem.
Ta cała logika dowodów działa zaskakująco podobnie do programowania. I nie jest to tylko metafora. Istnieje głęboka zależność między strukturą dowodów i strukturą programów. Nazywa się ją izomorfizmem Curry’ego–Howarda. Zgodnie z tą ideą:
- każdemu twierdzeniu odpowiada typ danych,
- każdemu dowodowi – odpowiada program,
- a wykonanie programu – to uproszczenie (normalizacja) dowodu.
Podejście to nie tylko łączy logikę z informatyką, ale ma też praktyczne zastosowanie. Istnieją systemy komputerowe (jak np. Rocq, dawniej znany jako Coq), w których pisze się dowody jak programy, a komputer sprawdza ich poprawność. W takim ujęciu matematyka przestaje być tylko teorią. Staje się językiem budowania i działania.
Wielowartościowość? Niekoniecznie
Skoro logika intuicjonistyczna odrzuca zasadę, że każde zdanie musi być albo prawdziwe, albo fałszywe, to może po prostu potrzebujemy więcej wartości logicznych? Trzy? Cztery? Albo jeszcze więcej? Na pierwszy rzut oka może się to wydawać sensowne. Jeśli „prawda” i „fałsz” nie wystarczają, to może warto wprowadzić trzecią opcję – np. „nieokreślone” albo „niewiedza”.
Szybko jednak okazuje się, że nie rozwiązuje to problemu. Gdybyśmy przyjęli tylko trzy wartości, to w przypadku dowolnych czterech zdań musielibyśmy przypisać dwóm różnym zdaniom tę samą wartość – po prostu nie dałoby się inaczej. A to prowadzi do fałszywych wniosków: niektóre zdania stałyby się twierdzeniami logicznymi tylko dlatego, że nie ma wystarczająco dużo „kolorów” do rozróżnienia sytuacji. Wniosek? Skończona liczba wartości logicznych nie wystarcza, by uchwycić logikę intuicjonistyczną.
Co więc zamiast? Zamiast przypisywać zdaniom wartości z gotowej listy (takiej jak: prawda, fałsz, coś pomiędzy), można potraktować każde zdanie jako osobną wartość. Można powiedzieć, że każde zdanie „niesie w sobie” własny sposób bycia prawdziwym. Gdy dwa zdania mają dokładnie ten sam sens dowodowy, traktujemy je jako równoważne – i wtedy należą do tej samej klasy.
Z matematycznego punktu widzenia taka struktura nazywa się algebrą Lindenbauma. W klasycznej logice taka algebra przyjmuje bardzo prostą postać – to tzw. algebra Boole’a, dobrze znana z działań na zbiorach: suma, przecięcie, dopełnienie. Ale w logice intuicjonistycznej mamy inną strukturę – algebrę Heytinga, która jest podobna, ale subtelniejsza. Na przykład, implikacja nie jest tu tym samym co „albo nie A, albo B”, jak to bywa w logice klasycznej.
Takie algebry pojawiają się naturalnie w wielu miejscach w matematyce – np. w topologii, czyli nauce o przestrzeniach i ich własnościach. Każda przestrzeń topologiczna – np. prosta liczbowa – niesie ze sobą pewną algebrę Heytinga, zbudowaną z jej podzbiorów otwartych. Zbiory otwarte (czyli te, które nie zawierają swoich „brzegów”) pełnią tu więc rolę wartości logicznych.
Przykład
Weźmy zbiór wszystkich liczb mniejszych od zera. To może być znaczenie jakiegoś zdania „p”. W takim ujęciu „nie-p” to zbiór liczb większych od zera (zbiór liczb, które są poza „p”, to zbiór liczb nie mniejszych niż zero; największy zbiór otwarty, „bez brzegu”, który w nim się zawiera, to właśnie nasz zbiór liczb większych od zera). Razem dają niemal całą prostą, ale tylko „niemal”, bo brakuje zera! Z tego powodu zdanie „p lub nie-p” nie jest w tej interpretacji całkowicie prawdziwe – bo nie obejmuje całej przestrzeni. Jeśli uznamy więc, że zbiory otwarte faktycznie zachowują się zgodnie z przewidywaniami logiki intuicjonistycznej, to powyższy przykład jest intuicyjnym uzasadnieniem, dlaczego prawo wyłączonego środka w niej nie obowiązuje.
Ponadto jeśli weźmiemy zaprzeczenie zaprzeczenia tego zdania – czyli „nie-nie(p lub nie-p)” – to okaże się, że ono jest prawdziwe: „p lub nie p” to wszystko poza jednym punktem; nie(p lub nie p) to największy zbiór otwarty zawarty w zbiorze składającym się z tego jednego, brakującego punktu. Zbiór ten jednak nie ma żadnych podzbiorów otwartych poza zbiorem pustym. Dopełnienie zbioru pustego, „nie-nie(p lub nie p)”, to z kolei cała przestrzeń. Oznacza to, że choć nie możemy udowodnić samego zdania „p lub nie-p”, to możemy pokazać, że nie da się mu zaprzeczyć – co świetnie pokazuje różnicę między logiką klasyczną a intuicjonistyczną.
Wniosek? Intuicjonizm nie potrzebuje trzech czy czterech wartości logicznych. On działa na innej zasadzie: nie przypisuje zdaniom wartości, lecz patrzy, jak można je „skonstruować”. I właśnie dlatego nie jest to „logika wielowartościowa” w tradycyjnym sensie. Jest to logika konstrukcyjna – logika tego, co można wykonać, dowieść i rzeczywiście uchwycić.
Logika skonstruowana, nie przypisana
Logika intuicjonistyczna zmienia sposób patrzenia na prawdę. Nie pyta: „czy to prawda?”, lecz: „czy potrafisz to udowodnić?”. Zamiast przypisywać zdaniom gotowe wartości, zachęca, by je konstruować. A to oznacza, że prawda nie jest dana z góry – musi zostać skonstruowana. I to czyni ten sposób myślenia bardziej zbliżonym do rzeczywistego rozumowania, niż mogłoby się z początku wydawać.
* Redakcja po konsultacji z prof. Pawłem Urzyczynem.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 4.0.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
< Powrót do spisu treści numeru.
Ilustracja: Agnieszka Zaniewska
Dofinansowano ze środków Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego pochodzących z Funduszu Promocji Kultury.
Skomentuj