Elżbieta Drozdowska: Prawda i inne wartości logiczne

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 22–25. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Co to znaczy, że zdanie jest prawdziwe? Zgodnie z klasyczną koncepcją prawda to zgodność zdania (myśli) z rzeczywistością. Jakkolwiek by nie rozumieć, na czym ta zgodność polega, w logice chodzi o to, że zdanie jest prawdziwe wtedy, gdy stan rzeczy, który ono opisuje, faktycznie zachodzi. Jeśli więc faktycznie w świecie jest tak, że śnieg jest biały, to zdanie „Śnieg jest biały” jest zdaniem prawdziwym. Oczywiście chodzi tu o precyzyjnie sformułowane zdania oznajmujące, zawierające informacje przydatne we wnioskowaniach, a nie np. zdania pytające czy rozkazujące.

Co więcej, logika klasyczna oparta jest na założeniu, że stosowane w niej spójniki zdaniowe są ekstensjonalne, tzn. że wartość logiczna zdania złożonego za ich pomocą zależy tylko od wartości logicznej zdań składowych. Spójnikiem ekstensjonalnym jest na przykład negacja. Oznacza to, że jeśli zdanie p jest prawdziwe (np. zdanie „Śnieg jest biały”), to jego negacja, czyli ~p („Śnieg nie jest biały”), ma ściśle wyznaczoną wartość – wartość przeciwną prawdzie, czyli fałsz. Dzięki ekstensjonalności wartości logiczne zdań złożonych za pomocą spójników logicznych: „nie” (negacja ~), „i” (koniunkcja ∧), „lub” (alternatywa ∨), „jeśli… to…” (implikacja →), „wtedy i tylko wtedy, gdy” (równoważność ≡) można zapisać w postaci następujących tabel:

Tabele te zawierają wszystkie możliwe interpretacje zdań prostych. Analizując je, możemy się przekonać, że zdanie p ∧ ~p jest zawsze fałszywe (niezależnie od tego, czy p jest prawdą, czy nie), a zdanie p ∨ ~p jest zawsze prawdziwe. Pierwsze nazywamy prawem sprzeczności, drugie prawem wyłączonego środka, a razem wyrażają one zasadę dwuwartościowości, która stanowi fundament logiki klasycznej: zgodnie z nią każde zdanie jest, ni mniej, ni więcej, prawdziwe albo fałszywe.

Są różne sposoby wyjścia z ram logiki klasycznej. Jednym z nich jest przyjęcie spójników nieekstensjonalnych, takich jak np. funktory ­konieczności i możliwości. Innym jest odrzucenie zasady dwuwartościowości i rozważanie więcej niż dwóch wartości logicznych. Ale dlaczego w ogóle mielibyśmy coś takiego robić?

Trzecia wartość

Zgodnie z zasadą dwuwartościowości każde zdanie jest prawdziwe albo fałszywe – z naciskiem na „każde”. Z punktu widzenia logiki klasycznej nie ma więc zdań, które byłyby równocześnie prawdziwe i fałszywe, ani nie ma takich, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Nie oznacza to, że my, podmioty rozumujące, musimy w danej chwili znać wartość logiczną każdego zdania – wymagałoby to od nas boskiej wszechwiedzy; chodzi raczej o założenie, że świat jakiś konkretnie jest, niezależnie od naszego poznania, a w związku z tym to ten konkretny świat rozstrzyga o każdym zdaniu, czy jest ono prawdą, czy fałszem.

Jak na razie wydaje się, że nie ma tu większych kontrowersji. Ale czy na pewno? Polski logik Jan Łukasiewicz był innego zdania, a – jak się okazuje – podzielał wątpliwości Arystotelesa. Wyobraźmy sobie, że do Zatoki Sarońskiej zbliża się wroga flota. Mieszkańcy Aten obserwują ten widok: z jednej strony własne okręty, z drugiej wrogie. Sytuacja jest napięta, ale dowódcy pertraktują, sytuacja jeszcze nie jest przesądzona. Czy jutro odbędzie się bitwa morska?

W tej chwili tego jeszcze nie wiemy, a niepewna sytuacja zawsze się może odmienić. Zwróćmy jednak uwagę, że zgodnie z zasadą dwuwartościowości zdania o świecie są prawdziwe albo fałszywe, niezależnie od naszej wiedzy, i prawdziwe albo fałszywe jest każde z nich, niezależnie od chwili, w jakiej jest wypowiadane. Jeśli więc traktować tę zasadę poważnie, należałoby uznać, że już dzisiaj sytuacja niepewna w przyszłości jest rozstrzygnięta – zdanie: „Jutro odbędzie się bitwa morska” już dzisiaj jest prawdziwe albo fałszywe. I to niezależnie od naszej wiedzy i naszych działań. Takie stanowisko nazywamy fatalizmem.

Powyższy problem to tzw. problem przyszłych zdarzeń przygodnych (przygodnych, czyli niekoniecznych), który stał się dla Łukasiewicza powodem do wprowadzenia trzeciej wartości logicznej. Łukasiewicz był zagorzałym indeterministą, a fatalizm był dla niego nie do przyjęcia. Uznał on, że oprócz zdań prawdziwych i fałszywych potrzebujemy trzeciej kategorii – zdań „nieokreślonych” (lub też „możliwych”). Na ich oznaczenie przyjął wartość logiczną 1/2, pośrednią między prawdą 1 a fałszem 0. A w 1920 r. w artykule O logice trójwartościowej zaproponował rachunek logiczny, który ujmował zasady logiki trójwartościowej.

Łukasiewicz nie był jedyną osobą, która myślała o dodatkowych wartościach logicznych. W tym samym 1920 r. Emil Post opublikował artykuł Introduction to a general theory of elementary propositions, w którym – na kanwie badań nad funkcjonalną pełnością systemów logicznych – zaproponował własny wielowartościowy rachunek logiczny, opracowany niezależnie od Łukasiewicza. Z kolei w 1938 r. Stephen Kleene zaproponował na potrzeby badań matematycznych trzecią wartość logiczną „nieokreślone”, która miała uwzględniać m.in. to, że funkcje matematyczne mogą być takie dla pewnych argumentów (np. operacja dzielenia dla 0).

Problemy z trzecią wartością

Logiki Łukasiewicza, Posta i Kleene’a są bardzo dobrze określonymi narzędziami matematycznymi. Co więcej, logiki Łukasiewicza i Posta zostały uogólnione na dowolną liczbę wartości logicznych (zarówno skończonych, jak i nieskończonych – w logice nieskończenie wielowartościowej Łukasiewicza zdania przyjmują jako wartości logiczne liczby rzeczywiste z przedziału [0,1]) i zainspirowały m.in. powstanie logik rozmytych. Jako formalne narzędzia są więc dobrze ugruntowane.

Jednak wśród logików wciąż budzi kontrowersje kwestia, jak właściwie należy te dodatkowe wartości logiczne interpretować. Już w 1938 r. Gonseth zauważył, że interpretacja zaproponowana przez Łukasiewicza jest niezgodna z regułami jego rachunku. Na przykład zgodnie z tabelami Łukasiewicza (por. niżej), zdanie p jest nieokreślone, jego negacja ~p również jest nieokreślona, a koniunkcja dwóch zdań nieokreślonych wciąż ma wartość nieokreśloną. Ale przecież zdanie p ∧ ~p powinno być, zgodnie z podstawowymi intuicjami logików, zawsze fałszywe, a nie nieokreślone.

Zwiększenie liczby „pośrednich” wartości logicznych wcale sprawy nie ułatwia. Te dodatkowe „pośrednie” wartości logiczne mogą być interpretowane jako różne „stopnie możliwości”, albo nawet „stopnie prawdziwości” – np. zdanie o wartości logicznej 1/3 miałoby być „mniej prawdziwe” niż zdanie o wartości logicznej 2/3, cokolwiek miałoby to znaczyć. Gdy zwiększymy liczbę wartości na nieskończony przedział [0,1], nasunąć nam się mogą skojarzenia z rachunkiem prawdopodobieństwa. Temat związku logik wielowartościowych z rachunkiem prawdopodobieństwa był intensywnie eksploatowany (np. koncepcja prawdopodobieństwa logicznego) m.in. przez samego Łukasiewicza. W takim ujęciu wartość logiczna zdania p, wynosząca przykładowo 0,1, miałaby mieć sens taki, że prawdopodobieństwo, iż zdanie p jest prawdziwe, wynosi 0,1.

Jednakże również ta interpretacja jest niestety nie do utrzymania, ponieważ spójniki logiczne są ekstensjonalne, a operacje na prawdopodobieństwach zdarzeń nie. Załóżmy, że mamy zdarzenie A, które jest sumą zdarzeń A1 i A2. Zdanie P, dotyczące zdarzenia A, jest w tej interpretacji alternatywą zdań P1 i P2, dotyczących odpowiednio zdarzeń A1 i A2. Liczbowa wartość prawdopodobieństwa zdarzenia A powinna być równa wartości logicznej zdania P. Wartość alternatywy zdań P1 i P2 jest określona jako większa spośród wartości poszczególnych zdań P1 i P2. Z kolei wartość prawdopodobieństwa sumy A1 i A2 nie jest w ogólnym przypadku określona jednoznacznie – zależy od tego, czy A1 i A2 są zdarzeniami rozłącznymi, czy nie. Sprawia to, że logika i rachunek prawdopodobieństwa są trudniejsze do pogodzenia, niż mogłoby się to na pierwszy rzut oka wydawać.

Interpretacja bez interpretacji? Logika jako czysta algebra

W obliczu problemów ze zrozumieniem, czym właściwie miałyby być te pośrednie wartości logiczne, niektórzy logicy podkreślają znaczenie faktu, że wielowartościowa matryca logiczna jest po prostu algebrą, w której pewną część elementów przyjęto jako wyróżnione (tzn. w pewnym sensie „prawdziwe” – zwykle jest to 1). Tabele logiczne spójników określają działania w tej algebrze, a wymienione w nich wartości logiczne są po prostu jej elementami. Tak jak 0 i 1 wraz z klasycznymi spójnikami logicznymi można po prostu ująć jako dwuelementową algebrę Boole’a, tak 0, 1 i wszystkie wartości pośrednie wraz z wielowartościowymi spójnikami można ująć jako jakąś inną algebrę (MV-algebrę). I być może tyle nam wystarczy wiedzieć o dodatkowych wartościach logicznych.

W przypadku logiki klasycznej tak się szczęśliwie złożyło, że wiemy, jak interpretować sens 0 i 1: modelują nam one „świat”, w którym zdania są tylko prawdziwe lub fałszywe, niezależnie od tego, czy świat rzeczywisty taki jest. Ale taka interpretacja nie jest konieczna, żeby logika „działała”. W przypadku logiki wielowartościowej takiej oczywistej interpretacji jeszcze nie mamy. Ale jeśli zgodzimy się zrezygnować z traktowania wartości logicznych jako czegoś „o świecie” i zaczniemy postrzegać je jako narzędzia – modele, które można „przyłożyć” do pewnych zastosowań czy fragmentów rzeczywistości – uwolnimy się od uporczywych pytań, które, być może, po prostu marnują nasz czas.

No chyba, że uznamy, iż koszt porzucenia filozoficznych dociekań byłby dla nas zbyt duży.

Elżbieta Drozdowska – asystentka w Katedrze Podstaw Informatyki KUL, związana z redakcją „Filozofuj!” od 2018 roku. Zainteresowania naukowe: logiki nieklasyczne, w szczególności logiki kwantowe i związki między logiką a algebrą.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 4.0.

W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Agnieszka Zaniewska

Dofinansowano ze środków Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego pochodzących z Funduszu Promocji Kultury.