Artykuł

Jakub Jernajczyk: Od punktu do nieskończoności

Punkt nie ma długości, szerokości ani głębokości; punkt ma wymiar zerowy. Jak zatem prosta – coś, co posiada długość (choć nie posiada szerokości) – może być złożona z bezwymiarowych punktów?

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 25–27. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Sta­ro­żyt­ni geo­me­trzy przyj­mo­wa­li, że pro­sta skła­da się z punk­tów. Współ­cze­śni mate­ma­ty­cy dopre­cy­zo­wu­ją, że punk­ty te są upo­rząd­ko­wa­ne linio­wo i jest ich nie­skoń­cze­nie wiele.

W tym miej­scu moż­na by już w zasa­dzie zakoń­czyć zapo­wia­da­ną tytu­łem arty­ku­łu podróż „od punk­tu do nie­skoń­czo­ność”. Moż­na by, gdy­by­śmy wie­dzie­li, jak ową podróż w ogó­le roz­po­cząć – jak zna­leźć punk­ty i jak zbu­do­wać z nich pro­stą. Wbrew pozo­rom nie jest to wca­le rzecz łatwa, bowiem jak zauwa­ża Ber­trand Rus­sell, „nikt nigdy nie widział punk­tu i nikt nigdy go nie dotknął”.

Budowa prostej

Wedle słyn­nej defi­ni­cji Eukli­de­sa „punkt jest tym, co nie ma czę­ści”. Inny­mi sło­wy punkt nie ma dłu­go­ści, sze­ro­ko­ści ani głę­bo­ko­ści; punkt ma wymiar zero­wy. Jak zatem pro­sta – coś, co posia­da dłu­gość (choć nie posia­da sze­ro­ko­ści) – może być zło­żo­na z bez­wy­mia­ro­wych punk­tów? To tak, jak­by­śmy chcie­li otrzy­mać „coś”, sumu­jąc same „nico­ści”. A prze­cież jasne jest, że doda­jąc do sie­bie dowol­ną, nie­skoń­czo­ną nawet licz­bę zer, zawsze otrzy­ma­my zero. Wyda­je się więc, że łącząc punk­ty o zero­wych wymia­rach, nie może­my otrzy­mać nawet naj­krót­sze­go odcin­ka, a tym bar­dziej nie­ogra­ni­cze­nie roz­cią­ga­ją­cej się prostej.

Dokład­niej­szą ana­li­zę tego pro­ble­mu pod­jął Sek­stus Empi­ryk: jeśli zało­ży­my, że pro­sta skła­da się z punk­tów leżą­cych w rzę­dzie, to punk­ty te będą bądź nie będą się ze sobą sty­ka­ły. Jeśli punk­ty nie sty­ka­ją się ze sobą, to ist­nie­ją mię­dzy nimi luki, zatem taki układ nie two­rzy spój­nej pro­stej. Jeśli zaś punk­ty sty­ka­ją się ze sobą, to znów ist­nie­ją dwie moż­li­wo­ści: mogą sty­kać się ze sobą w cało­ści bądź swy­mi czę­ścia­mi. Jeśli jed­nak punk­ty sty­ka­ją się ze sobą czę­ścia­mi, to zna­czy, że mają jakieś czę­ści, a zatem nie są nie­po­dziel­ne, co prze­czy zakła­da­nej defi­ni­cji punk­tu („jest tym, co nie ma czę­ści”). Gdy­by zaś punk­ty sty­ka­ły się ze sobą w cało­ści, to zawie­ra­ły­by się w sobie wza­jem­nie, zaj­mu­jąc to samo miej­sce, i w efek­cie two­rzy­ły­by jeden punkt, a nie pro­stą. Zatem, wedle Sek­stu­sa, nie­za­leż­nie od tego, któ­rą ścież­ką podą­ży­ła­by nasza myśl, wnio­sek nasu­wa się jeden: z bez­wy­mia­ro­wych punk­tów nie moż­na zbu­do­wać prostej.

Podziały prostej

Sko­ro nie potra­fi­my w łatwy spo­sób wyobra­zić sobie kon­struk­cji pro­stej z nie­roz­cią­głych punk­tów, spró­buj­my przy­jąć kie­ru­nek odwrot­ny – załóż­my, że pro­sta już ist­nie­je i poszu­kaj­my na niej poje­dyn­cze­go punk­tu. Pierw­szym pomy­słem, jaki może się tu nasu­nąć, jest wydzie­le­nie odcin­ka – frag­men­tu pro­stej, a następ­nie jego kon­se­kwent­ny podział. Być może dzie­ląc odci­nek na coraz to mniej­sze czę­ści, uda nam się dotrzeć do poje­dyn­cze­go punktu.

Geo­me­trycz­na meto­da syme­trycz­nych podzia­łów odcin­ka okre­ślo­na zosta­ła przez grec­kich mate­ma­ty­ków mia­nem dycho­to­mii. Otrzy­ma­ne w wyni­ku takie­go podzia­łu odcin­ki mogą być pod­da­wa­ne kolej­nym dycho­to­micz­nym podzia­łom, a pro­ces ten może być powta­rza­ny dowol­ną licz­bę razy (para­doks dychotomii).
Doko­nu­jąc jed­nak podzia­łu dowol­nie krót­kie­go odcin­ka, zawsze otrzy­ma­my odci­nek o dwu­krot­nie krót­szej, lecz nie­ze­ro­wej dłu­go­ści. Zatem nawet nie­skoń­czo­ne powta­rza­nie dycho­to­micz­nych podzia­łów frag­men­tu pro­stej nie pozwo­li nam nigdy dotrzeć do bez­wy­mia­ro­we­go, nie­po­dziel­ne­go punktu.

Wskazywanie punktów

Wie­lu mate­ma­ty­ków podzie­la jed­nak prze­ko­na­nie, że bez­wy­mia­ro­we punk­ty na pro­stej ist­nie­ją. Musi zatem też ist­nieć jakiś spo­sób, by je wska­zy­wać. Ale jak wska­zać coś, co nie posia­da wymia­ru czy też ma wymiar zero­wy? Na pew­no nie moż­na tego doko­nać żad­nym mate­rial­nym wskaź­ni­kiem, gdyż taki wskaź­nik, choć­by był nawet naj­węż­szy, zawsze będzie miał jakąś sze­ro­kość, nie­skoń­cze­nie prze­kra­cza­ją­cą zero­wą sze­ro­kość bez­wy­mia­ro­we­go punk­tu. Na sze­ro­kość dowol­nie wąskie­go wskaź­ni­ka zawsze przy­pad­nie więc ogrom­na, de fac­to nie­skoń­czo­na licz­ba róż­nych punk­tów. Zatem takie­go wska­za­nia w żad­nym razie nie mogli­by­śmy uznać za precyzyjne.

Ist­nie­je jed­nak pew­na meto­da wska­zy­wa­nia, któ­ra jest nie­wraż­li­wa na wymiar wskaź­ni­ka. Meto­da ta pole­ga na… prze­cię­ciu pro­stej w danym punk­cie. Prze­ci­na­jąc jaki­kol­wiek, fizycz­ny bądź wyobra­żo­ny obiekt, roz­dzie­la­my go na dwie czę­ści, któ­re pozo­sta­ją po dwóch stro­nach fizycz­ne­go bądź wyobra­żo­ne­go ostrza. W miej­scu cię­cia nie pozo­sta­je żad­na część prze­ci­na­ne­go obiek­tu – samo cię­cie nie zabie­ra z obiek­tu nicze­go. Tym samym doko­nu­je ono bez­wy­mia­ro­we­go wska­za­nia, o któ­re nam wła­śnie cho­dzi­ło. Meto­da ta pozwa­la więc wska­zy­wać na pro­stej dowol­ne, bez­wy­mia­ro­we punk­ty. Choć podej­ście to może wyda­wać się nam oczy­wi­ste czy nawet banal­ne, w dru­giej poło­wie XIX w. umoż­li­wi­ło ono rewo­lu­cyj­ny wręcz postęp w obsza­rze badań nad pod­sta­wa­mi mate­ma­ty­ki. Wycho­dząc wła­śnie od intu­icyj­ne­go wska­zy­wa­nia punk­tów na pro­stej, nie­miec­ki mate­ma­tyk Richard Dede­kind zde­fi­nio­wał ści­słą abs­trak­cyj­ną meto­dę kon­stru­owa­nia liczb nie­wy­mier­nych, zna­ną obec­nie pod nazwą prze­kro­jów Dedekinda.

Matematyka a doświadczenie

Pomi­mo że opi­sa­na wyżej pro­po­zy­cja wska­zy­wa­nia poje­dyn­czych punk­tów poprzez odpo­wied­nie roz­cię­cia pro­stej nie wzbu­dza raczej naszych wąt­pli­wo­ści pod wzglę­dem logicz­nym, nie daje się ona w łatwy spo­sób pogo­dzić z naszym intu­icyj­nym rozu­mie­niem cią­gło­ści pro­stej, któ­rą utoż­sa­mia­my raczej z pew­ną spo­isto­ścią, w żad­nym zaś razie z poszat­ko­wa­niem. Cho­ciaż dzię­ki cię­ciom mogli­by­śmy teo­re­tycz­nie wyzna­czyć nie­skoń­cze­nie wie­le punk­tów na pro­stej, a w kon­se­kwen­cji zre­kon­stru­ować z nich całą pro­stą, absur­dal­nym wyda­je się stwier­dze­nie, że cią­gła pro­sta mia­ła­by się skła­dać z samych tyl­ko cięć.

Jak więc pogo­dzić ze sobą prze­ko­na­nie mate­ma­ty­ków o punk­to­wej budo­wie pro­stej i nasze, wywo­dzą­ce się z doświad­cze­nia, intu­icje doty­czą­ce poję­cia cią­gło­ści? Wyda­je się, że w ślad za taki­mi uczo­ny­mi jak Ber­trand Rus­sell czy Hen­ri Poin­ca­ré nale­ża­ło­by przy­jąć, iż nie moż­na zakła­dać peł­nej odpo­wied­nio­ści pomię­dzy abs­trak­cyj­ny­mi kon­struk­cja­mi mate­ma­ty­ków a bez­po­śred­nim doświad­cze­niem, obej­mu­ją­cym zarów­no nasze postrze­że­nia, jak i wyobrażenia.


Jakub Jer­naj­czyk – arty­sta wizu­al­ny, mate­ma­tyk, popu­la­ry­za­tor nauki. Pro­fe­sor na Wydzia­le Gra­fi­ki i Sztu­ki Mediów wro­cław­skiej ASP. Inte­re­su­je się głów­nie poznaw­czą rolą obra­zu i rela­cja­mi sztu­ki z nauką. Stro­na inter­ne­to­wa: www.grapik.pl

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Pau­li­na Belcarz

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

1 komentarz

Kliknij, aby skomentować

  • Czy nie wystar­czy powią­zać punk­tu z jego loka­li­za­cją, opi­sy­wa­ną za pomo­cą zesta­wu tylu liczb, w ilo-wymia­ro­wej prze­strze­ni będzie się znajdował?

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy