Jakub Jernajczyk: Od punktu do nieskończoności

Punkt nie ma długości, szerokości ani głębokości; punkt ma wymiar zerowy. Jak zatem prosta – coś, co posiada długość (choć nie posiada szerokości) – może być złożona z bezwymiarowych punktów?

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 25–27. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Starożytni geometrzy przyjmowali, że prosta składa się z punktów. Współcześni matematycy doprecyzowują, że punkty te są uporządkowane liniowo i jest ich nieskończenie wiele.

W tym miejscu można by już w zasadzie zakończyć zapowiadaną tytułem artykułu podróż „od punktu do nieskończoność”. Można by, gdybyśmy wiedzieli, jak ową podróż w ogóle rozpocząć – jak znaleźć punkty i jak zbudować z nich prostą. Wbrew pozorom nie jest to wcale rzecz łatwa, bowiem jak zauważa Bertrand Russell, „nikt nigdy nie widział punktu i nikt nigdy go nie dotknął”.

Budowa prostej

Wedle słynnej definicji Euklidesa „punkt jest tym, co nie ma części”. Innymi słowy punkt nie ma długości, szerokości ani głębokości; punkt ma wymiar zerowy. Jak zatem prosta – coś, co posiada długość (choć nie posiada szerokości) – może być złożona z bezwymiarowych punktów? To tak, jakbyśmy chcieli otrzymać „coś”, sumując same „nicości”. A przecież jasne jest, że dodając do siebie dowolną, nieskończoną nawet liczbę zer, zawsze otrzymamy zero. Wydaje się więc, że łącząc punkty o zerowych wymiarach, nie możemy otrzymać nawet najkrótszego odcinka, a tym bardziej nieograniczenie rozciągającej się prostej.

Dokładniejszą analizę tego problemu podjął Sekstus Empiryk: jeśli założymy, że prosta składa się z punktów leżących w rzędzie, to punkty te będą bądź nie będą się ze sobą stykały. Jeśli punkty nie stykają się ze sobą, to istnieją między nimi luki, zatem taki układ nie tworzy spójnej prostej. Jeśli zaś punkty stykają się ze sobą, to znów istnieją dwie możliwości: mogą stykać się ze sobą w całości bądź swymi częściami. Jeśli jednak punkty stykają się ze sobą częściami, to znaczy, że mają jakieś części, a zatem nie są niepodzielne, co przeczy zakładanej definicji punktu („jest tym, co nie ma części”). Gdyby zaś punkty stykały się ze sobą w całości, to zawierałyby się w sobie wzajemnie, zajmując to samo miejsce, i w efekcie tworzyłyby jeden punkt, a nie prostą. Zatem, wedle Sekstusa, niezależnie od tego, którą ścieżką podążyłaby nasza myśl, wniosek nasuwa się jeden: z bezwymiarowych punktów nie można zbudować prostej.

Podziały prostej

Skoro nie potrafimy w łatwy sposób wyobrazić sobie konstrukcji prostej z nierozciągłych punktów, spróbujmy przyjąć kierunek odwrotny – załóżmy, że prosta już istnieje i poszukajmy na niej pojedynczego punktu. Pierwszym pomysłem, jaki może się tu nasunąć, jest wydzielenie odcinka – fragmentu prostej, a następnie jego konsekwentny podział. Być może dzieląc odcinek na coraz to mniejsze części, uda nam się dotrzeć do pojedynczego punktu.

Geometryczna metoda symetrycznych podziałów odcinka określona została przez greckich matematyków mianem dychotomii. Otrzymane w wyniku takiego podziału odcinki mogą być poddawane kolejnym dychotomicznym podziałom, a proces ten może być powtarzany dowolną liczbę razy (paradoks dychotomii).
Dokonując jednak podziału dowolnie krótkiego odcinka, zawsze otrzymamy odcinek o dwukrotnie krótszej, lecz niezerowej długości. Zatem nawet nieskończone powtarzanie dychotomicznych podziałów fragmentu prostej nie pozwoli nam nigdy dotrzeć do bezwymiarowego, niepodzielnego punktu.

Wskazywanie punktów

Wielu matematyków podziela jednak przekonanie, że bezwymiarowe punkty na prostej istnieją. Musi zatem też istnieć jakiś sposób, by je wskazywać. Ale jak wskazać coś, co nie posiada wymiaru czy też ma wymiar zerowy? Na pewno nie można tego dokonać żadnym materialnym wskaźnikiem, gdyż taki wskaźnik, choćby był nawet najwęższy, zawsze będzie miał jakąś szerokość, nieskończenie przekraczającą zerową szerokość bezwymiarowego punktu. Na szerokość dowolnie wąskiego wskaźnika zawsze przypadnie więc ogromna, de facto nieskończona liczba różnych punktów. Zatem takiego wskazania w żadnym razie nie moglibyśmy uznać za precyzyjne.

Istnieje jednak pewna metoda wskazywania, która jest niewrażliwa na wymiar wskaźnika. Metoda ta polega na… przecięciu prostej w danym punkcie. Przecinając jakikolwiek, fizyczny bądź wyobrażony obiekt, rozdzielamy go na dwie części, które pozostają po dwóch stronach fizycznego bądź wyobrażonego ostrza. W miejscu cięcia nie pozostaje żadna część przecinanego obiektu – samo cięcie nie zabiera z obiektu niczego. Tym samym dokonuje ono bezwymiarowego wskazania, o które nam właśnie chodziło. Metoda ta pozwala więc wskazywać na prostej dowolne, bezwymiarowe punkty. Choć podejście to może wydawać się nam oczywiste czy nawet banalne, w drugiej połowie XIX w. umożliwiło ono rewolucyjny wręcz postęp w obszarze badań nad podstawami matematyki. Wychodząc właśnie od intuicyjnego wskazywania punktów na prostej, niemiecki matematyk Richard Dedekind zdefiniował ścisłą abstrakcyjną metodę konstruowania liczb niewymiernych, znaną obecnie pod nazwą przekrojów Dedekinda.

Matematyka a doświadczenie

Pomimo że opisana wyżej propozycja wskazywania pojedynczych punktów poprzez odpowiednie rozcięcia prostej nie wzbudza raczej naszych wątpliwości pod względem logicznym, nie daje się ona w łatwy sposób pogodzić z naszym intuicyjnym rozumieniem ciągłości prostej, którą utożsamiamy raczej z pewną spoistością, w żadnym zaś razie z poszatkowaniem. Chociaż dzięki cięciom moglibyśmy teoretycznie wyznaczyć nieskończenie wiele punktów na prostej, a w konsekwencji zrekonstruować z nich całą prostą, absurdalnym wydaje się stwierdzenie, że ciągła prosta miałaby się składać z samych tylko cięć.

Jak więc pogodzić ze sobą przekonanie matematyków o punktowej budowie prostej i nasze, wywodzące się z doświadczenia, intuicje dotyczące pojęcia ciągłości? Wydaje się, że w ślad za takimi uczonymi jak Bertrand Russell czy Henri Poincaré należałoby przyjąć, iż nie można zakładać pełnej odpowiedniości pomiędzy abstrakcyjnymi konstrukcjami matematyków a bezpośrednim doświadczeniem, obejmującym zarówno nasze postrzeżenia, jak i wyobrażenia.

Jakub Jernajczyk – artysta wizualny, matematyk, popularyzator nauki. Profesor na Wydziale Grafiki i Sztuki Mediów wrocławskiej ASP. Interesuje się głównie poznawczą rolą obrazu i relacjami sztuki z nauką. Strona internetowa: www.grapik.pl