Poniższy felieton ma za zadanie przekonać Cię, Drogi Czytelniku, do bardzo prostej tezy – logiczne myślenie polega właściwie na analizowaniu (rozsądnych) możliwości. Nie wymaga znajomości praw rachunków zdaniowych czy teorii mnogości. Nie jest też konieczna biegłość w metodach dowodowych, rozpoznawaniu sylogizmów i jeszcze sam Tarski wie czego. Myślenie logiczne (innymi słowy myślenie krytyczne) to po prostu analizowanie możliwości – tu przypomina mi się pewna historia z mojego dzieciństwa, kiedy jako dziesięcio- czy dwunastolatek zmagałem się z systemem szkolnictwa oraz matematyką. Ale zanim opowiem tę anegdotę, spróbujmy zmierzyć się z zagadką.
Zagadka nr 1. Ania jest mężatką, Celina jest panną, a o Basi nie wiemy, czy jest zamężna, czy nie jest. Kobiety stoją w szeregu: Ania obok Basi, a Basia obok Celiny. Pytanie brzmi – czy mężatka stoi obok panny?
Zwykle, gdy zadaję tę zagadkę studentom na zajęciach z logiki, słyszę odpowiedź „tego nie da się rozwiązać, bo nie jest wiadome, czy Basia jest panną czy mężatką”. To wydaje się mieć sens – ale czy na pewno? Zamiast odpowiedzi proponuję… kolejną zagadkę.
Zagadka nr 2. W suszarni wisi 6 par białych skarpetek i 11 par czarnych skarpetek. Jest tam jednak tak ciemno, że nie widać ich kolorów. Andrzej chce wziąć ze strychu jedną parę (białą lub czarną). Ile pojedynczych skarpetek powinien zabrać, aby mieć pewność, że wśród nich znajdą się dwie sztuki w tym samym kolorze?
Jak Ci się, Drogi Czytelniku, wydaje? Ile skarpet trzeba wziąć? Dwie? Dwanaście? Dwadzieścia dwa? Spróbuj się zastanowić nad tym chwilę, a gdy już skończysz i będziesz mieć gotową odpowiedź, czytaj dalej.
Analizowanie możliwości
Jak odpowiedzieć na to pytanie? Czy trzeba znać jakiś wzór, który – po podstawieniu za zmienne ilości skarpetek – da nam odpowiedź? A może trzeba sobie taki wzór wyprowadzić? Absolutnie nie! Trzeba po prostu prze-analizować możliwości. Bierzemy pierwszą skarpetkę – może być albo biała – B, albo czarna – C. Czy mamy parę? Nie. Bierzemy drugą skarpetkę – ona również może być albo czarna, albo biała. Wówczas mamy cztery możliwości: BB, BC, CC, CB. W dwóch przypadkach (BB oraz CC) trzymamy już parę w ręce, ale są jeszcze dwie możliwości (BC oraz CB), gdzie skarpetki są różnego koloru. Dlatego musimy wziąć trzecią skarpetkę. Ta również musi być czarna albo biała. Otrzymujemy więc: BCB, BCC oraz CBB, CBC. W każdej z tych czterech opcji są dwie skarpetki tego samego koloru. Odpowiedź brzmi zatem – wystarczy wziąć trzy skarpetki.
Co takiego zrobiliśmy, rozwiązując tę zagadkę? Na czym polegało logiczne myślenie w tym rozumowaniu? Otóż właśnie na analizie możliwości – kluczowe było dostrzeżenie, że każda skarpetka jest albo czarna, albo biała, a w związku z tym zabranie jednej skarpetki daje dwie możliwości, zabranie dwóch skarpetek daje cztery możliwości, trzech skarpetek – osiem możliwości etc. (zawsze to będzie 2n, gdzie n to liczba skarpetek, które zabraliśmy). Drugi krok to sprawdzenie po każdej dobranej skarpetce, czy pośród tych zabranych jest para w każdej z możliwości – a tak było dopiero po zabraniu trzeciej. Cóż więc? Okazuje się, że logiczne myślenie, niezbędne do rozwiązania zagadki, sprowadza się do rozważenia tego, jakie są opcje.
Czy po tej łamigłówce i omówieniu sposobu jej rozwiązania możemy wrócić do pierwszej zagadki?
Czy mężatka stoi obok panny? Klucz do znalezienia odpowiedzi leży – podobnie jak to było ze skarpetkami – w rozważeniu możliwości. A te są dwie – albo Basia ma męża albo Basia nie ma męża. A stąd już łatwo zauważyć, że jeśli ma męża, a stoi obok niezamężnej Celiny, to mężatka stoi obok panny. Jeśli jednak Basia nie ma męża, to stoi obok zamężnej Ani, a więc znowu mężatka stoi obok panny. Zatem wcale nie musimy wiedzieć, czy Basia ma męża – odpowiedź na pytanie jest pozytywna, bo w obu przypadkach mężatka stoi obok panny.
Czego nas uczą te zagadki? Tego, że logiczne myślenie to wcale nie znajomość praw, lematów czy dowodów. To po prostu analizowanie możliwości. Do tego sprowadza się każde, nawet najbardziej skomplikowane, rozumowanie w logice. W tym miejscu dochodzimy do mojej historii z dzieciństwa.
W szkole podstawowej zdarzyło mi się bywać na kilku konkursach matematycznych i pamiętam, jak podczas jednego z nich, a był to drugi etap konkursu (to mógł być „Kangurek” lub „Młody matematyk”), była podobna, choć nieco bardziej rozbudowana łamigłówka. To było ostatnie zadanie, najlepiej punktowane. Udało mi się je rozwiązać właśnie w ten sposób – „metodą prób i błędów”, tzn. analizowałem różne możliwości i w ten sposób doszedłem do właściwego wyniku. Jednak to były czasy (wcale nie tak dawno temu!), w których nie punktowano wyniku, lecz metodę (tu chodziło o zastosowanie jakiegoś wzoru lub funkcji) – a „metoda prób i błędów” nie wchodziła w kanon uznany przez organizatorów. Dlaczego? Tego już nie będziemy dociekać.
Sprawdzanie alternatyw i tabele zerojedynkowe
Moja opowieść ma pokazać tylko pewien kontrast – oto uczeń, który rozwiązuje zadanie przez analizę możliwości, a jednak niektórzy dydaktycy matematyki uznają, że nie jest ona zbyt matematyczna (sic!). Trudno jednak o bardziej fundamentalną operację logiczną – każda inna metoda robi właśnie to – analizuje możliwości i albo pokazuje, że jakaś możliwość (np. fałszywość) prowadzi do sprzeczności, albo że jakaś możliwość zachodzi. Jeśli ktokolwiek miał zajęcia z logiki formalnej na studiach, to zapewne ma wspomnienie matryc z zerami i jedynkami w klasycznym rachunku zdań. A na czym polega sprawdzanie, czy dany schemat wnioskowania jest niezawodny (czy jest tautologią)? Na analizie wszystkich możliwości i szukaniu przypadku, w którym implikacja jest fałszywa. Rozważmy taki przykład:
Jeśli przekroczę prędkość i zatrzyma mnie policja, to zapłacę mandat. Zatem, jeśli nie przekroczę prędkości, a policja mnie zatrzyma, to nie zapłacę mandatu.
Powyższe rozumowanie ma schemat:
[(p ∧ q) → r] → [(¬ p ∧ q) → ¬ r]
Aby sprawdzić, czy powyższe wnioskowanie jest niezawodne/dedukcyjne musimy rozważyć, czy zawsze jest tak, że główny funktor implikacji jest prawdziwy. Jak to robimy? Właśnie w ten sposób, że sprawdzamy wszystkie możliwości pod kątem fałszywości głównej implikacji.
W wierszu piątym znajdujemy możliwość, w której przesłanka (poprzednik głównej implikacji) jest prawdziwa, a konkluzja (następnik implikacji) fałszywa. Innymi słowy, to wnioskowanie nie zawsze prowadzi od prawdziwych założeń do prawdziwych wniosków – i my właśnie tę możliwość w matrycy znaleźliśmy. Tak więc wszelkie operacje logiczne, zarówno w logice formalnej, jak i nieformalnej, sprowadzają się tak naprawdę do analizy możliwości. Jest to zresztą teza, której broni prof. Andrzej Kisielewicz w książce Logika i argumentacja. Różnica między logiką formalną i nieformalną leży zasadniczo w tym, że ta pierwsza analizuje wszystkie możliwości (czemu zawdzięcza matematyczną pewność), a ta druga analizuje tylko rozsądne możliwości (co pozwala osiągnąć tzw. subiektywną pewność). Na tym jednak polega przewaga logiki nieformalnej – można ją łatwo stosować do analizy wszystkich rozumowań i argumentów, osiągając coś więcej niż wynik „wnioskowanie dedukcyjne” albo „wnioskowanie niededukcyjne”.
Rozsądna alternatywa
Rozważmy powyższe rozumowanie przy pomocy narzędzi nieformalnych – zamiast analizować wszystkie możliwości, skupmy się na rozsądnych możliwościach. Wówczas zadajemy pytanie:
Czy możemy sobie wyobrazić, że przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy? Czy istnieje jeszcze inna rozsądna możliwość, by wniosek okazał się fałszywy?
Zatem czy jest możliwe, że choć nie przekroczyłem prędkości podczas jazdy samochodem i zatrzymała mnie policja, to i tak otrzymam mandat? Czy mogę dostać mandat z innego powodu? Oczywiście, że tak – przecież mogę dostać mandat za niezapięte pasy, zawracanie na pasach, wyprzedzanie na podwójnej ciągłej itd. Możliwości jest wiele – mogę sobie wyobrazić wiele, być może niektóre z nich się wydarzyły (mi lub komuś, kogo znam), a wtedy osiągamy nawet większą pewność, że to wnioskowanie jest zawodne. Choć taka „analiza” możliwości nie zawsze daje dedukcyjną pewność – nie wyczerpujemy wszystkich możliwości jak w logice formalnej, bo ich lista jest nieskończona – to możemy oszacować „subiektywną pewność”.
Najważniejsze jest jednak to, że operacje logiczne, w logice formalnej i nieformalnej, to tak naprawdę analizowanie możliwości. W logicznym myśleniu o to właśnie chodzi – o zadanie pytania „jakie są inne możliwości?” lub „czy może być inaczej (np. tak, że przesłanka jest prawdziwa, a wniosek jest fałszywy)?”. Wykluczenie takich możliwości zwiększa naszą pewność co do tego, że dany wniosek wynika logicznie z przesłanek. A wszystko zaczyna się od podjęcia „prób” i eliminowania „błędów”, od zapytania, jakiego koloru mogą być skarpetki, od rozważania „a co, jeśli Basia jest mężatką?” i „a co, jeśli Basia nie jest mężatką?”.
Warto doczytać:
A. Kisielewicz, Logika i argumentacja, Warszawa 2017.
Jakub Pruś – pracuje w Instytucie Filozofii Akademii Ignatianum w Krakowie. Redaktor czasopisma „Forum Philosophicum”. Zajmuje się teorią argumentacji i logiką prawniczą. Miłośnik szachów, zapasów i śpiewania kołysanek.
uciekły chyba znaki (koniunkcje) z zapisu formalnego