Jan Woleński: Dwuwartościowość i ekstensjonalność jako kryteria logiki klasycznej

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 47–48. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Logika klasyczna jest jedna, a logik nieklasycznych jest wiele, m.in. logiki wielowartościowe i logiki modalne (te będą dalej rozważane). Już ta okoliczność sugeruje, że określenie logik nieklasycznych nie jest proste. Ograniczmy się do rachunku zdań, ponieważ na terenie tego systemu przejawia się problem odróżnienia logiki klasycznej i logik nieklasycznych. Można też pominąć rozmaite antycypacje historyczne, np. próby teorii modalności Arystotelesa czy ­średniowieczne uwagi o wielowartościowości (Duns Szkot, Wilhelm Ockham). W perspektywie współczesnej logika klasyczna wiąże się z algebrą Boole’a, tj. rachunkiem klas, mogącym być interpretowanym jako logika zdań, a została w pełni rozwinięta przez Gottloba Fregego pod koniec XIX w., a potem Alfreda N. Whiteheada i Bertranda Russella w Principia Mathematica. Owo pełne rozwinięcie polegało na zbudowaniu logiki zdań w postaci systemu aksjomatycznego. Można powiedzieć, że sformułowany przez Fregego klasyczny rachunek zdań (KRZ) to każdy system formalnie równoważny. To kryterium jest, by tak powiedzieć, wewnątrzlogiczne z tego względu, że wyróżnia rachunek zdań przez podanie zbioru aksjomatów i reguł dedukcji, umożliwiających generowanie dalszych twierdzeń (aksjomaty też są twierdzeniami). Ostatecznie, KRZ w powyższym rozumieniu jest wyznaczony przez ogół twierdzeń.

Gdy Jan Łukasiewicz ­zbudował około 1920 r. logikę trójwartościową (pierwszy system wielowartościowy; pomijam antycypacje Charlesa S. Peirce’a i Nikołaja Vasilieva), uznał, że potrzebne jest kryterium meta­logiczne. Przyjął, że logika klasyczna jest dwuwartościowa, natomiast wielowartościowa odrzuca zasadę biwalencji. Istotne w tej koncepcji jest to, że zasada dwuwartościowości nie jest równoważna żadnemu prawu logiki, np. wyłączonego środka (p ∨ ¬p) czy (nie)sprzeczności ¬(p ∧ ¬p). Jest to teza metalogiczna, głosząca, że dowolne zdanie, jest albo prawdziwe, albo fałszywe, równoważna koniunkcji metalogicznej zasady wyłączonego środka (każde zdanie jest prawdziwe lub fałszywe) i metalogicznej zasadzie (nie)sprzeczności (żadne zdanie nie jest prawdziwe i fałszywe). Z tym kryterium logicznym związana jest metoda testowania praw rachunku zdań za pomocą tzw. matryc logicznych. W przypadku KRZ mamy tzw. tabelki zerojedynkowe, tj. oparte na dwóch wartościach logicznych, prawdzie i fałszu, weryfikujących lub falsyfikujących dowolną formułę rachunku zdań, w przypadku logiki trójwartościowej przyjmuje się trzecią wartość logiczną – są też logiki skończenie i nieskończenie wielowartościowe. Dla ilustracji – przy matrycy dwuwartościowej negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, i na odwrót, natomiast gdy uwzględnia się trzecią wartość logiczną, to w trójwartościowej logice Łukasiewicza, o ile zdanie p ją posiada, jego negacja jest również „trzecia”. W konsekwencji prawa wyłączonego środka i (nie)sprzeczności nie są twierdzeniami trójwartościowej logiki Łukasiewicza. Fakt ten pokazuje związek kryterium meta­logicznego w postaci przyjęcia lub odrzucenia zasady dwuwartościowości z zasobem praw danego systemu.

Łukasiewicz uważał, że logikę modalną można zbudować na bazie wielowartościowej, np. logice trójwartościowej, w której trzecia wartość bywa określana jako możliwość. Inną drogę obrał C. I. Lewis. Jego systemy modalne są rozszerzeniem KRZ. Polega to na tym, że dodaje się aksjomaty modalne do tego systemu, np. L(A ⇒ B) ⇒ (LA ⇒ LB), gdzie L znaczy „jest konieczne, że”. Taka logika modalna jest dwuwartościowa, ponieważ zakłada KRZ. Na czym polega jej nieklasyczność? Przyjmuje się, że nie spełnia zasady ekstensjonalności. Formuła zdaniowa A, złożona ze spójników logicznych i zmiennych p₁, …, p_n, jest ekstensjonalna, o ile jej wartość logiczna nie zmienia się po zastąpieniu zdania reprezentowanego przez zmienną p_i (1 ≤ i ≥ n) przez zdanie o tej samej wartości logicznej. Przykładowo, mamy prawdziwą koniunkcję p ∧ q, co znaczy, że oba jej składniki są prawdziwe. Pozostaje ona prawdziwa, jeśli np. zdanie q zastąpimy przez prawdziwe zdanie r. W przeciwieństwie do tego zdanie „możliwe, że p” nie jest ekstensjonalne (jest intensjonalne), ponieważ prawdziwe zdanie „konieczne, że 2 + 2 = 4” staje się fałszywe po zastąpieniu go przez „byłem dzisiaj na spacerze”, nawet gdy spacerowałem.

Ekstensjonalność zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań, natomiast nie od ich (zdań) treści. Sprawa ta jest jeszcze bardziej widoczna w tzw. logikach intensjonalnych, tj. formalizujących takie funktory, jak „wiem, że” czy „wierzę, że”. Zdanie „X wie, że Kraków leży nad Wisłą” jest prawdziwe, ale zastąpienie prawdziwego zdania „Kraków leży nad Wisłą” przez prawdziwe zdanie „Skawina leży nad Skawą” może doprowadzić do fałszu, o ile X nie wie, nad którą rzeką leży Skawina.

Ekstensjonalność była uważana za podstawową własność metalogiczną w warszawskiej szkole logicznej. Wielowartościowe logiki Łukasiewicza były ekstensjonalne i tę własność dziedziczyły jego logiki modalne. Okoliczność ta pokazuje, że nie ma jednego kryterium nieklasyczności w logice, ponieważ inne jest w przypadku logiki wielowartościowej (ekstensjonalność i negacja zasady dwuwartościowości), a inne zachodzi dla modalnych rozszerzeń KRZ (dwuwartościowość i intensjonalność). Sytuacja jest jeszcze bardziej skomplikowana z uwagi na to, że rodzina logik nieklasycznych jest znacznie obszerniejsza niż zakres logiki modalnej, nawet jeśli tę ostatnią rozumieć szeroko, tj. jako obejmującą logikę deontyczną, epistemiczną, erotetyczną (tj. pytań), relewantną czy temporalną. Obecnie do logik nieklasycznych zalicza się intuicjonistyczną, niemonotoniczną, parakonsystentną czy rozmytą, a lista ta jest zapewne niekompletna. Okoliczność ta komplikuje kryteria nieklasyczności. Tak czy inaczej jest ich wiele. Zawsze jednak trzeba ich poszukiwać w metalogice.

Warto doczytać:

• B. Russell, A. N. Whitehead, Principia Mathematica, wyd. I (vol. 1–3), Cambridge 1910–1913.

Jan Woleński – emerytowany profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego, profesor Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie. Członek PAN, PAU i Międzynarodowego Instytutu Filozofii. Interesuje się wszystkimi działami filozofii, jego hobby to opera i piłka nożna.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 4.0.

W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Lubomira Platta

Dofinansowano ze środków Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego pochodzących z Funduszu Promocji Kultury.