Jerzy Pogonowski: Paradoks Skolema

Logika pierwszego rzędu ma wiele pożytecznych własności dedukcyjnych, ale w jej języku nie jest możliwe wyrażenie niektórych ważnych pojęć matematycznych, np. pojęcia nieskończoności lub ciągłości, gdyż wymaga to kwantyfikacji odnoszącej się do funkcji i zbiorów, a nie kwantyfikacji jedynie po indywiduach. Niesprzeczna teoria w języku tej logiki ma modele, które mogą się znacząco różnić między sobą. W szczególności teoria mnogości sformułowana w takim języku dotyczy różnych uniwersów zbiorów, co przekłada się na relatywność niektórych pojęć tej teorii, nazywaną paradoksem Skolema.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 15–17. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Dwa zbiory są równoliczne, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość (bijekcja) między ich elementami. Zbiór jest nieskończony, gdy jest równoliczny z jakimś swoim właściwym podzbiorem. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest więc nieskończony, gdyż jest równoliczny np. ze zbiorem wszystkich liczb parzystych (więcej na ten temat w poprzednich artykułach z tego numeru: Krzysztofa Wójtowicza Tajemnicze pojęcie nieskończoności i Wojciecha Żełańca Nieskończoność). Zbiór nazywamy przeliczalnym, gdy jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a nieprzeliczalnym, gdy jest nieskończony, ale nie jest przeliczalny. Nieprzeliczalny jest np. zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zgodnie z definicją zbiór jest zatem nieprzeliczalny, gdy istnieje bijekcja między nim a jakimś jego podzbiorem właściwym, ale nie istnieje bijekcja między nim a zbiorem wszystkich liczb naturalnych.

W teorii mnogości zakładamy istnienie co najmniej jednego zbioru nieskończonego. Zachodzi w niej twierdzenie Cantora, które głosi, że żaden zbiór nie jest równoliczny z rodziną wszystkich swoich podzbiorów. Wynika z tego m.in., że nie wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Na mocy twierdzenia Cantora w każdym modelu teorii mnogości istnieją zbiory nieprzeliczalne.

Udowodnione ponad sto lat temu twierdzenie Löwenheima-Skolema głosi, we współczesnym sformułowaniu, że jeśli teoria w języku pierwszego rzędu ma model nieskończony, to ma też model przeliczalny. Wydawać by się mogło, że w przypadku teorii mnogości prowadzi to do sprzeczności lub co najmniej do paradoksu: skoro model jest przeliczalny, to przecież nie może zawierać zbiorów nieprzeliczalnych. To właśnie nazywane jest paradoksem Skolema.

Metajęzyk

Nie mamy tu jednak do czynienia ani ze sprzecznością, ani z rzeczywistym paradoksem, co łatwo wykazać, analizując znaczenie terminów przeliczalny i nieprzeliczalny. Model teorii mnogości istniejący na mocy twierdzenia Löwenheima-Skolema jest przeliczalny z punktu widzenia metajęzyka, bo właśnie w metajęzyku mówimy o modelach. To, że w tym modelu istnieje zbiór nieprzeliczalny, znaczy natomiast, że wewnątrz tego modelu nie istnieje bijekcja między tym zbiorem a zbiorem wszystkich liczb naturalnych w tym modelu. Można rzec, że przeliczalny model teorii mnogości zawiera zbyt mało bijekcji (które są zbiorami w tym modelu), a zatem pewne zbiory w tym modelu okazują się nieprzeliczalne, gdyż wewnątrz modelu nie ma możliwości znalezienia wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości między nimi a zbiorem liczb naturalnych w tym modelu. Przeliczalność i nieprzeliczalność wewnątrz modelu znaczy więc co innego niż przeliczalność i nieprzeliczalność w metajęzyku, w którym mówimy o modelach.

W każdym modelu teorii mnogości prawdziwe są wszystkie twierdzenia tej teorii. Nie oznacza to jednak, że uniwersa poszczególnych modeli składają się z dokładnie tych samych zbiorów. Własności zbiorów w ogólności są zrelatywizowane do modeli zawierających te zbiory. Pewne własności są absolutne, w tym sensie, że formuły wyrażające te własności mają tę samą wartość logiczną we wszystkich modelach (lub we wszystkich modelach określonego typu). Takimi własnościami (w przypadku przechodnich
modeli teorii mnogości) są np.: być zbiorem pustym, być liczbą porządkową, być skończoną liczbą porządkową, być zbiorem wszystkich skończonych liczb porządkowych. Nie są natomiast absolutnie np.: własności być zbiorem przeliczalnym, być rodziną wszystkich podzbiorów danego zbioru.

Możliwość jednoznacznej charakterystyki modeli

W językach pierwszego rzędu nie jest możliwa jednoznaczna (z dokładnością do izomorfizmu) charakterystyka modeli, co wynika z twierdzenia Löwenheima-Skolema. Takie charakterystyki możliwe są w języku drugiego rzędu, w którym wspomniane twierdzenie nie zachodzi. Uzyskujemy w ten sposób np. jednoznaczną charakterystykę liczb naturalnych oraz liczb rzeczywistych. Arytmetyka liczb naturalnych w języku pierwszego rzędu ma natomiast, oprócz modelu standardowego, kontinuum wzajem nieizomorficznych niestandardowych modeli przeliczalnych.

W czasie gdy dopiero kształtowało się pojęcie modelu teorii mnogości, zastanawiano się nad możliwością jednoznacznego scharakteryzowania uniwersum zbiorów. Próbowano formułować aksjomaty ograniczenia, mówiące, że uniwersum zbiorów jest możliwie jak najmniejsze. Dość szybko jednak nastąpiła zmiana stanowiska w tej sprawie i obecnie rozważa się raczej aksjomaty głoszące, że uniwersum zbiorów jest możliwie jak największe (aksjomaty istnienia dużych liczb kardynalnych).

Relatywizm niektórych pojęć teorii mnogości, zauważony już przez Thoralfa Skolema, nabrał bardziej wyrazistej postaci w metodzie wymuszania, zainicjowanej przez Paula Cohena i pozwalającej m.in. na budowanie modeli teorii mnogości, w których moc kontinuum przybiera prawie całkiem dowolne wartości, co z kolei – w połączeniu z wcześniejszymi wynikami Kurta Gödla – wykazało niezależność hipotezy kontinuum od aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla.

Przyszłość teorii mnogości

Współcześnie teoria mnogości jest uważana przez większość matematyków za dogodną podstawę dla całej matematyki (choć niektórzy widzą taką podstawę raczej w teorii kategorii). Nie można oczywiście przewidzieć, czy teoria mnogości utrzyma w przyszłości ten uprzywilejowany status. Być może zostanie rozszerzona o nowe aksjomaty, dobrze korespondujące z praktyką matematyczną i dokładniej precyzujące pojęcie zbioru. Andrzej Mostowski pisał w 1967 r. (a więc już po wynikach uzyskanych przez Cohena), że być może teoria mnogości podzieli los topologii ogólnej i będziemy rozważali różne uniwersa zbiorów, spełniające pewien zasadniczy kanon założeń, podobnie jak w topologii rozważamy przeróżne przestrzenie, które mogą się od siebie znacząco różnić, ale które spełniają jedynie pewne podstawowe warunki natury topologicznej.

Jerzy Pogonowski – absolwent matematyki Uniwersytetu Warszawskiego, obecnie profesor w Zakładzie Logiki i Kognitywistyki na Wydziale Psychologii i Kognitywistyki UAM w Poznaniu. Interesuje się logiką, podstawami matematyki, nauczaniem matematyki na poziomie uniwersyteckim.