Artykuł

Jerzy Pogonowski: Paradoks Skolema

Logika pierwszego rzędu ma wiele pożytecznych własności dedukcyjnych, ale w jej języku nie jest możliwe wyrażenie niektórych ważnych pojęć matematycznych, np. pojęcia nieskończoności lub ciągłości, gdyż wymaga to kwantyfikacji odnoszącej się do funkcji i zbiorów, a nie kwantyfikacji jedynie po indywiduach. Niesprzeczna teoria w języku tej logiki ma modele, które mogą się znacząco różnić między sobą. W szczególności teoria mnogości sformułowana w takim języku dotyczy różnych uniwersów zbiorów, co przekłada się na relatywność niektórych pojęć tej teorii, nazywaną paradoksem Skolema.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 15–17. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Dwa zbio­ry są rów­no­licz­ne, jeśli ist­nie­je wza­jem­nie jed­no­znacz­na odpo­wied­niość (bijek­cja) mię­dzy ich ele­men­ta­mi. Zbiór jest nie­skoń­czo­ny, gdy jest rów­no­licz­ny z jakimś swo­im wła­ści­wym pod­zbio­rem. Zbiór wszyst­kich liczb natu­ral­nych jest więc nie­skoń­czo­ny, gdyż jest rów­no­licz­ny np. ze zbio­rem wszyst­kich liczb parzy­stych (wię­cej na ten temat w poprzed­nich arty­ku­łach z tego nume­ru: Krzysz­to­fa Wój­to­wi­cza Tajem­ni­cze poję­cie nie­skoń­czo­no­ści i Woj­cie­cha Żełań­ca Nie­skoń­czo­ność). Zbiór nazy­wa­my prze­li­czal­nym, gdy jest rów­no­licz­ny ze zbio­rem wszyst­kich liczb natu­ral­nych, a nie­prze­li­czal­nym, gdy jest nie­skoń­czo­ny, ale nie jest prze­li­czal­ny. Nie­prze­li­czal­ny jest np. zbiór wszyst­kich liczb rze­czy­wi­stych. Zgod­nie z defi­ni­cją zbiór jest zatem nie­prze­li­czal­ny, gdy ist­nie­je bijek­cja mię­dzy nim a jakimś jego pod­zbio­rem wła­ści­wym, ale nie ist­nie­je bijek­cja mię­dzy nim a zbio­rem wszyst­kich liczb naturalnych.

W teo­rii mno­go­ści zakła­da­my ist­nie­nie co naj­mniej jed­ne­go zbio­ru nie­skoń­czo­ne­go. Zacho­dzi w niej twier­dze­nie Can­to­ra, któ­re gło­si, że żaden zbiór nie jest rów­no­licz­ny z rodzi­ną wszyst­kich swo­ich pod­zbio­rów. Wyni­ka z tego m.in., że nie wszyst­kie zbio­ry nie­skoń­czo­ne są rów­no­licz­ne. Na mocy twier­dze­nia Can­to­ra w każ­dym mode­lu teo­rii mno­go­ści ist­nie­ją zbio­ry nieprzeliczalne.

Udo­wod­nio­ne ponad sto lat temu twier­dze­nie Löwen­he­ima-Sko­le­ma gło­si, we współ­cze­snym sfor­mu­ło­wa­niu, że jeśli teo­ria w języ­ku pierw­sze­go rzę­du ma model nie­skoń­czo­ny, to ma też model prze­li­czal­ny. Wyda­wać by się mogło, że w przy­pad­ku teo­rii mno­go­ści pro­wa­dzi to do sprzecz­no­ści lub co naj­mniej do para­dok­su: sko­ro model jest prze­li­czal­ny, to prze­cież nie może zawie­rać zbio­rów nie­prze­li­czal­nych. To wła­śnie nazy­wa­ne jest para­dok­sem Skolema.

Metajęzyk

Nie mamy tu jed­nak do czy­nie­nia ani ze sprzecz­no­ścią, ani z rze­czy­wi­stym para­dok­sem, co łatwo wyka­zać, ana­li­zu­jąc zna­cze­nie ter­mi­nów prze­li­czal­nynie­prze­li­czal­ny. Model teo­rii mno­go­ści ist­nie­ją­cy na mocy twier­dze­nia Löwen­he­ima-Sko­le­ma jest prze­li­czal­ny z punk­tu widze­nia meta­ję­zy­ka, bo wła­śnie w meta­ję­zy­ku mówi­my o mode­lach. To, że w tym mode­lu ist­nie­je zbiór nie­prze­li­czal­ny, zna­czy nato­miast, że wewnątrz tego mode­lu nie ist­nie­je bijek­cja mię­dzy tym zbio­rem a zbio­rem wszyst­kich liczb natu­ral­nych w tym mode­lu. Moż­na rzec, że prze­li­czal­ny model teo­rii mno­go­ści zawie­ra zbyt mało bijek­cji (któ­re są zbio­ra­mi w tym mode­lu), a zatem pew­ne zbio­ry w tym mode­lu oka­zu­ją się nie­prze­li­czal­ne, gdyż wewnątrz mode­lu nie ma moż­li­wo­ści zna­le­zie­nia wza­jem­nie jed­no­znacz­nej odpo­wied­nio­ści mię­dzy nimi a zbio­rem liczb natu­ral­nych w tym mode­lu. Prze­li­czal­ność i nie­prze­li­czal­ność wewnątrz mode­lu zna­czy więc co inne­go niż prze­li­czal­ność i nie­prze­li­czal­ność w meta­ję­zy­ku, w któ­rym mówi­my o modelach.

W każ­dym mode­lu teo­rii mno­go­ści praw­dzi­we są wszyst­kie twier­dze­nia tej teo­rii. Nie ozna­cza to jed­nak, że uni­wer­sa poszcze­gól­nych mode­li skła­da­ją się z dokład­nie tych samych zbio­rów. Wła­sno­ści zbio­rów w ogól­no­ści są zre­la­ty­wi­zo­wa­ne do mode­li zawie­ra­ją­cych te zbio­ry. Pew­ne wła­sno­ści są abso­lut­ne, w tym sen­sie, że for­mu­ły wyra­ża­ją­ce te wła­sno­ści mają tę samą war­tość logicz­ną we wszyst­kich mode­lach (lub we wszyst­kich mode­lach okre­ślo­ne­go typu). Taki­mi wła­sno­ścia­mi (w przy­pad­ku przechodnich
mode­li teo­rii mno­go­ści) są np.: być zbio­rem pustym, być licz­bą porząd­ko­wą, być skoń­czo­ną licz­bą porząd­ko­wą, być zbio­rem wszyst­kich skoń­czo­nych liczb porząd­ko­wych. Nie są nato­miast abso­lut­nie np.: wła­sno­ści być zbio­rem prze­li­czal­nym, być rodzi­ną wszyst­kich pod­zbio­rów dane­go zbioru.

Możliwość jednoznacznej charakterystyki modeli

W języ­kach pierw­sze­go rzę­du nie jest moż­li­wa jed­no­znacz­na (z dokład­no­ścią do izo­mor­fi­zmu) cha­rak­te­ry­sty­ka mode­li, co wyni­ka z twier­dze­nia Löwen­he­ima-Sko­le­ma. Takie cha­rak­te­ry­sty­ki moż­li­we są w języ­ku dru­gie­go rzę­du, w któ­rym wspo­mnia­ne twier­dze­nie nie zacho­dzi. Uzy­sku­je­my w ten spo­sób np. jed­no­znacz­ną cha­rak­te­ry­sty­kę liczb natu­ral­nych oraz liczb rze­czy­wi­stych. Aryt­me­ty­ka liczb natu­ral­nych w języ­ku pierw­sze­go rzę­du ma nato­miast, oprócz mode­lu stan­dar­do­we­go, kon­ti­nu­um wza­jem nie­izo­mor­ficz­nych nie­stan­dar­do­wych mode­li przeliczalnych.

W cza­sie gdy dopie­ro kształ­to­wa­ło się poję­cie mode­lu teo­rii mno­go­ści, zasta­na­wia­no się nad moż­li­wo­ścią jed­no­znacz­ne­go scha­rak­te­ry­zo­wa­nia uni­wer­sum zbio­rów. Pró­bo­wa­no for­mu­ło­wać aksjo­ma­ty ogra­ni­cze­nia, mówią­ce, że uni­wer­sum zbio­rów jest moż­li­wie jak naj­mniej­sze. Dość szyb­ko jed­nak nastą­pi­ła zmia­na sta­no­wi­ska w tej spra­wie i obec­nie roz­wa­ża się raczej aksjo­ma­ty gło­szą­ce, że uni­wer­sum zbio­rów jest moż­li­wie jak naj­więk­sze (aksjo­ma­ty ist­nie­nia dużych liczb kardynalnych).

Rela­ty­wizm nie­któ­rych pojęć teo­rii mno­go­ści, zauwa­żo­ny już przez Tho­ral­fa Sko­le­ma, nabrał bar­dziej wyra­zi­stej posta­ci w meto­dzie wymu­sza­nia, zaini­cjo­wa­nej przez Pau­la Cohe­na i pozwa­la­ją­cej m.in. na budo­wa­nie mode­li teo­rii mno­go­ści, w któ­rych moc kon­ti­nu­um przy­bie­ra pra­wie cał­kiem dowol­ne war­to­ści, co z kolei – w połą­cze­niu z wcze­śniej­szy­mi wyni­ka­mi Kur­ta Gödla – wyka­za­ło nie­za­leż­ność hipo­te­zy kon­ti­nu­um od aksjo­ma­tów teo­rii mno­go­ści Zermela-Fraenkla.

Przyszłość teorii mnogości

Współ­cze­śnie teo­ria mno­go­ści jest uwa­ża­na przez więk­szość mate­ma­ty­ków za dogod­ną pod­sta­wę dla całej mate­ma­ty­ki (choć nie­któ­rzy widzą taką pod­sta­wę raczej w teo­rii kate­go­rii). Nie moż­na oczy­wi­ście prze­wi­dzieć, czy teo­ria mno­go­ści utrzy­ma w przy­szło­ści ten uprzy­wi­le­jo­wa­ny sta­tus. Być może zosta­nie roz­sze­rzo­na o nowe aksjo­ma­ty, dobrze kore­spon­du­ją­ce z prak­ty­ką mate­ma­tycz­ną i dokład­niej pre­cy­zu­ją­ce poję­cie zbio­ru. Andrzej Mostow­ski pisał w 1967 r. (a więc już po wyni­kach uzy­ska­nych przez Cohe­na), że być może teo­ria mno­go­ści podzie­li los topo­lo­gii ogól­nej i będzie­my roz­wa­ża­li róż­ne uni­wer­sa zbio­rów, speł­nia­ją­ce pewien zasad­ni­czy kanon zało­żeń, podob­nie jak w topo­lo­gii roz­wa­ża­my prze­róż­ne prze­strze­nie, któ­re mogą się od sie­bie zna­czą­co róż­nić, ale któ­re speł­nia­ją jedy­nie pew­ne pod­sta­wo­we warun­ki natu­ry topologicznej.


Jerzy Pogo­now­ski – absol­went mate­ma­ty­ki Uni­wer­sy­te­tu War­szaw­skie­go, obec­nie pro­fe­sor w Zakła­dzie Logi­ki i Kogni­ty­wi­sty­ki na Wydzia­le Psy­cho­lo­gii i Kogni­ty­wi­sty­ki UAM w Pozna­niu. Inte­re­su­je się logi­ką, pod­sta­wa­mi mate­ma­ty­ki, naucza­niem mate­ma­ty­ki na pozio­mie uniwersyteckim.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Flo­ria­nen vinsi’Siegereith

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy