KM #46 Rachunki logiczne? Na co to komu?!

Jedną z najczęstszych zmór studentów na pierwszych latach studiów jest logika formalna – zwłaszcza studentów filozofii, którzy mają jej najwięcej. Zwykle w przeciągu dwóch lat studenci ćwiczą się w rachunkach logicznych, sprawdzaniu tautologii czy dowodzeniu twierdzeń, żeby potem (o ile uda im się przez to szczęśliwie przebrnąć) zadać sobie z perspektywy czasu pytanie, czy naprawdę potrzebowali takiego treningu logicznego. Nie zamierzam rozwijać tutaj apologii obecności logiki w programie studiów czy szkoły (zrobili to przede mną wielcy polscy myśliciele: Kazimierz Twardowski, Tadeusz Kotarbiński, czy Kazimierz Ajdukiewicz) – co więcej, kurs tzw. logiki ogólnej to nie tylko logika formalna, ale także semiotyka i ogólna metodologia nauk, których zalet nie można przecenić. Postaram się jednak przedstawić pewne elementy logiki formalnej, które mogą bardzo się przydać w warsztacie każdej krytycznie myślącej osoby.

To prawda, że rachunki logiczne mają dość ograniczone zastosowanie w ocenie rozumowań w życiu codziennym czy nawet w analizie argumentów filozoficznych. Argumentów jest kilka: żeby wykorzystać narzędzia formalne w ocenie argumentu sformułowanego w języku naturalnym należy wydobyć zeń schemat wnioskowania, sformalizować go, a przy tym zwykle znacząco go uprościć. A więc, po pierwsze, zniekształcamy i redukujemy bogactwo języka naturalnego do zmiennych zdaniowych lub nazwowych i funktorów, co niezbyt przypomina oryginalną wypowiedź, a po drugie, jest to zajęcie czasochłonne i żmudne, które wymaga przygotowania logicznego. Po trzecie, logika formalna pomoże nam sprawdzić tylko czy dane wnioskowanie jest dedukcyjne (niezawodne) i wówczas okaże się, że … ogromna większość argumentów, także tych, które uważamy za akceptowalne, okaże się niededukcyjna. W dwudziestym wieku wielu logików dostrzegając te ograniczenia zainicjowało nowy nurt badań nad rozumowaniami, tzw. „logikę nieformalną” (polscy logicy wyprzedzili nieco ten trend, bo w Szkole Lwowsko-Warszawskiej rozwijano logikę praktyczną równolegle z logiką formalną). Jednak pomimo tych słabości logiki formalnej i zalet logiki praktycznej (nieformalnej), ta pierwsza wciąż okazuje się przydatna i postaram się to krótko pokazać na najbardziej podstawowym rachunku:

Klasyczny Rachunek Zdaniowy 

KRZ to zmora niejednego studenta pierwszego roku czy – coraz rzadziej już – ucznia szkoły średniej. Jest to zdecydowanie najbardziej podstawowy rachunek, którego większość praw stanowi podstawę (lub przynajmniej punkt odniesienia) dla innych rachunków. (Mam nadzieję, że Czytelnicy zaznajomieni z logiką wybaczą mi to krótkie przypomnienie.) W rachunku tym operuje się zdaniami (oznaczanych jako p, q, r, etc.) które łączy się przy pomocy funktorów (spójników), nazywanych prawdziwościowymi – na nasz użytek wystarczy nam pięć podstawowych funktorów: negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności. Każdy z nich ma swój symbol oraz językowy odpowiednik (zwykle kilka), którym go wyrażamy – możemy to przedstawić w tabeli:

Każdy z tych funktorów tworzy zdanie prawdziwe albo fałszywe, w zależności od tego, jakie wartości mają zdania, które nimi zwiążemy. Tak więc zdanie

będzie zdaniem prawdziwym, o ile pierwsze zdanie (p – „filozofowie piszą książki”) oraz drugie zdanie (q – „filozofowie spędzają dużo czasu na dyskusjach”) są zdaniami prawdziwymi, bo funktor, który je wiąże, koniunkcja, wymaga by oba człony były prawdziwe, jeśli całe zdanie ma być prawdziwe. Prawdziwe zdanie lub funktor zwykle oznaczamy wartością „1”, a fałsz „0”. Przyjąwszy, że każde zdanie ma jedną albo drugą wartość, możemy zbudować matryce dla wszystkich pięciu funktorów:

W dalszej części ograniczymy się tylko do wnioskowań, czyli to takich zdań, które wyraża się przy pomocy implikacji (→) umieszczając założenia przed (w poprzedniku), a wniosek po strzałce (w następniku). 

Sprawdzanie poprawności wnioskowania w KRZ

Znając powyższą tabelę możemy sprawdzać, czy wnioskowania są formalnie poprawne (dedukcyjne). Będziemy to orzekać wtedy, gdy główna implikacja – która wiąże przesłanki z konkluzją – nie będzie miała wartości fałszu w żadnym podstawieniu. Jak widać w tabeli (pole wyróżnione w drugim wierszu), implikacja może być fałszywa tylko w jednym przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Innymi słowy, chcąc ocenić jakieś wnioskowanie musimy się upewnić, że sytuacja, w której przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy jest niemożliwa. Jeśli okaże się, że nie jest, będzie można ogłosić, że istotnie konkluzja wynika logicznie z przesłanek.

Metoda, którą tu przedstawiam nazywa się w logice formalnej „metodą skróconą” lub „dowodzeniem nie-wprost”, ale jest ona znana szerzej, także w logice praktycznej jako „testowanie przez kontrprzykłady” czy „test na inne możliwości”, w teorii argumentacji jako taktykę argumentowania „reductio ad absurdum”. Na czym to polega? Zamiast sprawdzać każdy z wierszy, a więc każde z możliwych podstawień i dociekać, czy implikacja na pewno okaże się prawdziwa, stosujemy odwrotną procedurę: zakładamy, że implikacja jest fałszywa (a więc, że jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy). Dalej rozumujemy „do tyłu” ustalając wartości pozostałych funktorów i zmiennych – jeśli bezsprzecznie przypiszemy wszystkim elementom wartości, to znaczy, że jest możliwa sytuacja, w której przesłanki są prawdziwe, a wniosek nie. Wówczas możemy ogłosić, że wnioskowanie jest niepoprawne formalnie. Jeśli zaś dochodzimy do sprzeczności (bo jakiś funktor lub zmienna ma jednocześnie wartość „0” i „1”), to ogłaszamy, że wnioskowanie jest poprawne (bo nie jest możliwa sytuacja, że z prawdy wynika fałsz). Spróbujemy to przećwiczyć na jakimś przykładzie:

Jeśli bateria padła, to nie włączysz telefonu, zatem jeśli telefon się włącza, to bateria nie padła.

Jak sprawdzić poprawność tego wnioskowania? Krok pierwszy to podpisanie zmiennych pod zdaniami oraz oznaczenie funktorów.

Krok drugi to ustalenie hierarchii tych wyrażeń, tj. określenie, który funktor jest funktorem głównym, a które jego argumentami – aby to zrobić użyjemy nawiasów:

(p → ¬ q) → (q → ¬ p)

Krok trzeci to sprawdzenie czy jest możliwa taka sytuacja, w której główna implikacja jest fałszywa, czyli czy jest możliwe, że z prawdy wynika fałsz. Aby to sprawdzić najpierw zakładamy, że tak jest:

Następnie możemy ustalić wartości w następniku (drugim nawiasie), bo jest tylko jedna taka możliwość, że implikacja jest fałszywa:

Skoro ¬p ma wartość 0, to p musi mieć wartość 1. Znając wartości p i q możemy przepisać je w pozostałych miejscach wnioskowania:

Skoro q ma wartość 1, to ¬q ma wartość 0. Jednak po naniesieniu tej ostatniej wartości, możemy zauważyć że zachodzi sprzeczność, bo w prawdziwej implikacji w poprzedniku z prawdy wynika fałsz, a to czyni implikację fałszywą.

Jako że żadne zdanie nie może mieć jednocześnie wartości 1 i 0, to mamy sprzeczność – to oznacza, że nie jest możliwa sytuacja, w której przesłanki są prawdziwe, a konkluzja fałszywa. To zaś pozwala nam ogłosić, że wniosek wynika z przesłanek, czyli że jest to wnioskowanie dedukcyjne. Spróbujemy ocenić jeszcze jedno wnioskowanie:

Jeśli przekroczę prędkość i zatrzyma mnie policja, to zapłacę mandat. A że nie przekroczyłem prędkości i choć policja mnie zatrzymała, to nie zapłacę mandatu.

Krok 1. Podpisanie zmiennych i funktorów:

Krok 2. Zapis jednowierszowy – gdy przesłanek jest więcej, wypisujemy je wszystkie łącząc ze sobą koniunkcjami i umieszczamy jako poprzednik implikacji:

{[(p ∧ q) → r] ∧ (¬ p ∧ q)} → ¬ r

Krok 3. Zakładamy fałszywość głównej implikacji, a więc prawdziwość poprzednika i fałszywość następnika, i rozumujemy „wstecz” podpisując wartości wszystkich zmiennych oraz funktorów:

Tu można było łatwo ustalić wartość wszystkich zmiennych, bo jeśli w poprzedniku była koniunkcja, to znaliśmy od razu wartość p, q, zaś wartość r poznaliśmy z następnika – a więc wartości wszystkich zmienne zostały łatwo ustalone. Po przepisaniu ich w pozostałe miejsca i ustaleniu wartości pozostałych funktorów, nie znaleźliśmy sprzeczności. To oznacza, że jest możliwe – pomimo prawdziwych przesłanek – że konkluzja może być fałszywa, a więc wnioskowanie nie jest dedukcyjne.

Metoda sprawdzania poprawności wnioskowania w KRZ wymaga nieco pracy, ale to właśnie dzięki niej możemy sobie poradzić z bardziej skomplikowanymi wnioskowaniami, które prima facie mogą wydawać się poprawne, a po dokładniejszym zbadaniu takie nie są. Dla przykładu, to właśnie dzięki umiejętności szybkiego przekładu na język formalny, można prawidłowo rozwiązać test Wasona. Rzecz jasna, do pewnego momentu można poradzić sobie metodami nieformalnymi (w tym wypadku zadalibyśmy pytanie: „czy można jechać przepisowo, a mimo tego, będąc zatrzymanym przez policję dostać mandat?” i łatwo znaleźlibyśmy taką możliwość – np. niezapięcie pasów czy przejechanie na czerwonym świetle), ale czasem mogą zdarzyć się naprawdę skomplikowane wnioskowania. Przykładem będzie interpretowanie bardzo złożonej konstrukcji zdaniowej zawartej w jakimś przepisie prawnym, które nierzadko odpowiada stopniem złożoności zagadkom logicznym. A w rozwiązywaniu tych ostatnich rachunek zdaniowy nadaje się wyśmienicie.

KRZ i zagadki logiczne 

Zagadki logiczne, chyba najbardziej znane dzięki Raymondowi Smullyan’owi, nie są obce czytelnikom Filozofuj, dzięki cyklowi publikacji o tej nazwie. Spróbujmy rozwiązać prostą zagadkę wykorzystując właśnie KRZ:

Przeprowadzamy spis ludności na wyspie rycerzy i łotrów i odwiedzamy jedynie małżeństwa. Pukamy do jakichś drzwi, które otwiera mąż. Mówimy mu, że potrzebne są nam informacje o nim i jego żonie. Następnie pytamy: Czy oboje jesteście łotrami? Mąż odrzekł: „Co najmniej jedno z nas”. Kim jest każde z nich?

Do rozwiązania tej zagadki wystarczy nam spojrzeć na tabelę prawdziwościową dla alternatywy zwykłej, bo to właśnie jej użył w swojej odpowiedzi mąż. Łatwo się domyślić, że aby alternatywa była prawdziwa, wystarczy, że przynajmniej jeden z jej członów powinien być prawdziwy. Przyjmijmy następujące oznaczenia:

m – mąż jest łotrem

ż – żona jest łotrem

Mąż mówi: m ∨ ż. Mamy dwie możliwości – kłamie lub mówi prawdę. Jeśli kłamie, to jest łotrem, a wówczas ¬ (m ∨  ż), czyli żadne z nich nie jest łotrem. A to prowadzi do sprzeczności. Mąż musi więc mówić prawdę, tzn. alternatywa m ∨  ż musi być prawdziwa, ale m musi być fałszywe, tzn. mąż nie może być łotrem. To zostawia nam tylko jedną możliwość: m jest fałszem, a ż jest prawdą – to znaczy, mąż jest rycerzem, a żona łotrem. Na poniższej tabeli tę możliwość uwzględniona jest w wierszu trzecim:

Pozostaje pytanie w jaki sposób wykorzystać to narzędzie formalne w krytycznym myśleniu, np. podczas analizy argumentu. Otóż, w sytuacji, gdy dane wnioskowanie wydaje się być bardzo zawiłe, a nie występuje tam wiele zdań – lecz pojawiają się one jako składowe różnych innych zdań, wtedy może okazać się, że warto takie zdanie sformalizować. Jednak jeszcze ważniejszy jest ten sposób myślenia, który jest wykorzystywany zarówno w sprawdzaniu poprawności wnioskowań w KRZ, jak i w dowodach nie-wprost: „chcąc sprawdzić, czy dane wnioskowanie jest prawdziwe, załóż, że przesłanki są prawdziwe, a konkluzja fałszywa i spróbuj doprowadzić do sprzeczności”. Metoda ta jest używana zarówno w logice formalnej i nieformalnej, i daje się stosować w analizie dowolnych wnioskowań.

Na sam koniec proponuję Czytelnikom pewną zagadkę, która jednocześnie obnaża ograniczenia logiki formalnej. Otóż – Drodzy Państwo – oto zdanie, które na mocy ustaleń z KRZ jest prawdziwe i którego podważyć się nie da:

Jeśli można narysować kwadratowe koło, to logicy powinni rządzić światem.

Dlaczego?

Warto doczytać: 

• A. Jonkisz, Zagadnienia logiki formalnej i ogólnej teorii mnogości, Kraków, 2024
• J. Pruś, KM #32. Implikacja – instrukcja obsługi, [dostęp 24.07.2025]
• K. Wieczorek, Logika dla opornych, [dostęp 24.07.2025]

Jakub Pruś – adiunkt w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Ignatianum w Krakowie. Redaktor czasopisma „Forum Philosophicum” i autor vloga „Logika Codzienna”. Pisze aktualne odcinki Kursu krytycznego myślenia. Zajmuje się teorią argumentacji i logiką pragmatyczną. Miłośnik szachów, zapasów i śpiewania kołysanek.

Grafika: WikiArt

< Powrót do cyklu Myślenie Krytyczne

Prowadzenie portalu filozofuj.eu – finansowanie

Projekt dofinansowany ze środków budżetu państwa, przyznanych przez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach Programu „Społeczna Odpowiedzialność Nauki II”.