Artykuł Kurs logiki formalnej

Krzysztof A. Wieczorek: #10. Klasyczny rachunek zdań (cz. 5) – Tautologie i niezawodne schematy wnioskowania

Wśród formuł rachunku zdań można znaleźć takie, które mają ciekawą właściwość – każde oparte na nich zdanie jest prawdziwe. Z formułami takimi związane są tzw. niezawodne reguły wnioskowania – schematy rozumowań, które są na pewno logicznie poprawne.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2022 nr 4 (46), s. 30–31. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Gdy przyjrzymy się bliżej formułom KRZ, które – przypomnę – możemy traktować jako logiczne schematy zdań języka naturalnego, to zauważymy, że niektóre z nich mają ciekawą właściwość. Weźmy na przykład bardzo proste wyrażenie rachunku zdań o postaci: p ∨ ~ p (co odczytujemy: p lub nie-p). Załóż­my na początek, że występująca w tej formule zmienna p reprezentuje zdanie fałszywe, i sprawdźmy, jaką wartość logiczną będzie miało w takim wypadku całe zdanie złożone. Użyjemy do tego oczywiście tabelek zero-jedynkowych. Skoro p = 0, to ~ p = 1. Mamy więc alternatywę, która łączy zdanie fałszywe z prawdziwym – zgodnie z tabelkami taka alternatywa jest prawdziwa. A teraz zobaczmy, co się stanie, gdy w rozpatrywanym schemacie za p wstawimy zdanie prawdziwe. W takim przypadku będziemy mieli do czynienia z alternatywą zdania prawdziwego (p) oraz fałszywego (~ p). Wg tabelek taka alternatywa, podobnie jak poprzednia, też jest prawdziwa. Całe te rozważania możemy zobrazować w prostej tabeli:

p  ∨ ~  p
0 1 1 0
1 1 0 1

W tabeli tej przedstawione są wszystkie możliwe układy wartości logicznych, jakie mogą się pojawić, gdy rozpatrujemy formułę p ∨ ~ p. Albo p jest zdaniem fałszywym (pierwszy wiersz) albo prawdziwym (drugi wiersz). Jak widzimy, nie ma to jednak żadnego znaczenia dla wartości logicznej całego zdania złożonego reprezentowanego przez nasz schemat – w każdym przypadku jest ono prawdziwe.

Tautologie i prawdy logiczne

Wyrażenia takie jak p ∨ ~ p nazywamy tautologiami. Można zdefiniować tautologię jako formułę, która generuje wyłącznie zdania prawdziwe; mówiąc inaczej, tautologia to formuła, z której nie jesteśmy w stanie otrzymać zdania fałszywego. Zdania języka naturalnego, których schematami są tautologie, nazywamy natomiast prawdami logicznymi (albo zdaniami logicznie prawdziwymi). Za przykłady takich zdań, opartych na schemacie p ∨ ~ p, mogą posłużyć na przykład: „Pada deszcz lub nie pada deszcz”, „Zdam egzamin lub nie zdam egzaminu”, „Na Marsie jest życie lub na Marsie nie ma życia”. Niezależnie od tego, jak jest faktycznie (czy deszcz pada czy też nie, czy zdam egzamin czy go nie zdam, czy na Marsie jest życie czy go nie ma), to powyższe zdania są na pewno prawdziwe – jest to zagwarantowane przez logikę.

Niektóre z tautologii doczekały się swoich nazw. Na przykład formuła p ∨ ~ p nazywana jest prawem wyłączonego środka. Inna znana i często przywoływana przy różnych okazjach tautologia to tak zwane prawo niesprzeczności (nazywane też prawem sprzeczności), które można zapisać przy pomocy formuły ~ (p ∧ ~ p). Prawo to mówi, że nie jest możliwe, aby jakieś zdanie było jednocześnie prawdziwe i fałszywe. Za prawdy logiczne ilustrujące prawo niesprzeczności posłużyć mogą zdania: „Nie jest prawdą, że pada deszcz i nie pada deszcz”, „Nie jest prawdą, że zdam egzamin i nie zdam egzaminu” (oczywiście zakładamy tu, że w każdym przypadku mówimy o tym samym egzaminie) itd. Łatwo zauważyć, że zdania te są na pewno prawdziwe, a gdyby ktoś miał co do tego wątpliwości, to może je szybko rozwiać, sięgając do tabelek zero-jedynkowych i sprawdzając, jakiej wartości zdanie otrzyma ze schematu ~ (p ∨ ~ p) przy p = 0, a następnie przy p = 1.

Tautologie mogą być oczywiście bardziej złożone od tych przed chwilą przedstawionych. Za przykład niech posłuży tu wyrażenie: [(p → q) ∧ p] → q. Jako że formuła ta zawiera dwie odpowiadające zdaniom prostym zmienne, to wykazanie, że generuje ona wyłącznie zdania prawdziwe, wymaga rozważenia czterech możliwości, co przedstawia następująca tabela:

[( p q ) p ] q
0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1

Powyższa tautologia nazywana jest z łaciny modus ponendo ponens (w skrócie modus ponens) i można ją odczytać następująco: jeśli p implikuje q i jednocześnie prawdą jest p, to prawdą jest też q. Opartą na modus ponens prawdą logiczną jest na przykład zdanie: „Jeżeli jest tak, że jeśli pada deszcz, to ulice są mokre, i jednocześnie deszcz pada, to znaczy to, że ulice są mokre”.

Inna podobna tautologia to modus tollendo ponens, czyli formuła: [(p ∨ q) ∧ ~ p] → q. O tym, że ze schematu takiego powstają wyłącznie zdania prawdziwe, każdy może się łatwo przekonać, konstruując odpowiednią tabelę, analogiczną do poprzedniej. Jako przykład zdania logicznie prawdziwego opartego na tym schemacie posłużyć może wypowiedź: „Jeśli Zenek jest teraz w barze lub u Wacka, a jedno­cześnie w barze Zenka nie ma, to Zenek jest u Wacka”.

Niezawodne reguły wnioskowania

Prawa mające postać implikacji (implikacja jest ich głównym spójnikiem), takie jak powyższe, wygodnie jest przedstawić w postaci tak zwanych niezawodnych reguł wnioskowania, czyli schematów rozumowań, które są na pewno logicznie poprawne – w których wniosek wynika logicznie z przesłanek. W takim przypadku połączone koniunkcją, zawarte w poprzedniku tautologicznej implikacji schematy stanowią przesłanki, natomiast następnik tej implikacji to wniosek. Na przykład wspomnianą wyżej modus ponens, czyli formułę: [(p → q) ∧ p] → q, możemy przedstawić w ten sposób jako regułę, w której dwie przesłanki przybierają postacie: p → q oraz p, natomiast wniosek to q. Niezależnie jakie podstawimy do takiej reguły zmienne, to otrzymamy wnioskowanie poprawne logicznie – jeśli tylko prawdziwe będą jego przesłanki, to prawdziwy będzie musiał być również jego wniosek. Wiemy stąd, że prawidłowo wnioskuje na przykład ten, kto z przesłanek „Jeśli na imprezie będzie Ania, to będzie tam również Zenek” oraz „Ania będzie na imprezie” wyciąga konkluzję: „Na imprezie będzie Zenek”.

Ostatniej przywołanej wcześniej tauto­logii, czyli modus tollendo ponens, odpowiada z kolei niezawodna reguła o przesłankach: p ∨ q i ~ p oraz wniosku q. W jej przypadku również jest tak, że jeśli podstawimy za zmienne pq zdania w taki sposób, aby prawdziwe były przesłanki, to otrzymamy na pewno prawdziwy wniosek. Tak więc logicznie poprawne jest na przykład oparte na takiej regule wnioskowanie: „Teczkę zostawiłem w samochodzie lub w biurze. W samochodzie jednak teczki nie ma. Zatem teczka została w biurze”.

Więcej różnych tautologii oraz niezawodnych reguł wnioskowania zainteresowani czytelnicy mogą znaleźć w wielu popularnych podręcznikach do logiki.


Krzysztof A. Wieczorek – profesor uczelni w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Śląskiego. Interesuje go przede wszystkim tzw. logika nieformalna, teoria argumentacji i perswazji, związki między logiką a psychologią. Prywatnie jest miłośnikiem zwierząt (ale tylko żywych, nie na talerzu). Amatorsko uprawia biegi długodystansowe.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Paulina Belcarz

 

Najnowszy numer można nabyć od 2 listopada w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2023 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy