Krzysztof A. Wieczorek: #6. Klasyczny rachunek zdań (cz. 1)

Klasyczny rachunek zdań, podobnie jak sylogistyka, dostarcza narzędzi do sprawdzania poprawności wnioskowań. Na jego gruncie można jednak badać rozumowania o wiele bardziej złożone niż sylogizmy.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 6 (42), s. 30–31. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

W poprzednich dwóch odcinkach tego cyklu przedstawiłem w zarysie najprostszy z systemów logiki formalnej – sylogistykę. Teraz nadszedł czas, aby przyjrzeć się bliżej systemowi nieco bardziej złożonemu, czyli klasycznemu rachunkowi zdań (w skrócie KRZ). Rachunek ten, podobnie jak sylogistyka, ma swe korzenie w starożytnej Grecji – jego podstawy zostały opracowane przez stoików w III w. p.n.e. – i również dostarcza on narzędzi do sprawdzania poprawności wnioskowań. Przy pomocy KRZ można jednak badać rozumowania o wiele bardziej rozbudowane niż sylogizmy, w których, przypomnijmy, mogą występować tylko zdania zawierające zwroty: „każdy… jest”, „żaden… nie jest”, „niektóre… są” i „niektóre… nie są”.

W ogólnych zarysach badanie wnioskowań odbywa się na gruncie KRZ tak samo jak w sylogistyce. Podobnie musimy tu najpierw odkryć schemat danego wnioskowania, a następnie sprawdzić, czy schemat ten należy do grona niezawodnych – czyli takich, które gwarantują, że jeśli przyjmiemy prawdziwe przesłanki, to otrzymamy również prawdziwy wniosek. Podstawowa różnica pomiędzy KRZ a sylogistyką leży natomiast w tym, jak budujemy schematy wnioskowań. W każdym z tych systemów korzystamy bowiem z innego zestawu elementów, z których schematy te są tworzone – innych stałych logicznych oraz zmiennych.

Język rachunku zdań

Aby poznać schemat danego wnioskowania, musimy jego przesłanki i konkluzję „przetłumaczyć” z języka naturalnego na język danego rachunku logicznego, w tym przypadku – rachunku zdań. Do tego konieczna jest oczywiście znajomość języka KRZ, który, choć nieco bardziej skomplikowany od języka sylogistyki, nie jest na szczęście jakoś szczególnie trudny do opanowania.

W języku KRZ występują dwie grupy wyrażeń: zmienne zdaniowe oraz spójniki logiczne. Zmienne są w języku KRZ odpowiednikami zdań (dokładniej: zdań prostych) języka naturalnego, takich jak na przykład: „dzisiaj pada deszcz”, „jutro będzie świecić słońce”, „Jan jest filozofem” itp. Tradycyjnie przyjęło się, aby oznaczać zmienne zdaniowe małymi literami: p, q, r, s itd. Czyli na przykład, przekładając jakąś wypowiedź z języka naturalnego na język KRZ, umawiamy się, że zdanie „dzisiaj pada deszcz” to będzie po prostu p, „jutro będzie świecić słońce” – to będzie q itd.

Spójniki logiczne – nazywane inaczej funktorami logicznymi albo funktorami prawdziwościowymi – stanowią odpowiedniki niektórych spójników języka naturalnego. Najczęściej w języku KRZ wyróżnia się pięć podstawowych spójników: negację, koniunkcję, alternatywę (dokładniej: alternatywę nierozłączną), implikację i równoważność. Negacja odpowiada zwrotom językowym wyrażającym przeczenie, takim jak „nieprawda, że”, „nie jest tak, że” czy też po prostu „nie”. Symbolicznie oznaczamy negację zwykle przy pomocy znaku ~. Koniunkcja, oznaczana symbolem ∧, odpowiada takim wyrażeniom jak „i”, „oraz”, „a”, „a także” itp. Alternatywa – symbolicznie ∨ – zastępuje w języku KRZ takie spójniki jak „lub”, „albo” czy też „bądź”. Implikacja odpowiada trybom warunkowym takim jak „jeśli…, to”, „o ile…, to”, „gdy…, to” itp. i oznaczana jest strzałką →. Równoważność natomiast zastępuje zwrot „wtedy i tylko wtedy, gdy” i zapisujemy ją zwykle przy pomocy symbolu ≡.

Pisząc wyrażenia rachunku zdań, oprócz zmiennych zdaniowych i spójników, wykorzystujemy często również nawiasy. Wprawdzie formalnie nie należą one do języka KRZ, są jednak bardzo pomocne. Pełnią one rolę podobną do tej, jaką w języku naturalnym odgrywają przecinki, kropki czy też myślniki – dzięki nim możemy łatwo zorientować się w strukturze danego wyrażenia. Zobaczymy to za chwilę na przykładach.

Formuły KRZ jako schematy zdań

Wyrażenia rachunku zdań, nazywane formułami KRZ, możemy traktować jako logiczne schematy zdań języka naturalnego. Schematem dowolnego zdania prostego jest pojedyncza zmienna, na przykład p. Schematy zdań złożonych, w których występują spójniki mające swoje odpowiedniki w KRZ, są oczywiście dłuższe. Aby poznać schemat takiego zdania, musimy po prostu wszystkie obecne w nim zdania proste zastąpić kolejnymi zmiennymi, a spójniki odpowiednimi symbolami.

Przykładowo w zdaniu „Leon czyści broń i obmyśla plan zemsty” mamy dwa zdania proste oraz spójnik koniunkcji, tak więc jego schemat to: p ∧ q. Spójrzmy teraz na zdanie „jeśli nie spróbuję, to nie wygram”. Występują w nim dwa zdania proste: „(ja) spróbuję” i „(ja) wygram”. Każde z nich jest jednak poprzedzone negacją i takie zanegowane zdania są połączone spójnikiem implikacji. Logiczny schemat całego zdania to zatem: ~ p → ~ q. Porównajmy teraz to zdanie z innym, podobnym do niego, mającym jednak inny sens: „nie jest prawdą, że jeśli spróbuję, to wygram”. W tym zdaniu również mamy do czynienia z dwoma zdaniami prostymi oraz implikacją. Występuje w nim jednak tylko jedna negacja, która odnosi się do całej implikacji jeśli spróbuję, to wygram. Aby to oddać w schemacie, musimy implikację p → q wziąć w nawias i przed nim postawić negację: ~ (p → q). Nawias w tym schemacie jest niezwykle istotny. Gdybyśmy go pominęli, otrzymalibyśmy formułę ~ p → q, która odpowiadałaby zdaniu mającemu zupełnie inny sens: „jeśli nie spróbuję, to wygram”.

Nawiasy są też konieczne w schematach, w których występuje więcej zmiennych. Zastanówmy się na przykład nad schematem zdania: „jeżeli nie przeczytam podręcznika lub będę opuszczał wykłady, to nie zdam egzaminu”. W zdaniu tym alternatywa „nie przeczytam podręcznika lub będę opuszczał wykłady” stanowi całość będącą pierwszym członem (tzw. poprzednikiem) implikacji. Aby uwidocznić to na schemacie, musimy tę alternatywę wziąć w nawias, w wyniku czego ostatecznie otrzymamy następującą formułę będącą schematem całego zdania: (~ p ∨ q) → ~ r.

Jeszcze bardziej skomplikowany schemat, z większą liczbą nawiasów, otrzymamy w przypadku zdania „jeśli będzie padać, to pouczę się logiki, a jeśli nie będzie padać, to pójdę pobiegać lub pograć w piłkę”. Schematem tym będzie formuła: (p → q) ∧ [~ p → (r ∨ s)].
Przykład ten pokazuje również, że gdy w zdaniu złożonym występuje w dwóch miejscach to samo zdanie proste („będzie padać”), to za każdym razem musimy je zastąpić tą samą zmienną (w naszym przypadku p).

Zapisywanie logicznych schematów zdań języka naturalnego dla wielu osób może okazać się ciekawym ćwiczeniem intelektualnym, podobnym do rozwiązywania różnorodnych łamigłówek. Jeśli ktoś chciałby sprawdzić swoje umiejętności w tym zakresie, to odpowiednie materiały znajdzie w wielu zbiorach zadań z logiki. Jak natomiast schematy zdań wykorzystać do badania poprawności wnioskowania – o tym napiszę w kolejnych odcinkach.

Krzysztof A. Wieczorek – profesor uczelni w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Śląskiego. Interesuje go przede wszystkim tzw. logika nieformalna, teoria argumentacji i perswazji, związki między logiką a psychologią. Prywatnie jest miłośnikiem zwierząt (ale tylko żywych, nie na talerzu). Amatorsko uprawia biegi długodystansowe.