Artykuł Kurs logiki formalnej

Krzysztof A. Wieczorek: #7. Klasyczny rachunek zdań (cz. 2) – świat zer i jedynek

Tzw. tabelki zero-jedynkowe to narzędzie, którym każdy logik musi umieć sprawnie się posługiwać. Pozwalają one „obliczać”, czy zdania złożone utworzone za pomocą spójników logicznych są prawdziwe czy fałszywe.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2022 nr 1 (43), s. 32–33. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Z poprzedniego odcinka wiemy już, jak „tłumaczyć” wypowiedzi języka naturalnego na język rachunku zdań, czyli, mówiąc bardziej fachowo, jak zapisywać w języku KRZ logiczne schematy zdań. W kolejnych odcinkach zobaczymy, co możemy robić dalej z takimi schematami, przede wszystkim jak je wykorzystać do badania poprawności wnioskowań. Przedtem musimy jednak poznać jedno bardzo przydatne dla każdego logika narzędzie, czyli tzw. tabelki zero-jedynkowe.

Zacznijmy od wprowadzenia nowego pojęcia – wartości logicznej. Otóż wartość logiczna zdania jest to po prostu jego prawdziwość lub fałszywość. Przyjęło się, aby zdanie prawdziwe oznaczać symbolem 1, natomiast zdanie fałszywe – symbolem 0. W związku z tym mówimy czasem, że zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1, a zdanie fałszywe – wartość 0. Z wartościami logicznymi, jak nietrudno się domyślić, ściśle wiążą się wspomniane wyżej tabelki zero-jedynkowe. Pokazują one, jak zmienia się wartość logiczna zdania złożonego wraz ze zmianą wartości jego części składowych. Poniżej zobaczymy, jak wyglądają one dla zdań zawierających poznane w poprzednim odcinku spójniki: negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności.

Niewątpliwie najprostsza jest tabelka dla zdań, w których występuje spójnik negacji. Gdy weźmiemy dowolne zdanie, które jest fałszywe, i następnie poprzedzimy je negacją, to otrzymamy na pewno zdanie prawdziwe. Przykładowo, gdy zanegujemy fałszywe zdanie „Wrocław jest stolicą Polski”, powstanie zdanie prawdziwe „Wrocław nie jest stolicą Polski” (dokładniej: „Nie jest prawdą, że Wrocław jest stolicą Polski”). Podobnie zanegowanie dowolnego zdania prawdziwego (np. „Warszawa leży nad Wisłą”) sprawi, że otrzymamy zdanie fałszywe (w tym przypadku: „Warszawa nie leży nad Wisłą”). Tabelka dla negacji wygląda zatem następująco:

~ α
1 0
0 1

(Obecne w tabelkach symbole α i β oznaczają dowolne zdania).

Spróbujmy teraz stworzyć tabelkę dla zdania złożonego, w którym występuje spójnik koniunkcji. Wyobraźmy sobie, że ktoś chwali się, mówiąc: „W tym roku byłem na wakacjach w Grecji i w Hiszpanii”. Jest to oczywiście skrócone ze względów stylistycznych zdanie złożone stanowiące koniunkcję dwóch zdań prostych: „W tym roku byłem na wakacjach w Grecji” i „W tym roku byłem na wakacjach w Hiszpanii”. Kiedy taką wypowiedź możemy uznać za prawdziwą? Oczywiście tylko wtedy, kiedy wygłaszająca ją osoba faktycznie odwiedziła oba kraje, o których wspomniała. Gdyby natomiast okazało się, że była ona tylko w Grecji albo tylko w Hiszpanii, albo nie była w ogóle w żadnym z tych miejsc – to w takich sytuacjach jej wypowiedź musielibyśmy określić jako fałszywą. Mówiąc krótko: zdanie mające postać koniunkcji jest prawdziwe tylko wtedy, gdy obie jego części składowe są prawdziwe; jeśli natomiast przynajmniej jeden z członów koniunkcji jest fałszywy, to i cała koniunkcja jest fałszywa. W tabelce możemy przedstawić to następująco:

α β
0 0
0 1
1 0
1 1

Aby zbudować tabelkę dla alternatywy (dokładniej: tzw. alternatywy nierozłącznej), wyobraźmy sobie, że w prognozie pogody usłyszeliśmy, że „dziś będzie padał deszcz lub będzie padał śnieg”. Gdyby następnie w ciągu całego dnia ani deszcz, ani śnieg się nie pojawił, to prognoza okazałaby się fałszywa. W sytuacji jednak, gdyby spadł sam deszcz albo sam śnieg, albo też padałby zarówno deszcz, jak i śnieg, powiedzielibyśmy, że prognoza była prawdziwa. Widzimy więc, że alternatywa jest fałszywa tylko w jednym przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe. W pozostałych przypadkach, gdy przynajmniej jeden z jej członów jest prawdziwy, prawdziwe jest również zdanie złożone utworzone za pomocą tego spójnika. W tabelce wygląda to następująco:

α β
0 0
0 1
1 0
1 1

W celu stworzenia tabelki dla implikacji wyobraźmy sobie, że przed egzaminem profesor mówi studentom: „Jeśli kogoś złapię na ściąganiu, to osoba taka otrzyma ocenę niedostateczną”. W jakich sytuacjach wypowiedź tę moglibyśmy uznać za prawdziwą, a kiedy za fałszywą? Jeśli profesor złapał kogoś na ściąganiu (prawdziwy pierwszy człon implikacji, czyli jej tzw. poprzednik), a mimo to nie dał mu dwójki (fałszywy następnik implikacji), to znaczyłoby, że nie dotrzymał danego słowa. Powiedzenia nieprawdy nie można by mu jednak było zarzucić w pozostałych sytuacjach: gdyby złapał kogoś na ściąganiu i dał mu ocenę niedostateczną (prawdziwy zarówno poprzednik implikacji, jak i jej następnik); gdyby kogoś nie złapał na ściąganiu i by go nie oblał (oba człony implikacji fałszywe), a także wtedy, gdyby kogoś wprawdzie nie przyłapał na nieuczciwości, ale dał mu ocenę niedostateczną z jakiegoś innego powodu – np. dlatego, że student ten oddał pustą kartkę (poprzednik implikacji fałszywy, a jej następnik prawdziwy). Tabelka dla zdania mającego postać implikacji wygląda zatem następująco:

α β
0 0
0 1
1 0
1 1 1

Na koniec pozostała nam jeszcze równoważność. Załóżmy, że rodzice składają dziecku obietnicę: „Dostaniesz nowy rower wtedy i tylko wtedy, gdy poprawisz swoje oceny”. Gdyby następnie nie kupili dziecku roweru pomimo tego, że poprawiło ono oceny, a także gdyby dali mu rower pomimo niepoprawienia ocen, to oczywiście nie dotrzymaliby danego słowa. W pozostałych sytuacjach (poprawione oceny i rower w prezencie oraz niepoprawione oceny i brak roweru) obietnicę rodziców musielibyśmy uznać za prawdziwą. Widzimy więc, że aby zdanie mające postać równoważności było prawdziwe, jego człony muszą mieć taką samą wartość logiczną. Gdy natomiast mają one różne wartości, to równoważność jest fałszywa.

α β
0 1 0
0 1
1 0
1 1 1

Jak posługiwać się poznanymi dziś tabelkami i do czego można je wykorzystać? O tym napiszę w kolejnych odcinkach.


Krzysztof A. Wieczorek – profesor uczelni w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Śląskiego. Interesuje go przede wszystkim tzw. logika nieformalna, teoria argumentacji i perswazji, związki między logiką a psychologią. Prywatnie jest miłośnikiem zwierząt (ale tylko żywych, nie na talerzu). Amatorsko uprawia biegi długodystansowe.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Natalia Biesiada-Myszak

Najnowszy numer można nabyć od 4 maja w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy