Krzysztof A. Wieczorek: #8. Klasyczny rachunek zdań (cz. 3) – Jak obliczyć, czy zdanie jest prawdziwe?

Gdy znamy wartości logiczne zdań prostych wchodzących w skład zdania złożonego utworzonego przy pomocy spójników logicznych, to dzięki tabelkom zero-jedynkowym możemy łatwo sprawdzić, czy całe to zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Czasem jesteśmy w stanie zrobić też coś odwrotnego – na podstawie wiedzy o wartości logicznej zdania złożonego możemy stwierdzić, jakie wartości przysługują tworzącym go zdaniom prostym.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2022 nr 2 (44), s. 32–33. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

W poprzednim odcinku poznaliśmy jedno z ważniejszych narzędzi używanych przez logików – tzw. tabelki zero-jedynkowe. Teraz zobaczymy, jak się owymi tabelkami posługiwać w praktyce. Aby móc śledzić ze zrozumieniem dalszą część tego tekstu, trzeba tabelki zero-jedynkowe znać na pamięć lub przynajmniej mieć je gdzieś w zasięgu wzroku. Dlatego osoby, które tabelek jeszcze nie znają albo nie są pewne, czy pamiętają je dobrze, zachęcam do sięgnięcia teraz do „Filozofuj!” nr 43 lub do dowolnego podręcznika z logiki i znalezienia ich tam.

Dzięki tabelkom zero-jedynkowym możemy określać wartość logiczną (czyli prawdziwość lub fałszywość) zdań złożonych utworzonych przy pomocy spójników logicznych. Aby to uczynić, musimy jednak wcześniej znać wartości logiczne zdań prostych, z których składa się całe badane przez nas dłuższe zdanie. Załóżmy na przykład, że słyszymy, gdy ktoś mówi: „Jeśli dziś jest poniedziałek lub dziś jest wtorek, to w auli o godzinie 10 odbywa się wykład z logiki”. Schemat takiej wypowiedzi możemy zapisać w symbolice rachunku zdań jako: (p ∨ q) → r, co odczytujemy: „jeśli p lub q, to r” (o tym, jak takie schematy tworzyć i co oznaczają obecne w nich symbole, pisałem w „Filozofuj!” nr 42). Załóżmy teraz dalej, że jest akurat poniedziałek godzina 10, zaglądamy do auli, o której mowa w naszym zdaniu, a tam nikogo nie ma. W tym momencie wiemy, że zdanie reprezentowane w schemacie przez zmienną p ma wartość 1 (prawdą jest, że jest poniedziałek), zdanie oznaczone przez q ma wartość 0 (fałszem jest, że jest wtorek), podobnie jak zdanie reprezentowane przez r (fałszem jest, że w auli o godzinie 10 odbywa się wykład). Mając te informacje, możemy, dzięki tabelkom, obliczyć wartość logiczną całej wypowiedzi. Oto jak to robimy. Widzimy, że całe zdanie ma postać implikacji, której poprzednikiem jest alternatywa p ∨ q, natomiast następnikiem jest r. Z tabelek odczytujemy, że alternatywa zdania prawdziwego (p) i fałszywego (q) jest prawdziwa. Ostatecznie mamy więc do czynienia z implikacją, która wiedzie od zdania prawdziwego (p ∨ q) do fałszywego (r). Z tabelki odczytujemy, że taka implikacja ma wartość 0 – nasze zdanie jest więc fałszywe. W często stosowanym przez logików zapisie całe te obliczenia przedstawiane są tak:

(p	v	q)	→	r
1	1	0	0	0

Wartości każdego ze zdań prostych umieszczone są pod zmiennymi, które owe zdania reprezentują. Cyfra 1 pod znakiem alternatywy pokazuje wartość umieszczonego w nawiasie zdania o schemacie „p lub q”. Natomiast pogrubione 0 to wartość logiczna całego rozpatrywanego przez nas zdania. Zauważmy tu przy okazji, że wartość całego zdania złożonego umieszczana jest w tego typu zapisach zawsze pod tzw. głównym spójnikiem tego zdania, czyli takim spójnikiem, który ostatecznie spina je w całość – w naszym wypadku jest to oczywiście implikacja.

Spójrzmy teraz na zdanie o schemacie: ~ p ∧ (q → ~ r). Załóżmy, że zmienne p oraz r reprezentują zdania fałszywe (w skrócie p = 0, r = 0), natomiast q – zdanie prawdziwe (q = 1). Jaką wartość będzie mieć w takim wypadku całe zdanie? Aby się tego dowiedzieć, najpierw zajmiemy się częścią umieszczoną w nawiasie. Mamy tam implikację, która wiedzie od q do zaprzeczenia r. Skoro r = 0, to na podstawie tabelki dla negacji wiemy, że ~ r = 1. Widzimy więc, że zarówno poprzednikiem (q), jak i następnikiem (~ r) naszej implikacji są zdania prawdziwe. Implikacja taka, jak pokazuje tabelka, sama też jest prawdziwa. Przechodzimy teraz do zdania ~ p i stwierdzamy, że musi być ono prawdziwe, skoro p = 0. Ostatecznie mamy więc do obliczenia koniunkcję, która łączy dwa zdania prawdziwe: ~ p oraz implikację q → ~ r. Z tabelek odczytujemy, że taka koniunkcja ma wartość 1. W skrócie możemy to wszystko zapisać tak:

~	p	∧	(q	→	~	r)
1	0	1	1	1	1	0

A teraz w drugą stronę!

Co ciekawe, dzięki tabelkom możemy też często zrobić coś odwrotnego w stosunku do tego, co czyniliśmy w dwóch poprzednich przykładach. Załóżmy, że mamy do czynienia ze zdaniem o schemacie (p ∧ ~ q) → r, i wiemy, że jest ono fałszywe. Czy możemy w tej sytuacji obliczyć, jaką wartość mają zdania proste reprezentowane przez zmienne p, q i r? Okazuje się, że nie jest to wcale trudne. Na początku musimy zauważyć, że nasze zdanie ma postać implikacji (to ona jest w nim spójnikiem głównym), a implikacja, jak pokazuje to tabelka, jest fałszywa tylko w jednym przypadku – wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Tak więc prawdziwa musi być koniunkcja w nawiasie, a fałszywe musi być zdanie reprezentowane przez r (r = 0). Spójrzmy teraz na koniunkcję p ∧ ~ q, o której wiemy, że jest prawdziwa. Zgodnie z tabelką dla tego spójnika tutaj również mamy tylko jedną możliwość – oba człony takiej koniunkcji muszą być prawdziwe. Taki więc p = 1 i ~ q = 1. Z tego ostatniego oraz tabelki dla negacji dowiadujemy się natychmiast, że samo q = 0. W skrócie wszystkie wykonane obliczenia możemy zapisać tak:

(p	∧	~	q)	→	r
1	1	1	0	0	0

Mam nadzieję, że Czytelnicy, którzy dotarli do tego momentu, widzą, iż posługiwanie się tabelkami zero-jedynkowymi nie jest wcale bardzo trudne. Tym, którzy chcieliby sprawdzić, czy dobrze wszystko zrozumieli, proponuję samodzielne rozwiązanie kilku zamieszczonych niżej przykładów. Prawidłowe odpowiedzi znajdziecie z boku artykułu. Natomiast wszystkie umiejętności, które można było zdobyć, czytając dotychczasowe artykuły poświęcone rachunkowi zdań, przydadzą się za dwa miesiące, gdy w kolejnym odcinku tego cyklu pokażę, jak korzystając ze schematów zdań oraz tabelek zero-jedynkowych można sprawdzać, czy pomiędzy zdaniami zachodzi relacja wynikania logicznego.

Krzysztof A. Wieczorek – profesor uczelni w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Śląskiego. Interesuje go przede wszystkim tzw. logika nieformalna, teoria argumentacji i perswazji, związki między logiką a psychologią. Prywatnie jest miłośnikiem zwierząt (ale tylko żywych, nie na talerzu). Amatorsko uprawia biegi długodystansowe.