Krzysztof A. Wieczorek: #9. Klasyczny rachunek zdań (cz. 4) – Wynikanie logiczne i poprawność wnioskowań

Korzystając z narzędzi KRZ, jesteśmy w stanie badać, czy pomiędzy zdaniami zachodzi relacja wynikania logicznego. Jak zobaczymy, można to robić w sposób całkowicie automatyczny – pracę tę mógłby wykonywać za nas odpowiednio zaprogramowany prosty komputer.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2022 nr 3 (45), s. 30–31. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Z poprzednich odcinków tego cyklu wiemy już, jak na gruncie KRZ zapisywać logiczne schematy zdań oraz jak posługiwać się tabelkami zero-jedynkowymi. Teraz umiejętności te wykorzystamy do sprawdzania, czy pomiędzy zdaniami zachodzi relacja wynikania logicznego, a w konsekwencji do badania, czy wnioskowania są formalnie poprawne.

Przykład 1

Zacznijmy od bardzo prostego przykładu i spróbujmy zbadać, czy ze zdania A: „Jeśli świadek mówi prawdę, to oskarżony jest winny” wynika zdanie B: „Oskarżony jest winny lub świadek nie mówi prawdy”. Na początek zapisujemy logiczne schematy tych zdań, pamiętając, aby te same zdania proste zastępować tymi samymi zmiennymi. Schemat A to oczywiście p → q, natomiast schemat B: q ∨ ~ p.

Teraz musimy przypomnieć sobie definicję wynikania (przedstawioną w odcinku 2 tego cyklu, który ukazał się w numerze 2/2021 „Filozofuj!”). Stanowi ona, że ze zdania A wynika zdanie B, gdy nie jest możliwe, aby A było prawdziwe i jednocześnie B fałszywe. Czy w przypadku interesujących nas zdań sytuacja, o której mówi definicja, jest możliwa, czy też nie? Aby odpowiedzieć na to pytanie, wykorzystamy tabelki zero-jedynkowe. W tym celu najpierw umieścimy schematy naszych zdań obok siebie i rozpiszemy wszystkie możliwe rozkłady wartości logicznych dla występujących w nich zdań prostych reprezentowanych przez zmienne p i q (czyli p = 0 i q = 0; p = 0 i q = 1; p = 1 i q = 0, p = 1 i q = 1).

A:			B:
p	→	q	q	∨	~	p
0		0	0			0
0		1	1			0
1		0	0			1
1		1	1			1

Teraz obliczymy, jakie wartości w każdym z tych czterech przypadków będą miały zdania A i B. Jak to robić, wyjaśniałem dokładnie w poprzednim odcinku, więc teraz tylko krótko przypomnę procedurę na przykładzie pierwszego wiersza w naszej tabelce, gdzie obie zmienne reprezentują zdania fałszywe (p = 0 i q = 0). Implikacja, której poprzednik i następnik są fałszywe, sama jest prawdziwa (odczytujemy to z tabelki dla tego spójnika), więc pod jej symbolem w pierwszej linijce wpisujemy 1. Zdanie B to alternatywa q oraz ~ p. Skoro p = 0, to ~ p = 1. Mamy zatem alternatywę zdania fałszywego (q) i prawdziwego (~ p). Zgodnie z tabelkami zero-jedynkowymi taka alternatywa jest prawdziwa, więc pod jej symbolem wpisujemy 1. W podobny sposób wypełniamy kolejne linijki, w wyniku czego otrzymujemy następującą tabelę:

A:			B:
p	→	q	q	∨	~	p
0	1	0	0	1	1	0
0	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	0	0	1
1	1	1	1	1	0	1

Teraz musimy sprawdzić, czy w którejś z linijek nie wystąpiła sytuacja, w której zdanie A byłoby prawdziwe (czyli pod symbolem implikacji widniałaby 1), a jednocześnie zdanie B – fałszywe (0 pod alternatywą). Jak widać, nigdzie się tak nie zdarzyło – wszędzie, gdzie prawdziwe jest zdanie A, prawdziwe jest również B. Ponieważ rozważyliśmy wszystkie sytuacje, jakie teoretycznie mogłyby mieć miejsce, możemy z całkowitą pewnością stwierdzić, że w przypadku badanych przez nas zdań nie jest możliwe, aby A było prawdziwe i jednocześnie B fałszywe. Zgodnie z definicją wynikania świadczy to o tym, że ze zdania A wynika logicznie zdanie B.

Zauważmy, że w ten sposób wykazaliśmy nie tylko, że ze zdania „Jeśli świadek mówi prawdę, to oskarżony jest winny” wynika zdanie „Oskarżony jest winny lub świadek nie mówi prawdy”, ale że wynikanie zachodzi pomiędzy wszystkimi zdaniami o takich samych schematach. A więc na przykład ze zdania „Jeśli pada deszcz, to ulice są mokre” wynika logicznie zdanie „Ulice są mokre lub deszcz nie pada”; ze zdania „Jeśli Zenek dostał wypłatę, to jest w barze” wynika zdanie „Zenek jest w barze lub nie dostał wypłaty” itd.

Przykład 2

Teraz sprawdzimy, czy ze zdania A: „Jeśli świadek mówi prawdę, to oskarżony nie jest winny” wynika zdanie B: „Jeśli świadek nie mówi prawdy, to oskarżony jest winny”. Schemat pierwszego zdania to: p → ~ q, natomiast drugiego: ~ p → q. Wpisujemy je do tabeli, którą następnie wypełniamy w podobny sposób jak poprzednią:

A:				B:
p	→	~	q	~	p	→	q
0	1	1	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1

Widzimy, że już w pierwszej linijce tabeli (gdy p = 0 i q = 0) otrzymaliśmy sytuację, w której zdanie A jest prawdziwe, a jednocześnie B fałszywe. Jest to dowód na to, że ze zdania A nie wynika B. Na marginesie zauważmy, że gdy ktoś wykonywał to zadanie samodzielnie i w pierwszej linijce otrzymał A = 1 i B = 0, to nie musiał już rozpatrywać kolejnych przypadków; cokolwiek by w nich wyszło, nie mogłoby to zmienić odpowiedzi, że wynikanie tutaj nie zachodzi.

Przykład 3

Na koniec sprawdzimy, czy następujące wnioskowanie jest logicznie poprawne, a więc czy ze zdań będących jego przesłankami wynika zdanie będące wnioskiem: „Złodziej dostał się do domu przez drzwi frontowe lub przez ogród. Gdyby złodziej dostał się do domu przez ogród, to zostawiłby ślady na śniegu. Złodziej nie zostawił śladów na śniegu. Zatem złodziej wszedł przez drzwi frontowe”. W rozumowaniu tym występują trzy przesłanki, których schematy to kolejno: p ∨ q, q → r, ~ r, natomiast schemat wniosku to po prostu p. Aby zbadać, czy wnioskowanie jest poprawne, możemy zbudować tabelę, której górny wiersz będzie wyglądał tak:

→

W kolejnych linijkach tabeli należy rozważyć wszystkie możliwe rozkłady wartości logicznych dla trzech zmiennych, czyli p = 0, q = 0, r = 0, następnie p = 0, q = 0, r = 1, dalej p = 0, q = 1, r = 0 itd. W sumie powinno dać to osiem możliwości. Po wypełnieniu takiej tabeli (to zadanie pozostawiam do wykonania chętnym Czytelnikom) okaże się, że w żadnej linijce nie wystąpiła sytuacja taka, aby wszystkie trzy przesłanki były prawdziwe, a jednocześnie wniosek (czyli zdanie p) fałszywy. Świadczy to o tym, że wniosek wynika tu z przesłanek, a więc rozważane wnioskowanie jest logicznie poprawne. Podobnie jak w przypadku przykładu 1 możemy powiedzieć, że poprawne jest również każde inne rozumowanie, w którym przesłanki i wniosek zbudowane są zgodnie z takimi samymi schematami.

Krzysztof A. Wieczorek – profesor uczelni w Instytucie Filozofii Uniwersytetu Śląskiego. Interesuje go przede wszystkim tzw. logika nieformalna, teoria argumentacji i perswazji, związki między logiką a psychologią. Prywatnie jest miłośnikiem zwierząt (ale tylko żywych, nie na talerzu). Amatorsko uprawia biegi długodystansowe.