Artykuł Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Jak istnieją liczby?

Co mamy na myśli, mówiąc, że jakieś twierdzenie matematyczne jest prawdziwe? Zgodnie z klasyczną koncepcją prawdy oznacza to po prostu, że jest ono zgodne z rzeczywistością. Czym jednak może być owa rzeczywistość, o której orzekają zdania matematyczne? O czym mówią zdania „2 + 2 = 4” czy „Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych”? Jakiej rzeczywistości dotyczą?

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 3 (15), s. 15–16. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Rzeczywistość matematyczna?

Z pewnością nie jest to rzeczywistość przypominająca świat fizyczny. Obiekty takie jak liczby naturalne z pewnością nie przypominają krzeseł i stołów. Są bytami abstrakcyjnymi – a podstawowa charakterystyka obiektów abstrakcyjnych jest taka, iż nie są one zlokalizowane w czasie i przestrzeni. Nie mają więc sensu pytania „Gdzie jest dzisiaj liczba 5?” albo „Czy liczba π (pi) zmieniła w ciągu ostatnich 24 godzin swoje miejsce pobytu?”. Obiekty abstrakcyjne – jeśli istnieją – istnieją w inny sposób lub – mówiąc fachowo – mają inny status ontyczny.

Czy jednak pogląd, iż takie obiekty istnieją, ma sens? Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że istnieją stoły i krzesła, a wiara w rzetelność naukowców – że istnieją także geny i neutrina. Na jakiej jednak podstawie mielibyśmy sądzić, że istnieją nie tylko (widzialne) stoły i krzesła oraz (niewidoczne gołym okiem) geny i neutrina –
lecz również abstrakcyjne liczby naturalne? Do nich przecież nie możemy mieć podobnego dostępu poznawczego jak do najbardziej nawet wyrafinowanych obiektów fizyki.

Matematyczny realizm (platonizm)

Matematyczny realista twierdzi, iż można podać rozsądne argumenty na rzecz istnienia takich bytów. Jego zdaniem matematyka opisuje istniejącą niezależnie od nas rzeczywistość. Jest to właśnie opis, a nie tworzenie owej rzeczywistości. Z punktu widzenia realisty matematyk jest raczej odkrywcą niż twórcą. Matematyk nie ma wpływu na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, zaś po każdej liczbie nieparzystej pojawia się parzysta. Jest tak również w wypadku bardziej wyrafinowanych obiektów niż liczby naturalne. Nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje w wyniku –1 (bo przecież x2 > 0, gdy tylko x ≠ 0 – to jest elementarz!). Niektóre z tych twierdzeń niesłychanie trudno jest udowodnić, a z niektórymi problemami matematycy zmagają się od stuleci i wciąż nie wiedzą, jak jest naprawdę. Wierzą jednak, że rozwiązanie takiego otwartego problemu matematycznego nie ma charakteru „towarzyskiej czy politycznej umowy” – te pytania mają obiektywną odpowiedź, która po prostu czeka na swoje odkrycie.

Nominalizm

Przeciwnik realisty – czyli nominalista – odrzuca istnienie obiektów matematycznych. Uważa on, że wszelkie argumenty, jakie może sformułować realista, są mało przekonujące. Zdania matematyczne (takie jak „7 + 5 = 12”) mają w jego ocenie charakter prawd tylko konwencjonalnych: po prostu umawiamy się, że będziemy posługiwać się określonymi terminami w dany sposób – ale jest to pewnego rodzaju gra. Można powiedzieć: matematyka to szczególnego typu bajka, tyle że jej bohaterami nie są smoki i krasnoludki, lecz liczby naturalne (i bardziej złożone byty). Prawdziwość zdania matematycznego znaczy jedynie: „w ramach przyjętych konwencji pewne zdania przyjmujemy jako prawdziwe”.

Niektórzy autorzy wręcz porównują matematykę do swoistej „gry w udawanie”: udajemy, że istnieją liczby i że prawdziwe są pewne założenia dotyczące tych liczb. Mając do dyspozycji logikę, możemy wtedy udowodnić pewne twierdzenia – np. właśnie takie, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jednak o prawdziwości można mówić tylko w takim „udawanym” sensie.

Matematyczna gra pozorów?

Pojawia się naturalne pytanie: po co mielibyśmy uprawiać taką matematyczną grę pozorów, a ową matematyczną bajkę nazywać „królową nauk”? Otóż owe matematyczne fikcje są bardzo użyteczne. Jak wspomnieliśmy na początku, trudno wyobrazić sobie poważnie uprawianą naukę bez matematyki. Instrumentarium matematyczne jest podstawą fizyki, a niektórzy naukowcy sami niemalże nie wiedzą, czy zajmują się fizyką, czy matematyką… Np. zmiana w czasie jest opisywana za pomocą matematycznego pojęcia pochodnej. Aby racjonalnie oszacować szanse pewnego zdarzenia posługujemy się rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką. Okazuje się, że owe fikcje są kluczowe dla opisu świata fizycznego.

Matematyka w opisie świata

Tu pojawia się pewien problem, z którym musi się zmierzyć nie tylko nominalista, ale również realista. Dlaczego matematyka, która dotyczy: (a) abstrakcyjnych bytów matematycznych (jak chce platonik) lub też (b) konwencji terminologicznych lub po prostu fikcji (jak chce nominalista), tak dobrze stosuje się do opisu świata fizycznego? Platonik ma nieco mniejszy problem, może bowiem twierdzić, że matematyka w jakiś sposób odzwierciedla strukturę świata fizycznego. Nominalista musi ten fakt wytłumaczyć inaczej. Jeśli zdania o pochodnych mają taki sam status poznawczy, co zdania o smokach, to dlaczego rachunek różniczkowy jest podstawą fizyki, a „smokologia” nie znajduje żadnego zastosowania? Jeszcze innym problemem nominalisty jest praktyka matematyczna i wspomniane już wcześniej powszechne wśród matematyków poczucie swoistej „twardości” danych matematycznych. Nie ma tu miejsca na negocjacje, na decyzje o charakterze „politycznym”…

Podsumowanie

Pozwólmy sobie tutaj na pewną spekulację. Przypuśćmy, że cała ludzkość wymarła, a następnie pojawią się nowe istoty o umysłach racjonalnych. Czy owe racjonalne istoty utworzyłyby naszą matematykę, czy może jakąś zupełnie inną? Czy również dowiedziałyby się, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych? A może stworzyłyby jakąś zupełnie inną matematykę?

Oczywiście, sygnalizuję tu tylko problemy. Niezależnie jednak od tego, do jakich rozwiązań skłania się Czytelnik, warto podkreślić, że w ramach filozoficznych rozważań dotyczących matematyki można jasno przedstawić klasyczne problemy filozoficzne, sformułować je w jasny sposób – i przy okazji postawić nowe, ciekawe pytania. Mówiąc językiem żołnierskim, filozofia matematyki jest znakomitym poligonem, na którym można testować wielkie pytania filozoficzne.


Krzysztof Wójtowicz – ukończył studia matematyczne na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz studia doktoranckie w Instytucie Filozofii UW, gdzie uzyskał stopień doktora (1998) oraz doktora habilitowanego (2004) i profesora nauk humanistycznych (2013). Zajmuje się filozofią matematyki, jego dorobek naukowy obejmuje cztery pozycje książkowe oraz około 90 artykułów.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Malwina Adaszek

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy