Artykuł Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Jak istnieją liczby?

Co mamy na myśli, mówiąc, że jakieś twierdzenie matematyczne jest prawdziwe? Zgodnie z klasyczną koncepcją prawdy oznacza to po prostu, że jest ono zgodne z rzeczywistością. Czym jednak może być owa rzeczywistość, o której orzekają zdania matematyczne? O czym mówią zdania „2 + 2 = 4” czy „Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych”? Jakiej rzeczywistości dotyczą?

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2017 nr 3 (15), s. 15–16. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Rzeczywistość matematyczna?

Z pew­no­ścią nie jest to rze­czy­wi­stość przy­po­mi­na­ją­ca świat fizycz­ny. Obiek­ty takie jak licz­by natu­ral­ne z pew­no­ścią nie przy­po­mi­na­ją krze­seł i sto­łów. Są byta­mi abs­trak­cyj­ny­mi – a pod­sta­wo­wa cha­rak­te­ry­sty­ka obiek­tów abs­trak­cyj­nych jest taka, iż nie są one zlo­ka­li­zo­wa­ne w cza­sie i prze­strze­ni. Nie mają więc sen­su pyta­nia „Gdzie jest dzi­siaj licz­ba 5?” albo „Czy licz­ba π (pi) zmie­ni­ła w cią­gu ostat­nich 24 godzin swo­je miej­sce poby­tu?”. Obiek­ty abs­trak­cyj­ne – jeśli ist­nie­ją – ist­nie­ją w inny spo­sób lub – mówiąc facho­wo – mają inny sta­tus ontyczny.

Czy jed­nak pogląd, iż takie obiek­ty ist­nie­ją, ma sens? Zdro­wy roz­są­dek pod­po­wia­da nam, że ist­nie­ją sto­ły i krze­sła, a wia­ra w rze­tel­ność naukow­ców – że ist­nie­ją tak­że geny i neu­tri­na. Na jakiej jed­nak pod­sta­wie mie­li­by­śmy sądzić, że ist­nie­ją nie tyl­ko (widzial­ne) sto­ły i krze­sła oraz (nie­wi­docz­ne gołym okiem) geny i neutrina –
lecz rów­nież abs­trak­cyj­ne licz­by natu­ral­ne? Do nich prze­cież nie może­my mieć podob­ne­go dostę­pu poznaw­cze­go jak do naj­bar­dziej nawet wyra­fi­no­wa­nych obiek­tów fizyki.

Matematyczny realizm (platonizm)

Mate­ma­tycz­ny reali­sta twier­dzi, iż moż­na podać roz­sąd­ne argu­men­ty na rzecz ist­nie­nia takich bytów. Jego zda­niem mate­ma­ty­ka opi­su­je ist­nie­ją­cą nie­za­leż­nie od nas rze­czy­wi­stość. Jest to wła­śnie opis, a nie two­rze­nie owej rze­czy­wi­sto­ści. Z punk­tu widze­nia reali­sty mate­ma­tyk jest raczej odkryw­cą niż twór­cą. Mate­ma­tyk nie ma wpły­wu na to, że liczb pierw­szych jest nie­skoń­cze­nie wie­le, zaś po każ­dej licz­bie nie­pa­rzy­stej poja­wia się parzy­sta. Jest tak rów­nież w wypad­ku bar­dziej wyra­fi­no­wa­nych obiek­tów niż licz­by natu­ral­ne. Nie ist­nie­je licz­ba rze­czy­wi­sta, któ­ra pod­nie­sio­na do kwa­dra­tu daje w wyni­ku –1 (bo prze­cież x2 > 0, gdy tyl­ko x ≠ 0 – to jest ele­men­tarz!). Nie­któ­re z tych twier­dzeń nie­sły­cha­nie trud­no jest udo­wod­nić, a z nie­któ­ry­mi pro­ble­ma­mi mate­ma­ty­cy zma­ga­ją się od stu­le­ci i wciąż nie wie­dzą, jak jest napraw­dę. Wie­rzą jed­nak, że roz­wią­za­nie takie­go otwar­te­go pro­ble­mu mate­ma­tycz­ne­go nie ma cha­rak­te­ru „towa­rzy­skiej czy poli­tycz­nej umo­wy” – te pyta­nia mają obiek­tyw­ną odpo­wiedź, któ­ra po pro­stu cze­ka na swo­je odkrycie.

Nominalizm

Prze­ciw­nik reali­sty – czy­li nomi­na­li­sta – odrzu­ca ist­nie­nie obiek­tów mate­ma­tycz­nych. Uwa­ża on, że wszel­kie argu­men­ty, jakie może sfor­mu­ło­wać reali­sta, są mało prze­ko­nu­ją­ce. Zda­nia mate­ma­tycz­ne (takie jak „7 + 5 = 12”) mają w jego oce­nie cha­rak­ter prawd tyl­ko kon­wen­cjo­nal­nych: po pro­stu uma­wia­my się, że będzie­my posłu­gi­wać się okre­ślo­ny­mi ter­mi­na­mi w dany spo­sób – ale jest to pew­ne­go rodza­ju gra. Moż­na powie­dzieć: mate­ma­ty­ka to szcze­gól­ne­go typu baj­ka, tyle że jej boha­te­ra­mi nie są smo­ki i kra­sno­lud­ki, lecz licz­by natu­ral­ne (i bar­dziej zło­żo­ne byty). Praw­dzi­wość zda­nia mate­ma­tycz­ne­go zna­czy jedy­nie: „w ramach przy­ję­tych kon­wen­cji pew­ne zda­nia przyj­mu­je­my jako prawdziwe”.

Nie­któ­rzy auto­rzy wręcz porów­nu­ją mate­ma­ty­kę do swo­istej „gry w uda­wa­nie”: uda­je­my, że ist­nie­ją licz­by i że praw­dzi­we są pew­ne zało­że­nia doty­czą­ce tych liczb. Mając do dys­po­zy­cji logi­kę, może­my wte­dy udo­wod­nić pew­ne twier­dze­nia – np. wła­śnie takie, że ist­nie­je nie­skoń­cze­nie wie­le liczb pierw­szych. Jed­nak o praw­dzi­wo­ści moż­na mówić tyl­ko w takim „uda­wa­nym” sensie.

Matematyczna gra pozorów?

Poja­wia się natu­ral­ne pyta­nie: po co mie­li­by­śmy upra­wiać taką mate­ma­tycz­ną grę pozo­rów, a ową mate­ma­tycz­ną baj­kę nazy­wać „kró­lo­wą nauk”? Otóż owe mate­ma­tycz­ne fik­cje są bar­dzo uży­tecz­ne. Jak wspo­mnie­li­śmy na począt­ku, trud­no wyobra­zić sobie poważ­nie upra­wia­ną naukę bez mate­ma­ty­ki. Instru­men­ta­rium mate­ma­tycz­ne jest pod­sta­wą fizy­ki, a nie­któ­rzy naukow­cy sami nie­mal­że nie wie­dzą, czy zaj­mu­ją się fizy­ką, czy mate­ma­ty­ką… Np. zmia­na w cza­sie jest opi­sy­wa­na za pomo­cą mate­ma­tycz­ne­go poję­cia pochod­nej. Aby racjo­nal­nie osza­co­wać szan­se pew­ne­go zda­rze­nia posłu­gu­je­my się rachun­kiem praw­do­po­do­bień­stwa i sta­ty­sty­ką. Oka­zu­je się, że owe fik­cje są klu­czo­we dla opi­su świa­ta fizycznego.

Matematyka w opisie świata

Tu poja­wia się pewien pro­blem, z któ­rym musi się zmie­rzyć nie tyl­ko nomi­na­li­sta, ale rów­nież reali­sta. Dla­cze­go mate­ma­ty­ka, któ­ra doty­czy: (a) abs­trak­cyj­nych bytów mate­ma­tycz­nych (jak chce pla­to­nik) lub też (b) kon­wen­cji ter­mi­no­lo­gicz­nych lub po pro­stu fik­cji (jak chce nomi­na­li­sta), tak dobrze sto­su­je się do opi­su świa­ta fizycz­ne­go? Pla­to­nik ma nie­co mniej­szy pro­blem, może bowiem twier­dzić, że mate­ma­ty­ka w jakiś spo­sób odzwier­cie­dla struk­tu­rę świa­ta fizycz­ne­go. Nomi­na­li­sta musi ten fakt wytłu­ma­czyć ina­czej. Jeśli zda­nia o pochod­nych mają taki sam sta­tus poznaw­czy, co zda­nia o smo­kach, to dla­cze­go rachu­nek róż­nicz­ko­wy jest pod­sta­wą fizy­ki, a „smo­ko­lo­gia” nie znaj­du­je żad­ne­go zasto­so­wa­nia? Jesz­cze innym pro­ble­mem nomi­na­li­sty jest prak­ty­ka mate­ma­tycz­na i wspo­mnia­ne już wcze­śniej powszech­ne wśród mate­ma­ty­ków poczu­cie swo­istej „twar­do­ści” danych mate­ma­tycz­nych. Nie ma tu miej­sca na nego­cja­cje, na decy­zje o cha­rak­te­rze „poli­tycz­nym”…

Podsumowanie

Pozwól­my sobie tutaj na pew­ną spe­ku­la­cję. Przy­pu­ść­my, że cała ludz­kość wymar­ła, a następ­nie poja­wią się nowe isto­ty o umy­słach racjo­nal­nych. Czy owe racjo­nal­ne isto­ty utwo­rzy­ły­by naszą mate­ma­ty­kę, czy może jakąś zupeł­nie inną? Czy rów­nież dowie­dzia­ły­by się, że ist­nie­je nie­skoń­cze­nie wie­le liczb pierw­szych? A może stwo­rzy­ły­by jakąś zupeł­nie inną matematykę?

Oczy­wi­ście, sygna­li­zu­ję tu tyl­ko pro­ble­my. Nie­za­leż­nie jed­nak od tego, do jakich roz­wią­zań skła­nia się Czy­tel­nik, war­to pod­kre­ślić, że w ramach filo­zo­ficz­nych roz­wa­żań doty­czą­cych mate­ma­ty­ki moż­na jasno przed­sta­wić kla­sycz­ne pro­ble­my filo­zo­ficz­ne, sfor­mu­ło­wać je w jasny spo­sób – i przy oka­zji posta­wić nowe, cie­ka­we pyta­nia. Mówiąc języ­kiem żoł­nier­skim, filo­zo­fia mate­ma­ty­ki jest zna­ko­mi­tym poli­go­nem, na któ­rym moż­na testo­wać wiel­kie pyta­nia filozoficzne.


Krzysz­tof Wój­to­wicz — Ukoń­czył stu­dia mate­ma­tycz­ne na Wydzia­le Mate­ma­ty­ki, Infor­ma­ty­ki i Mecha­ni­ki UW oraz stu­dia dok­to­ranc­kie w Insty­tu­cie Filo­zo­fii UW, gdzie uzy­skał sto­pień dok­to­ra (1998) oraz dok­to­ra habi­li­to­wa­ne­go (2004) i pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych (2013). Zaj­mu­je się filo­zo­fią mate­ma­ty­ki, jego doro­bek nauko­wy obej­mu­je czte­ry pozy­cje książ­ko­we oraz oko­ło 90 artykułów.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF

< Powrót do spi­su tre­ści nume­ru.

Ilu­stra­cja: Mal­wi­na Adaszek

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy