Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 6–8. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
Paradoksy Zenona znane są (lub powinny być znane) wszystkim osobom mającym styczność z filozofią. Czy wystrzelona z łuku strzała dotrze do odległego o 100 m celu? Najpierw musi pokonać połowę drogi. Potem połowę tej połowy – a potem połowę pozostałego dystansu… i tak dalej. Tak więc zanim strzała dotrze do celu, musi pokonać nieskończenie wiele odcinków – a to chyba zajmie jej nieskończenie wiele czasu…? Dzisiaj nie mamy żadnych trudności ze zrozumieniem źródła owego paradoksu: po prostu suma nieskończonego szeregu może być skończona (Zenon nie miał odpowiedniego aparatu pojęciowego, aby ten fakt wyrazić). Z punktu widzenia matematyki nie ma tutaj żadnej zagadki – mimo to jednak pojawia się uczucie niedosytu. Czy matematyczna formalizacja rzeczywiście ujmuje wszystkie ważne aspekty sprawy?
Rozważmy bardziej współczesny przykład, tzw. lampy Thompsona. Wyobraźmy sobie, że jest godzina 12.00, lampa jest włączona, i że od tej chwili aż do godziny 13.00 dokonujemy pewnych manewrów z lampą. O 12.30 ją wyłączamy. O 12.45 włączamy ponownie (zostało 15 min do 13.00). O 12.52 i 30 s wyłączamy… i tak dalej: zawsze, kiedy minie połowa czasu od ostatniej czynności, zmieniamy stan lampy. Oczywiście im bliżej 13.00, tym częściej musimy sięgać do przełącznika. Pytanie brzmi: czy o 13.00 lampa będzie włączona czy wyłączona? Zaś „metapytanie” brzmi: czy to pytanie ma sens?
Nieskończoność potencjalna i aktualna
Pojęcie nieskończoności oczywiście ma swoją matematyczną reprezentację i – mówiąc z pewną przesadą – ciekawa matematyka zaczyna się dopiero tam, gdzie w jakiś sposób wkracza nieskończoność. Jest nawet popularna książka o tytule Oswajanie nieskończoności, która matematykę właśnie tak przedstawia.
Co to znaczy, że jakiś zbiór obiektów jest nieskończony? Jednym z najprostszych obiektów matematycznych są liczby naturalne: 0, 1, 2, 3… Oczywiście wiemy, że nie istnieje największa liczba naturalna: jak dużej liczby N byśmy nie mieli, możemy pomyśleć liczbę N + 1, czyli o jeden większą. A więc zbiór liczb naturalnych jest na pewno potencjalnie nieskończony: zawsze można go powiększyć, dodać nowy element. Podobna intuicja towarzyszy myśleniu o prostej: jak długiego kawałka prostej byśmy nie mieli, zawsze możemy „dokleić” do niego jeszcze dodatkowy metr.
Pojęcie potencjalnej versus aktualnej nieskończoności znane jest od dawna. Ujmując je intuicyjnie, powiemy, że zbiór potencjalnie nieskończony to taki zbiór, który można powiększać i powiększać, a ten nigdy się nie przepełni. Jednak to znaczy też, że nigdy nie będziemy go być może mieć „w całości naraz” – na tym właśnie polega owa potencjalność. Bardziej ambitne zadanie to badanie zbiorów aktualnie nieskończonych – czyli takich, które traktujemy jako dane już w całości.
Równoliczność zbiorów nieskończonych
Pomyślmy o zbiorze liczb naturalnych: 0, 1, 2, 3, 4… – i o zbiorze liczb parzystych: 0, 2, 4, 6, 8… Każde dziecko powie, że liczb naturalnych jest dwa razy więcej niż parzystych. Rzeczywiście – jeśli z liczb naturalnych wyrzucimy co drugą (czyli 50% – tu matematyków przepraszam za oczywiste nadużycie pojęcia 50%…), to zostaną akurat liczby parzyste. Czyli parzystych jest dokładnie połowa. A liczby podzielne przez cztery: 0, 4, 8, 12, 16…? Wydaje się ich jeszcze o połowę mniej.
Takie intuicje są trochę zawodne w wypadku zbiorów nieskończonych. Pojawia się pytanie, jak porównywać zbiory nieskończone – i co to właściwie znaczy, że dwa zbiory nieskończone są tak samo liczne. Dobrym modelem matematyka badającego zbiory nieskończone jest dziecko składające skarpetki w pary. Nie musi umieć liczyć – nie musi stwierdzać, że jest ich np. po 17 albo po 244. Wystarczy, jeśli pogrupuje je w pary: każdej prawej skarpetce odpowiada dokładnie jedna lewa (i vice versa). Jeśli uda się każdemu elementowi zbioru A przypisać dokładnie jeden element zbioru B – w taki sposób, że każdy element zbioru B zostanie „trafiony”, to powiemy, że zbiory A i B są równoliczne. Technicznie powiemy, że istnieje bijekcja ze zbioru A na zbiór B.
Łatwo teraz zobaczyć, że zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych mają tyle samo elementów. Przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokładnie jednej liczby parzystej jest bardzo proste: liczbie n przypisujemy liczbę 2n. Obrazuje to tabelka:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
| 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | … |
Na podobnej zasadzie możemy ustalić równoliczność zbioru liczb naturalnych 0, 1, 2, 3… i całkowitych… Owe zbiory są przeliczalne: możemy je „ponumerować” liczbami naturalnymi.
Rozważmy nieco trudniejszy przykład: nieskończoną kartkę w kratkę. Przypuśćmy, że petenci, którzy chcą się dostać do urzędu, zgromadzili się w nieskończonej poczekalni, gdzie jest nieskończenie wiele nieskończonych rzędów krzeseł. Czy można ich ustawić w kolejkę – tzn. każdej osobie wręczyć kolejny numer? Okazuje się, że tak – bileter musi po prostu wybrać sprytny sposób krążenia po owej poczekalni tak, aby w skończonym czasie dotrzeć do każdej osoby (przyjemność zaprojektowania trasy – jest ich bardzo wiele – pozostawiamy Czytelnikom).
Zbiór liczb naturalnych, parzystych i „nieskończona poczekalnia” pozornie różniły się rozmiarem, ale okazało się, że są tak samo liczne. Być może wszystkie zbiory nieskończone są takie same? Innymi słowy: czy jest jedna nieskończoność (czy raczej: jeden „rozmiar” nieskończoności), czy też może jest ich więcej?
Odpowiedź matematyka jest prosta: zbiory nieskończone występują w różnych rozmiarach. Łatwo udowodnić, że dla każdego zbioru nieskończonego (niezależnie od rozmiaru) można wskazać zbiór od niego większy (zob. więcej na ten temat na s. 14 tego numeru). Jest więc nieskończenie wiele nieskończoności… Ile? To już subtelny problem, nawet samo jego sformułowanie wymaga podjęcia pewnych decyzji dotyczących tego, jak ma wyglądać teoria, która owe nieskończoności będzie badać.
Pewnik wyboru
Na koniec wspomnijmy o pewnym filozoficznie ciekawym aksjomacie teorii mnogości, tzw. pewniku wyboru. Głosi on, że jeśli mamy jakąś rodzinę zbiorów, to istnieje taki zbiór, który z każdym ze zbiorów tej rodziny ma jeden element wspólny. Obrazowo: jeśli mamy duży worek (rodzina zbiorów), w którym są małe woreczki (zbiory) – np. zawierające jakieś drobiazgi, to można stworzyć taki zbiór, który będzie zawierał jeden drobiazg z każdego z woreczków. Jest oczywiste, że tak właśnie jest: po prostu z każdego z owych małych woreczków z dużego wora wyciągamy po jednym drobiazgu – i gotowe! W czym problem?
Oczywiście ewentualny problem tkwi w tym, że intuicje ze świata skończonego (małe woreczki w dużym worku) nie przenoszą się tak łatwo do świata nieskończonego. Pewnik wyboru głosi, że dla każdej rodziny niepustych zbiorów istnieje selektor – czyli zbiór, który „wybiera” z każdego zbioru owej rodziny jeden element. Nie widać tu nic groźnego. Okazuje się jednak, że korzystając z owego pewnika, możemy udowodnić zaskakujące twierdzenie Banacha-Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli: otóż kulę można podzielić na kilka kawałków w taki sposób, aby złożyć z nich dwie kule, każdą wielkości kuli wyjściowej. Wygląda na to, że wystarczy zdobyć malutką kulkę ze złota – i staniemy się bardzo bogaci!
Twierdzenie kłóci się z naszymi intuicjami – co wynika m.in. stąd, że owe „kawałki kuli” nijak się nie mają do kawałków jabłka krojonego nożem. Zdefiniowane są w bardzo techniczny i niekonstruktywny sposób. Twierdzenie jest dziwne – więc może lepiej pozbyć się tego pewnika wyboru, który prowadzi do takich dziwactw? Jednak wówczas ogromnie zubożylibyśmy matematykę – szeregu ważnych twierdzeń nie dałoby się udowodnić. Pewnik wyboru jest więc przyjmowany dość powszechnie.
Nieskończoność to pojęcie tajemnicze – i nawet jego matematyczna, formalna reprezentacja prowadzi do bardzo ciekawych zagadnień. A czy matematyka dobrze ujmuje istotę nieskończoności – to już inne pytanie.
Krzysztof Wójtowicz – ukończył studia matematyczne na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz studia doktoranckie w Instytucie Filozofii UW, gdzie uzyskał stopień doktora (1998), doktora habilitowanego (2004) i profesora nauk humanistycznych (2013). Zajmuje się filozofią matematyki. Jego dorobek naukowy obejmuje cztery pozycje książkowe oraz około 90 artykułów.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
< Powrót do spisu treści numeru.
Ilustracja: Florianen vinsi’Siegereith
Skomentuj