Maciej Hałapacz: „Wilk w owczej skórze”. Kiedy logika wyraża zbyt wiele?

Logika drugiego rzędu na pierwszy rzut oka wydaje się wspaniałym narzędziem – wzbogaca język logiki pierwszego rzędu w taki sposób, że możemy się wypowiadać nie tylko o obiektach jednostkowych, ale także o ich własnościach. Dzięki temu logika drugiego rzędu ma ogromną siłę wyrazu. Ta siła jednak nie przychodzi bez swojej ceny. Czy warto ją ponosić?

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 35–36. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Klasyczna logika pierwszego rzędu charakteryzuje się tym, że w jej języku mówimy o obiektach. Opisujemy indywidua za pomocą predykatów i kwantyfikatorów, niektórym nadajemy nazwy. Ten język może się wydawać jednak zbyt ubogi. Przykładowo, nie możemy w nim wyrazić zdania, że istnieje predykat, który można przypisać dwóm obiektom. Z tego powodu niektórzy zwracają się ku logice drugiego rzędu, która poza zmiennymi indywiduowymi, opisującymi obiekty jednostkowe, wprowadza zmienne drugiego rzędu, które odnoszą się do predykatów. Predykaty, które są już w języku, traktuje jako nazwy. Tak więc w języku pierwszego rzędu może powstać zdanie: „Istnieje obiekt, do którego odnosi się predykat P” (symbolicznie „Ǝx(P(x))”), a w języku drugiego rzędu można ponadto napisać zdanie „Istnieje predykat taki, że istnieje obiekt, do którego ów predykat się odnosi” (symbolicznie „ƎXƎx(X(x))”).

Nadzwyczajna siła

Rozszerzenie języka logiki wydaje się bardzo korzystne. W logice drugiego rzędu możemy nie tylko wyrazić więcej zdań języka naturalnego, ale i scharakteryzować własności, które wykraczały poza zdolności logiki pierwszego rzędu. Przykładowo, równość (identyczność indywiduów) można wprowadzić w logice drugiego rzędu definicyjnie: dwa indywidua x i y są ze sobą równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego predykatu X x posiada X wtedy i tylko wtedy, gdy y posiada X. Siła wyrazu logiki drugiego rzędu nie zatrzymuje się na identyczności. Jest wiele różnych własności niewyrażalnych w logice pierwszego rzędu, które można wyrazić za pomocą tej drugiej. Kolejnym takim przykładem jest liczba obiektów, tj. istnienie w logice drugiego rzędu zdania, które mówi, że jest dokładnie przeliczalnie wiele obiektów. Wymieniać można bez końca: np. wyróżnić dobre uporządkowanie, ciągłość, skończoność oraz wiele, wiele więcej. Logika drugiego rzędu jest wobec tego bardzo silnym narzędziem dla filozofa, matematyka czy logika.

Gdzie jest haczyk?

Zastanówmy się, czym właściwie jest to, po czym kwantyfikuje logika drugiego rzędu. By to rozstrzygnąć, przyjrzyjmy się jeszcze raz zdaniom w języku pierwszego rzędu. W formule P(x) P reprezentuje predykat, przypisywany obiektowi x. W zdaniu: „Ɐx(x jest czerwony)”, a właściwie w formule po kwantyfikatorze, x zajmuje miejsce, które mogłaby zajmować jakaś nazwa pewnego obiektu. W logice drugiego rzędu podobnie traktujemy predykaty, co już zaznaczyłem wyżej: predykaty traktujemy jako nazwy. Co wobec tego nazywają owe symbole? Pierwszą nasuwającą się odpowiedzią jest ta, która została wspomniana we wstępie: predykaty odnoszą się do własności. Kwantyfikator „ⱯX” należy więc w tej interpretacji rozumieć jako „dla każdej własności X”. Tę odpowiedź dawał m.in. Gottlob Frege. Jednak Willard van Orman Quine, amerykański filozof, zwrócił uwagę na to, że nie jest to satysfakcjonujące rozwiązanie problemu. Dzieje się tak ze względu na fakt, że nie ma jasnych kryteriów identyczności dla własności – nie ma jasnego warunku, który by determinował, kiedy dwie własności są tak naprawdę jedną i tą samą. Dwie własności mogą przysługiwać dokładnie tym samym obiektom, a mimo to być dwiema różnymi własnościami. Nie da się ich więc rozróżnić na gruncie samej tylko logiki, co jest problematyczne. Z tego powodu niektórzy logicy decydowali się przyjąć, że logika drugiego rzędu kwantyfikuje po zbiorach – w końcu one mają jasne kryteria identyczności: dwa zbiory są jednym i tym samym zbiorem dokładnie wtedy, gdy mają te same elementy. W ten sposób – pod przykrywką predykatów – wprowadzamy do logiki pojęcie spoza niej (wzięte raczej z teorii mnogości, czyli teorii zbiorów) – pojęcie zbioru. Logika drugiego rzędu według Quine’a jest więc teorią mnogości w przebraniu. Nic więc dziwnego, że jest w stanie tak dużo powiedzieć nam o własnościach, które można wyrazić w teorii mnogości. Niewątpliwie jest to wada, czysta logika powinna być bowiem wolna od założeń jakiejkolwiek teorii.

Pod przebraniem

Filozoficzne rozważania Quine’a zdają się dobrze przekładać na to, jak działa logika drugiego rzędu. Jej nadzwyczajna siła wyrazu przychodzi z ogromną ceną: większość pożądanych własności logiki pierwszego rzędu nie przenosi się na logikę drugiego rzędu. Z ważniejszych – logika drugiego rzędu nie jest pełna wobec klasy swoich tzw. pełnych modeli – oznacza to, że jeśli jakieś zdanie jest prawdziwe we wszystkich pełnych modelach, to niekoniecznie wynika ono z aksjomatów. Badania tych modeli nie mają takiego zgrabnego połączenia z badaniami reguł wnioskowania, co utrudnia sprawę. Ponadto logika drugiego rzędu nie jest absolutna – istnieje takie zdanie w jej języku, które jest prawdziwe tylko wtedy, gdy hipoteza continuum (niezależna od aksjomatów teorii mnogości) jest prawdziwa. Brak absolutności to prawdopodobnie najmniej wygodna cecha logiki – co jak co, ale prawdy logiczne winny być absolutne, niezależne od czegokolwiek innego. Wszystko to wskazuje, że Quine miał rację. Faktycznie, większość logików pracuje dziś, korzystając raczej z logiki pierwszego rzędu niż drugiego. Istnieje jednak inne podejście do logiki drugiego rzędu, będące w stanie ją okiełznać. To ujęcie stosuje tzw. modele ogólne. W tym ujęciu logika drugiego rzędu jest rozumiana inaczej, dzięki czemu zachowuje wszystkie dobre własności logiki pierwszego rzędu za cenę obniżenia siły wyrazu do poziomu logiki pierwszego rzędu. Nie wydaje się więc prawdziwą logiką drugiego rzędu, ale jedynie logiką pierwszego rzędu w przebraniu.

Warto doczytać:

R. Urbaniak, Lekko stronnicze i nieodpowiedzialne wprowadzenie do filozofii analitycznej, Lublin 2016.
W. van Orman Quine, Philosophy of logic, Cambridge 1970.
G. Boolos, To be is to be a value of a variable (or to be some valueas of some variables), „The Journal of Philosophy” 1984, nr 81, s. 430–449.
M. Manzano, Extensions of first order logic, Cambridge 1996.
S. Shapiro, Foundations without foundationalism: a case for second-order logic, Nowy Jork 1991.

Maciej Hałapacz – absolwent filozofii na Uniwersytecie Wrocławskim, o specjalności filozofia nauki. Obecnie doktorant, prowadzący swoje badania w Katedrze Logiki i Metodologii Nauk UWr. Interesuje się logiką, filozofią matematyki, analityczną metafizyką i ontologią formalną. W wolnym czasie uwielbia grać w gry planszowe oraz w badmintona (choć nie jednocześnie)