Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 20–22. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
W jakimkolwiek obszarze poszukujemy nieskończoności, musimy odpowiedzieć na dwa pytania:
- Czym jest nieskończoność (a dokładniej: czego dotyczy w danej dziedzinie)?
- W jaki sposób jej istnienie mogłoby się przejawiać?
Rozpocznę od pytania pierwszego, jednak cały czas będę płynnie przechodził do drugiego, gdyż możliwość obserwacji wydaje się tu decydująca dla rozstrzygnięć ontologicznych. Formalizacja klasycznego pojęcia zbioru nieskończonego jako równolicznego z jakimś jego podzbiorem właściwym, zaproponowana przez Cantora, pokazuje, że możliwa jest niesprzeczna konstrukcja teoretyczna pozwalająca na: a) zdefiniowanie zbiorów nieskończonych, b) pokazanie, że tzw. paradoksy nieskończoności przestają być paradoksami w ramach tej konstrukcji, tzn. że nie prowadzą do sprzecznych wniosków. Tym samym (zależnie od nastawienia badacza) przezwyciężone lub uzgodnione zostają nasze intuicje dotyczące nieskończoności.
Nieskończoność wszechświata?
Zastanówmy się więc, do jakich obiektów fizycznych można byłoby taką formalizację zastosować. To, co w sposób naturalny przychodzi na myśl, to liczba obiektów (cząstek) we wszechświecie.
Jednak wszechświat skończony jest pod każdym względem zgodny z dostępnymi obserwacjami. W każdej konkretnej chwili czasu zawiera on skończoną liczbę cząstek (a przynajmniej barionów i leptonów). Co więcej, jeśli całkowita energia wszechświata jest skończona (a, ponownie, nie jest to niezgodne z obserwacjami, nawet jeśli z definicją energii są pewne trudności teoretyczne w wypadku oddziaływań grawitacyjnych), to zawiera on też tylko skończoną liczbę bozonów przenoszących oddziaływania. Oczywiście nie oznacza to, że liczba cząstek się nie zmienia, jednak wszystko wskazuje na to, że liczba ich jest zawsze skończona. Uzasadnia to horror infiniti odczuwany od czasów starożytnych w stosunku do nieskończoności aktualnej (zob. s. 6–7 tego numeru) i nie jest niczym nowym.
Niedoskonałość poznawcza
Można bronić istnienia zbiorów nieskończonych poprzez odwołanie się do niedoskonałości czy nieadekwatności naszych możliwości poznawczych wobec nieskończoności, tak jak czynili to np. Plotyn, Mikołaj z Kuzy (zob. s. 9), czy w najbardziej wyrafinowany sposób, Immanuel Kant. Nieskończoność istnieje, ale my ją poznajemy za pomocą tego, co mamy do dyspozycji, czyli tego, co jest skończone. A to ograniczenie poznawcze powoduje, że to, co widzimy, jest różne od tego, co faktycznie istnieje (platońskie idee Plotyna), lub że nie tolerujemy sprzeczności (Mikołaj z Kuzy), lub też dysponujemy tylko wrodzonymi kategoriami poznawczymi, niepozwalającymi wyzwolić się od pierwszej i drugiej antynomii czystego rozumu (Kant).
Jednak zgodnie z zasadą, że ciężar dowodu spoczywa na tym, kto twierdzi, a nie kto zaprzecza, należałoby jakoś uzasadnić istnienie zbiorów nieskończonych, a potem dopiero wskazywać, że nie możemy ich poznać w całej ich „nieskończoności”.
Osobliwości
Jest jednak pewien aspekt, na który warto zwrócić uwagę, a który mógłby dopuszczać aktualność nieskończoności. Otóż obiektami materialnymi (a więc bazą ontologiczną całej fizyki) są nie tylko cząstki materii, ale także pola. Te z kolei mogą przyjmować wartości nieskończone (mówimy wówczas o osobliwościach). Wystarczy przywołać prawo Coulomba dla dwóch naładowanych cząstek w wypadku, gdy odległość między nimi zmierza do zera.
Tu jednak, w oczywisty sposób, mamy do czynienia ze znaną i uznawaną przez Arystotelesa nieskończonością potencjalną. Podobny charakter mają osobliwości pola grawitacyjnego (czy, innymi słowy, geometrii czasoprzestrzeni) w postaci np. czarnych dziur. Równania dla odpowiednich pól (równania Maxwella czy równania Einsteina) dopuszczają osobliwości, co nie znaczy, że takie osobliwości występują (nie daje się przysunąć dwóch cząstek na odległość zerową, gdyż wymaga to nieskończonej energii). Nie jest też oczywiste, że prawa fizyki obowiązujące na „normalnych” dystansach są takie same, jak te, które dotyczą dystansów (czasowych, przestrzennych) bardzo małych. Zdajemy sobie sprawę, że poniżej „rozmiarów Plancka” fizyka, jaką znamy, raczej nie obowiązuje i do poprawnego opisu zjawisk w tym zakresie potrzebna jest np. (nieistniejąca dotychczas) teoria grawitacji kwantowej.
„Nieskończoność przez dzielenie” i „nieskończoność przez dodawanie”
Nieskończoność potencjalna pojawiła się w kwestiach dotyczących fizyki, a mianowicie w problemie ruchu, już w starożytności. Oba wyróżnione przez Arystotelesa, choć w zasadzie, według niego, niezbyt różniące się od siebie jej aspekty („nieskończoność przez dzielenie” i „nieskończoność przez dodawanie”) mogą być interesujące z punktu widzenia fizyki współczesnej. Problem nieskończonej podzielności jakiegoś obiektu na części (np. materialnego, ale też drogi przemierzanej przez Achillesa i „niedoścignionego” żółwia; zob. s. 8 tego numeru) to pierwszy aspekt. Ponieważ „nic nie stoi na przeszkodzie”, aby każdą z części, na którą w danej chwili podzielony został nasz obiekt (np. za pomocą ostrego narzędzia), dzielić dalej, w rzeczywistości obiekt składa się z nieskończonej liczby części, ergo jest nieskończonym zbiorem swoich części.
Nie ma raczej zasadniczych barier stawianych przez współczesną fizykę nieskończonej podzielności materii, jednak wyodrębnienie coraz mniejszych jej składników wymaga, jak się wydaje, coraz większych energii. Ponieważ nic nie wskazuje na to, że energia Wszechświata jest nieskończona, stawia to naturalną barierę możliwości (jeśli takowa w ogóle istnieje) „wyczerpywania elektronu w głąb”.
Aspekt drugi to np. problem dowolnej przedłużalności ruchu cząstki po krzywej geodezyjnej (najkrótszej linii w przestrzeni metrycznej łączącej dwa punkty). Jak wiadomo, możliwość taka zależy od geometrii wszechświata, jednak żadna cząstka nie przebiegła dotychczas od początku świata nieskończonej geodezyjnej.
W obu aspektach pojawia się, jak zawsze, gdy mówimy o „nieskończoności potencjalnej”, problem niesamodzielności tego pojęcia. Zacytujmy Cantora (1932, s. 404):
Jednak potencjalna nieskończoność nie jest w rzeczywistości żadną nieskończonością. […] w istocie ma [ona] jedynie pożyczoną rzeczywistość, ciągle wskazującą na jakąś nieskończoność aktualną, która w ogóle ją umożliwia.
Potrzebne założenie
Zaprezentowane rozmyślania nad nieskończonością w fizyce nabrały tu silnego charakteru matematycznego i logicznego. A to dlatego, że nie widać żadnych możliwości empirycznego sprawdzenia/wykazania, że jakiś konkretny obiekt fizyczny jest nieskończony z punktu widzenia rozmiaru czy ilości. Można więc skutecznie bronić tezy, że ontologia współczesnej fizyki nieskończoności ich nie wymaga (i, zgodnie z brzytwą Ockhama, nie powinniśmy zakładać ich istnienia), a jedynie matematyczny opis teoretyczny fizyki takie nieskończoności sztucznie wprowadza.
Jednak taki pogląd nie wydaje się praktyczny, bo, po pierwsze, odrzucenie nieskończoności matematycznych (niezależnie od tego, czy traktujemy je jako potencjalne czy aktualne) pozbawia nas w zasadzie całego aparatu fizyki teoretycznej (np. równań różniczkowych, geometrii rozmaitości, teorii grup ciągłych i wielu, wielu innych). Po drugie, wiele wyników (zgodnych z doświadczeniem), np. w fizyce statystycznej i termodynamice, fizyce przejść fazowych, uzyskujemy tylko przy założeniach takich jak „granica termodynamiczna” (liczba cząstek w układzie i jego objętość dążą do nieskończoności). To jednak są problemy mniej lub bardziej praktyczne. Istotne z punktu widzenia filozoficznego jest jednak, dlaczego matematyka posługująca się nieskończonościami (choćby w definicji ciągłości funkcji) miałaby się stosować do rzeczywistości, w której żadna nieskończoność nie występuje.
Powyższe rozważania nie miały na celu podania zdecydowanych odpowiedzi na problem istnienia i przejawów nieskończoności w fizyce. Traktować je raczej należy jako zachętę do rozmyślań nad kilkoma postawionymi problemami, z których najważniejszy to pytanie, czy można znaleźć empiryczne sposoby stwierdzenia, że coś w przyrodzie jest nieskończone, a jeśli nie, jak dać sobie radę z problemem stosowalności matematyki w fizyce.
Marek Kuś – prof. dr hab., fizyk. Pracownik Centrum Fizyki Teoretycznej PAN, gdzie pełnił rolę dyrektora w latach 2003–2006. Współtwórca Krajowego Centrum Informatyki Kwantowej w Gdańsku. W latach 2017–2020 dyrektor Międzynarodowego Centrum Ontologii Formalnej na Politechnice Warszawskiej. Jego zainteresowania naukowe dotyczą fizyki matematycznej, informatyki kwantowej oraz filozofii nauk przyrodniczych. Jest autorem ponad 150 prac z tych dziedzin.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
< Powrót do spisu treści numeru.
Ilustracja: Florianen vinsi’Siegereith
Skomentuj