Michał Walicki: Paradoksy logiki i logiki paradoksów

Sprzeczność stanowi klasyczny przypadek fałszu, którego negacja prowadzi do prawdy. Paradoks, nawet zanegowany, trudno jest określić jako prawdę lub fałsz. Jako zjawisko sprzeczne (para) z uznaną opinią (doxa) nadal stanowi wyzwanie dla logiki. Tekst sygnalizuje kluczowe nieklasyczne strategie ujęcia paradoksów logicznych, ograniczenia tych ujęć oraz ogólną strukturę takich paradoksów.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 16–18. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Logika klasyczna – ta, która leży najbliżej intuicji o poprawnym rozumowaniu i od której zaczyna się naukę logiki formalnej – opiera się na dwóch podstawowych zasadach: (1) każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, tertium non datur, oraz (2) żadne zdanie nie jest jednocześnie prawdziwe i fałszywe, non-contradictionis. Dotyczy to, rzecz jasna, tylko zdań oznajmujących, takich jak „Ziemia krąży wokół Słońca”, i nie obejmuje pytań czy rozkazów. Logika zajmuje się zdaniami, które posiadają wartość logiczną prawdy albo fałszu, bądź przynajmniej wydają się taką wartość posiadać. Niektóre zdania są oczywiste. „Ziemia jest sześcianem albo nie” to trywializm, ilustrujący zasadę (1). Ale są też zdania, z którymi logika ma duże trudności. Najsłynniejsze z nich to tzw. paradoks kłamcy: „To zdanie jest fałszywe”. Oznajmuje z pozoru niewinny fakt, jednak szybko okazuje się bardzo problematyczne. Jeśli zdanie jest prawdziwe, to znaczy, że jest fałszywe. Ale jeśli jest fałszywe, to jednak mówi prawdę, więc jest prawdziwe… i tak w nieskończoność. Logika, jak i intuicja, przestaje działać i zawiesza się niczym komputer. Tego rodzaju zagadki znane były już w starożytności – np. Epimenides miał w VI w. p.n.e. powiedzieć: „Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami”, będąc… Kreteńczykiem. Takie zdania to tzw. paradoksy semantyczne, dotyczące samej idei prawdy i fałszu. Były studiowane w średniowieczu (zwano je insolubilia), potem zapomniane, aż wróciły na poważnie w XX wieku. Dlaczego są tak problematyczne, a może wręcz groźne? Bo kwestionują fundamentalne zasady logiki.

Nie tylko prawda albo fałsz?

Skoro kłamca nie jest ani prawdziwy, ani fałszywy – może potrzebna jest trzecia wartość? W logikach trójwartościowych (zainicjowanych przez Jana Łukasiewicza ok. 1920 r.) można przypisać kłamcy coś w rodzaju paradoksalności lub bezsensowności. Ale tu pojawiają się nowe problemy. Weźmy takie zdanie: „To zdanie jest fałszywe albo Ziemia ma kształt kuli”. Ziemia faktycznie jest kulista, więc całe zdanie wydaje się prawdziwe – przynajmniej w jednej części. A jeśli „To zdanie…” odnosi się do całości? Jedne logiki uznają zdania z bezsensownymi częściami za bezsensowne, inne próbują zneutralizować takie części, uznając powyższe zdania za prawdziwe. Wszystko zależy od tego, jak zdefiniujemy prawdę oraz sensowność złożonych zdań w takiej logice. Nie ma jednej zasady, bo różne podejścia próbują rozwiązać różne problemy.

Nie ma też jednej optymalnej logiki trójwartościowej do wnioskowania w obecności paradoksów. Jednak taki wybór nie jest największym problemem. Jest nim raczej tzw. wzmocniony kłamca: „To zdanie nie jest prawdziwe”. Wydaje się, że nowa wartość logiczna – paradoks – załatwia sprawę. Ale jeśli zdanie jest paradoksalne, to mówi prawdę, więc nie jest paradoksalne? Wracamy do punktu wyjścia. Jeśli dodamy kolejną wartość, paradoks wyższego rzędu, ten sam problem powraca na następnym poziomie – to tzw. zemsta kłamcy.

Logiki wielowartościowe dały nowe narzędzia do analizy paradoksów, a mają też szersze zastosowania, np. w informatyce (gdzie trzecia wartość oznacza zwykle brak rezultatu nieskończonego obliczenia). Jednak w kontekście uniwersalnej logiki, w próbach uchwycenia ogólnych zasad naturalnego rozumowania, nie są one w pełni zadowalające.

A może zdanie może być i prawdziwe, i fałszywe?

Zamiast wprowadzać nowe wartości logiczne dialeteizm proponuje, aby uznać, że pewne zdania mogą być jednocześnie prawdziwe i fałszywe. Nazwa pochodzi od greckiego „di” (podwójnie) i „aletheia” (prawda). Formalnie dwie wartości przypisane jednocześnie jednemu zdaniu są po prostu jakąś nową, trzecią wartością logiczną. Jednak ten i poprzedni typ logik różnią się technicznie, a z perspektywy filozoficznej interpretacji ich rozróżnienie jest nie tylko uzasadnione, ale wręcz wskazane.

Zdanie kłamcy jest więc teraz i fałszywe, i prawdziwe. Jedną z korzyści dopuszczenia takich dialeteicznych sytuacji jest to, że dojście do sprzeczności nie zawiesza sensownego wnioskowania. W logice klasycznej obowiązuje mianowicie jeszcze trzecia zasada – (3) z fałszu wynika wszystko, ex falso quodlibet.

Jeśli mamy sprzeczność, możemy logicznie wywnioskować dowolne zdanie – np. „Ziemia jest sześcianem”. Dlatego w klasycznym rozumieniu, jeśli teoria prowadzi do sprzeczności, przestaje być użyteczna. Ale w codziennym myśleniu tak się nie dzieje. Mimo że kłamca jest sprzeczny, nie wyciągamy z tego wniosku, że „Ziemia jest sześcianem”. Logiki parakonsystentne, czyli „odporne na sprzeczności”, odrzucają tę zasadę. Na przykład logiki relewantne dbają o to, by jedno zdanie wynikało z drugiego sensownie, z zachowaniem jakiegoś związku znaczeniowego, a nie tylko formalnie. Dialeteizm też rezygnuje z tej zasady i dzięki temu może bliżej oddać intuicję, że kłamca to wyjątkowy przypadek.

Ale ten zysk ma swoją cenę. W dialeteizmie nie ma sprzeczności. Skoro zdanie A może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe, to podstawowa sprzeczność klasyczna, zdanie „A i nie A”, może być nie tylko fałszywe, ale także prawdziwe. Każde zdanie w takiej logice, które intuicyjnie zaklasyfikujemy jako fałszywe, może być również prawdziwe. Krótko mówiąc, nie ma zdań bezwarunkowo fałszywych, a to nie brzmi przekonująco. Obok dyskusyjnej tezy o istnieniu zdań, które są i prawdziwe, i fałszywe, jest to inny z powodów, dla których dialeteizm, obok zwolenników, ma też wielu sceptyków.

Źródło paradoksów?

Paradoks kłamcy jest przykładem samoodniesienia – zdanie mówi coś o sobie samym. To tzw. metajęzyk, czyli język, który mówi o języku. Samoodniesienie może powstać pośrednio, np. gdy ostatnia osoba w kolejce zarzuca kłamstwo pierwszej, a każda inna – osobie za sobą. Począwszy od dowolnej osoby X, odniesienie do następnej osiąga ostatnią i wraca do pierwszej, a od niej do X – jak w kole, gdzie każdy twierdzi, że sąsiad z prawej kłamie. Poprzez innych każdy odnosi się także do siebie.

W kole(jce) z trzema osobami, jeśli pierwsza mówi prawdę, to druga kłamie, więc ostatnia mówi prawdę, czyli pierwsza jednak kłamie. Jeśli zaś pierwsza kłamie, to druga mówi prawdę, trzecia kłamie, więc pierwsza nie kłamie. Analogiczny paradoks daje każda taka nieparzysta kolejka. W parzystej kłamią wszyscy na parzystych pozycjach lub wszyscy na nieparzystych – wybór jest dowolny. To nietypowe, ale nie paradoksalne, bo zachowuje zasady (1) i (2). Nie każde samoodniesienie to paradoks.

Przez wieki myślano natomiast, że każdy paradoks wymaga samoodniesienia, aż w 1993 r. Stephen Yablo pokazał inną możliwość. W nieskończonej kolejce każdy mówi: „Wszyscy za mną kłamią”. Jeśli wszyscy kłamią, to pierwszy mówi prawdę, czyli nie wszyscy kłamią. Jeśli jednak pierwszy mówi prawdę, to kłamią również wszyscy za drugim, a więc on też mówi prawdę, czyli pierwszy kłamie. Paradoks pojawia się, choć nie ma tu samoodniesienia. Odniesienie każdego do osób dalej w kolejce nie wraca, jak w skończonych kolejkach przez ostatnią osobę, ale odchodzi w nieskończoność.

Wiemy dziś, że w skończonych układach tylko samoodniesienie może prowadzić do paradoksów. Ale w nieskończoności, jak u Yablo, paradoks może pojawić się również bez samoodniesienia. Czy tylko odpowiednie uogólnienia tych dwóch form – negatywnego samoodniesienia lub nieskończonej kolejki nieograniczonych negacji – prowadzą do paradoksu? To nadal tylko hipoteza, ale bardzo ciekawa i prawdopodobna.

Do badania paradoksów potrzebujemy logiki, która umie wyrazić nie tylko same zdania, ale też coś o nich – czyli język z wbudowanym metajęzykiem. Takie systemy tworzy się zwykle, używając standardowych technik. Różne podejścia próbują zrozumieć, gdzie leży źródło paradoksu i jak uniknąć go w systemie zawierającym swój metajęzyk i pojęcie prawdy. W latach 30. XX w. Alfred Tarski pokazał, że w logice klasycznej ze standardowymi technikami jest to niemożliwe. Logiki nieklasyczne – wielowartościowe, dialeteiczne lub inne – próbują temu zaradzić, ale nie dają powszechnie uznawanej odpowiedzi. Być może potrzeba zupełnie nowego podejścia, zmiany samego sposobu, w jaki logika formalna reprezentuje swój język i operuje metapojęciami prawdy i fałszu.

Warto doczytać:

Beall Jc. (ed.), The Liar Paradox, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta et al. (eds), Stanford University, Fall 2023 edition, https://plato.stanford.edu/entries/liar-paradox/ (dostęp: 5.05.2025).
G. Malinowski, Łukasiewicz, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta et al. (eds), Stanford University, Spring 2010 edition, https://plato.stanford.edu/entries/lukasiewicz/#ManValLog (dostęp: 5.05.2025).
G. Priest, K. Tanaka, Z. Weber, Paraconsistent Logic, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, E. N. Zalta et al. (eds), Stanford University, Winter 2022 Edition, https://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/ (dostęp: 5.05.2025).

Michał Walicki – profesor nadzwyczajny w Instytucie Informatyki Uniwersytetu w Bergen, w Norwegii. Stosuje formalną logikę i teorię grafów do analizy struktur paradoksów i pojęcia prawdy, w szczególności, do rozszerzenia logiki klasycznej o reprezentację metajęzyka, która unika sprzeczności powstających w tradycyjnym podejściu. Poza pracą interesuje się historią i lubi jeździć na nartach. https://www4.uib.no/en/find-employees/Michal.Walicki