Michał Zawidzki: Logika modalna

Czy z faktu, że coś zachodzi, automatycznie wynika, że jest możliwe? A czy pojęcie możliwości jest „słabsze” niż pojęcie konieczności i – ewentualnie – jak mielibyśmy tę słabość rozumieć? Zanim skłonimy się ku odpowiedziom podpowiadanym przez intuicję, spróbujmy bliżej przyjrzeć się terminom „konieczność” i „możliwość” i nadać im ściślejszy sens.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 9–11. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Już starożytni stoicy, w szczególności Chryzyp z Soloi, próbowali definiować pojęcia, takie jak możliwość, niemożliwość, konieczność czy niekonieczność. I tak, stwierdzenie jest:

możliwe, jeśli może stać się prawdą i nic zewnętrznego temu nie przeszkadza;
niemożliwe, jeśli nie może stać się prawdą lub coś zewnętrznego temu przeszkadza;
konieczne, jeśli jest prawdą i nie może stać się fałszem lub coś zewnętrznego temu (staniu się fałszem) przeszkadza;
niekonieczne, jeśli może stać się fałszem i nic temu nie przeszkadza.

Takie definicje jednak tylko odsuwają problem – zamiast pytać, co znaczy „możliwe”, pytamy teraz, czym jest „zdolność do stania się prawdą”. Z kolei w średniowiecznej scholastyce wyróżniano trzy modi zdań ze względu na ich sposób odnoszenia się do rzeczywistości:

zdania problematyczne w postaci: „Jest możliwe, że A”;
zdania asertoryczne w postaci: „Jest tak, że A”;
zdania apodyktyczne w postaci: „Jest konieczne, że A”,

gdzie A jest jakimś zdaniem oznajmującym. Dla prawdziwości zdania problematycznego wystarczało, by A było choć raz prawdziwe; dla apodyktycznego – by nigdy nie było fałszywe. Stąd: jeśli „jest konieczne, że A” jest prawdziwe, to prawdziwe jest także A oraz „jest możliwe, że A”. Chociaż współczesna logika modalna swą nazwę zawdzięcza średniowiecznej scholastyce, jej formalny aparat wykształcił się w XX wieku. Impulsem były m.in. paradoksy implikacji materialnej. Okres warunkowy, zwany w logice implikacją („Jeśli A, to B”, gdzie A i B to zdania oznajmujące), jest podstawowym narzędziem logiki – rozumianej jako nauka o prawach wynikania (wniosków z przesłanek) – jako tegoż wynikania wcielenie. Istotnie, gdy wypowiadamy zdanie: „Jeśli A, to B”, mamy na myśli: „Z A wynika B”. Czym są zatem paradoksy implikacji materialnej? W klasycznej logice zdaniowej implikację, reprezentowaną tu przez symbol → (wyrażenie „A → B” odczytywać należy jako: „Jeśli A, to B”), definiuje następująca tabela prawdziwościowa:

A	B	A → B
fałsz	fałsz	prawda
fałsz	prawda	prawda
prawda	fałsz	fałsz
prawda	prawda	prawda

Pokazuje ona, jak wartość logiczna – a zatem prawdziwość lub fałszywość – implikacji zależy od wartości logicznych zdań ją tworzących. Rzut oka wystarczy, by zauważyć, że jeśli poprzednik jest fałszywy, implikacja jest prawdziwa niezależnie od wartości logicznej następnika. Także prawdziwy następnik gwarantuje prawdziwość całej implikacji bez względu na to, co dzieje się z poprzednikiem. W efekcie formalnie prawdziwe są np. zdania: „Jeśli Jan kocha Basię, to Warszawa jest stolicą Polski” lub „Jeśli Pilica jest dłuższa od Nilu, to 5 czerwca 2012 r. był czwartek”, mimo że w żadnej z nich następnik nie jest powiązany treściowo z poprzednikiem! Wydaje się to zupełnie nieintuicyjne, jako że wynikanie zdania B ze zdania A zakłada w powszechnym odczuciu, że A i B mają ze sobą coś wspólnego, np. odnosząc się do tego samego wycinka rzeczywistości. Wychodząc z założenia, że występujący w języku naturalnym okres warunkowy implikuje (nomen omen) istnienie treściowego powiązania pomiędzy jego składowymi, Clarence Irving Lewis zaproponował w 1918 r. logikę implikacji ścisłej, w której „A implikuje ściśle B” znaczyło: „Nie jest możliwe, by A było prawdziwe, a B fałszywe”, czyli symbolicznie: ∼◊(A & ∼B) (symbol „∼” należy czytać jako „nieprawda, że”, zaś „&” jako „oraz”). Spójnik ◊ („możliwe”) był tu więc pierwotny względem spójnika implikacji ścisłej, co czyniło system Lewisa logiką modalną. W 1932 r. Lewis i Langford przedstawili klasyfikację logik implikacji ścisłej, którym nadali nazwy od S1 do S5. Logikę z 1918 r. nazwano S3. Wprowadzono też spójnik konieczności (□), definiowalny przez ◊, i odwrotnie:

□A = ∼◊ ∼A,
◊A = ∼□ ∼A.

Związek łączący spójniki konieczności i możliwości nazywamy czasem dualnością. Brakującym ogniwem w dotychczasowej układance pozostaje przekonująca interpretacja pojęć konieczności i możliwości, a co za tym idzie – odpowiadających im spójników. Tu z pomocą przychodzi Saul Kripke (zob. s. 38), który w 1959 r., w wieku zaledwie 19 lat (sic!), opublikował artykuł Twierdzenie o pełności w logice modalnej, wprowadzając tzw. semantykę światów możliwych jako narzędzie interpretacji modalności.

Samo pojęcie „świata możliwego” nie było nowe – pojawiało się u Ockhama, Leibniza czy Wittgensteina. Kripke nawiązał szczególnie do ujęcia Wittgensteina, według którego świat składa się z atomowych faktów – niezależnych od siebie elementów rzeczywistości. Każdemu faktowi odpowiada zdanie atomowe – prawdziwe, gdy dany fakt zachodzi, i fałszywe w przeciwnym przypadku. Choć trudno wskazać konkretne przykłady takich faktów i odpowiadających im zdań (np. „Punkt a o współrzędnych czasoprzestrzennych (x, y, z, w) ma kolor czerwony” nie jest dobrą kandydaturą – dlaczego?), świat możliwy można rozumieć jako konfigurację faktów, które w nim zachodzą. W różnych światach możliwych mogą zachodzić różne fakty.

Kripke zaproponował, by do interpretacji modalności używać modelu składającego się z: (1) uniwersum światów możliwych, czyli zbioru zawierającego co najmniej jeden świat, (2) relacji dostępności – wskazującej, które światy są dostępne z których, oraz (3) wartościowania – określającego prawdziwość lub fałszywość zdań atomowych w poszczególnych światach możliwych, a więc nadającego tym światom treść.

Jak zatem rozumieć zdania: „Jest możliwe, że A” i „Jest konieczne, że A”? Ich prawdziwość oceniamy względem konkretnego świata możliwego – w jednym mogą być prawdziwe, w innym fałszywe. I tak:

w świecie możliwym s zdanie: „Jest możliwe, że A”, symbolicznie „◊A”, jest prawdziwe, jeżeli istnieje świat możliwy s’ dostępny ze świata s, w którym prawdziwe jest zdanie A;
w świecie możliwym s zdanie: „Jest konieczne, że A”, symbolicznie „□A”, jest prawdziwe, jeżeli we wszystkich światach możliwych dostępnych ze świata s prawdziwe jest zdanie A.

By lepiej unaocznić sobie powyższe definicje, spójrzmy na następujący model, w którego uniwersum znajdują się trzy światy możliwe, powiązane relacją dostępności symbolizowaną przez strzałkę:

W świecie możliwym s₀ zdanie: „Jest możliwe, że pada śnieg” jest prawdziwe, ponieważ istnieje świat możliwy dostępny ze świata s₀ – świat s₁ – w którym zdanie „Pada śnieg” jest prawdziwe. W s₀ natomiast zdanie: „Jest konieczne, że śnieg pada” jest fałszywe, ponieważ nie we wszystkich światach możliwych dostępnych z s₀ zdanie „Pada śnieg” jest prawdziwe – w świecie s₂ jest ono bowiem fałszywe. Co ciekawe, w świecie s₂ zdanie „Jest konieczne, że pada śnieg” jest prawdziwe (rzut oka na model powinien wystarczyć, by stwierdzić dlaczego), a mimo to zdanie „Pada śnieg” jest fałszywe.

Dzięki opisanym wyżej konstrukcjom, zwanym powszechnie modelami Kripkego, potrafimy już interpretować pojęcia możliwości i konieczności. Jak to często bywa, rozwiązanie jednego problemu rodzi kolejny – w tym przypadku pytanie: co właściwie znaczy, że jeden świat możliwy jest dostępny z innego?

W klasycznym ujęciu, w którym modalności są sposobami odnoszenia się zdań do rzeczywistości, trudno o satysfakcjonującą odpowiedź. Walorem semantyki Kripkego jest jednak jej elastyczność, która pozwala na alternatywne, bardziej uchwytne interpretowanie relacji dostępności jako np. relację następstwa czasowego albo zależność między stanami komputera przed i po wykonaniu programu.

To, na co mamy wpływ, to sam „kształt” relacji dostępności. W podstawowej logice modalnej – nazwanej na cześć Kripkego logiką K – nie nakłada się na nią żadnych warunków. Wiadomo jedynie, że w każdym świecie możliwym każdego modelu prawdziwe jest każde zdanie w postaci „□(A → B) → (□A → □B)” (gdzie „A” i „B” również są zdaniami).

Jeśli jednak chcielibyśmy, by relacja była np. zwrotna (czyli każdy świat był dostępny z samego siebie), należałoby zagwarantować prawdziwość zdań w postaci „A → ◊A”. W modelu ze zwrotną relacją z prawdziwości „□A” („Jest konieczne, że A”) w danym świecie wynika prawdziwość „A”, a z prawdziwości „A” – prawdziwość „◊A” („Jest możliwe, że A”) w tym samym świecie. To pozwala nam udzielić następującej odpowiedzi na pytania postawione w pierwszych dwóch zdaniach tekstu: Tak, o ile relacja dostępności jest zwrotna.

Na relację dostępności można nakładać także inne warunki, takie jak symetria, przechodniość, seryjność czy liniowość, dostosowując ją do konkretnego scenariusza, który chcemy uchwycić. Prowadzi to do bardziej złożonych systemów niż logika K – ich szczegółowe omówienie wykracza jednak poza ramy niniejszego tekstu.

Michał Zawidzki – adiunkt w Katedrze Logiki i Metodologii Nauk Uniwersytetu Łódzkiego. W latach 2020–2023 pracował na stanowisku adiunkta badawczego na Wydziale Informatyki Uniwersytetu Oksfordzkiego. Jego zainteresowania naukowe skupiają się na logikach nieklasycznych, systemach dedukcyjnych i automatycznym dowodzeniu twierdzeń, rozstrzygalności i złożoności obliczeniowej teorii logicznych. Poza murami uniwersytetu zajmują go muzyka (przede wszystkim jazzowa), literatura (piękna i gatunkowa), siatkówka i tenis.