Jeśli jutra ma nie być, to dziś można wszystko. Choć z drugiej strony może jeśli jutra ma nie być, to dziś nie można nic? I to, i to na raz być nie może – to byłby nonsens! A może może?

Słowa kluczowe: logika koneksywna, implikacja, sądy warunkowe

W zeszłym tygodniu Tytus, Romek i A’Tomek otworzyli sklep z kosmicznymi gadżetami. Było to w środę, więc w czwartek postanowiłem ich odwiedzić. Już z końca ulicy widać było jasno świecącą witrynę – ktoś musiał być w środku, przynajmniej jeden z nich. Szedłem z żoną i wspólnie zastanawialiśmy się, kto dziś (to jest w ostatni czwartek) pełni dyżur. Z ostatniej naszej rozmowy z chłopcami pamiętałem, że na prośbę A’Tomka Romek nie spuszcza oka z Tytusa i zawsze przy nim jest. Stąd wiadomo było choć tyle, że jeśli nie ma w sklepie Tytusa, to nie ma też Romka – jeśli Tytus gdzieś poszedł, Romek na pewno poszedł z nim. Po chwili zastanawiania się krzyknąłem energicznie do żony: w sklepie na pewno jest A’Tomek, udowodnię Ci, sama logika wystarczy! I tak rozpocząłem swój wywód.

Sprzeczne intuicje

Skoro chcę udowodnić, że w sklepie jest A’Tomek, to zrobię to znaną dobrze metodą dowodu nie wprost. Przyjmijmy zatem, że w sklepie nie ma A’Tomka – jest to nasze „założenie nie wprost”. A ponieważ wiemy, że choć jeden z trzech w sklepie na pewno jest, to przy naszym założeniu nie wprost możemy stwierdzić, że jeśli Tytusa nie ma sklepie, to Romek musi w nim być – ktoś musi pilnować sklepu! Ze wspomnianej wyżej prośby A’Tomka skierowanej do Romka wynika także, że jeśli Tytusa nie ma w sklepie, to Romka też tam nie ma – Romek zawsze jest z Tytusem. Uporządkujmy to, co do tej pory udało się ustalić. Przy założeniu, że A’Tomka w sklepie nie ma, możemy mieć pewność co do prawdziwości dwóch zdań warunkowych:

jeśli w sklepie nie ma Tytusa, to w sklepie jest Romek,
jeśli w sklepie nie ma Tytusa, to w sklepie nie ma też Romka.

Jednak, zdawałoby się, zdania te wzajemnie sobie przeczą: jeśli jedno z nich jest prawdziwe, drugie musi być fałszywe. A skoro (1) i (2) nie mogą być jednocześnie prawdziwe, to założenie, na którym bazowały, nie może być prawdą – gdyby bowiem prawdą było, to oba te zdania musiałyby być prawdziwe. A skoro założenie, że w sklepie nie ma A’Tomka, prawdą nie jest, to z pewnością A’Tomek w sklepie jest.

Niestety nie przekonało to mojej żony. A że uwielbia logiczne przekomarzanki, natychmiast postanowiła udowodnić, że się mylę. Przypomnijmy sobie tabelki prawdy dla spójników logicznych klasycznego rachunku zdań – powiedziała. Implikacja, czyli każdy sąd postaci „jeśli A, to B”, gdzie „A” i „B” oznaczają dowolne zdania, jest prawdziwy dokładnie wtedy, gdy jej poprzednik – czyli „A” – jest fałszywy lub następnik – czyli „B” – jest prawdziwy (gdy zachodzi jedno i drugie, implikacja też jest prawdziwa). Przypuśćmy dalej, że zdania (1) i (2) są jednocześnie prawdziwe – odrzućmy na moment intuicję, że zdania te przeczą sobie nawzajem. Gdyby prawdą było, że w sklepie nie ma Tytusa, to poprzednik każdej z implikacji (1)-(2) byłby prawdziwy, a więc, zgodnie z tabelką prawdy dla implikacji, ich następniki również byłyby prawdziwe. Weźmy, na przykład, zdanie (1). Ponieważ przyjęliśmy na tę chwilę, że jest ono prawdziwe, to znaczy, że fałszywy jest jego poprzednik lub prawdziwy jest jego następnik. Jednak gdyby w sklepie Tytusa nie było, poprzednik zdania (1) nie byłby fałszywy (bo byłby prawdziwy), a więc jego następnik byłby prawdziwy. Analogicznie dla zdania (2). Gdyby zatem w sklepie nie było Tytusa, a zdania (1) i (2) były prawdziwe, to prawdziwe musiałyby być następniki zdań (1) i (2), czyli zdania „w sklepie jest Romek”, „w sklepie nie ma Romka”. Jednak one razem prawdziwe być nie mogą – to chyba jasne. Zatem, jeśli bierzemy zdania (1) i (2) za prawdziwe, nie może być tak, że Tytusa nie ma w sklepie, czyli Tytus w sklepie jest.

Oboje z żoną zgadzaliśmy się co do tego, że sądy (1) oraz (2) wynikają z założenia, że A’Tomka nie ma w sklepie. Tutaj moje logiczne intuicje zbiegały się z logicznym wykształceniem mojej żony. Jednak na gruncie klasycznego rachunku zdań – wyjaśniała – ze zdań (1) i (2) wziętych razem wynika, że Tytus jest w sklepie, a zdania (1) i (2) wcale sobie nie przeczą. No i tutaj moje logiczne intuicje okazały się sprzeczne z samą logiką. To dopiero nielogiczne.

Różne implikacje

Stało się jasne, w czym się nie zgadzamy. Idzie o to, czy zdania (1) i (2) są wzajemnie sprzeczne. Łatwo zauważyć, że problem ten rozciąga się na wszystkie pary zdań: „Jeśli A, to B” i „Jeśli A, to nie‑B”. Ja twierdzę, że zdania takie są zawsze wzajemnie sprzeczne, ukochana żona – że mogą być niekiedy razem prawdziwe. Skąd ta różnica opinii? Możliwości są dwie: albo jedno z nas zwyczajnie się myli, albo rozumiemy pojęcie implikacji (a za tym wyrażenia postaci „jeśli A, to B”) na różne sposoby. Podążając za logiką klasyczną, małżonka utożsamia sens wyrażenia postaci „jeśli A, to B” z sensem wyrażenia „A → B”, gdzie „→” jest spójnikiem implikacji materialnej w logice klasycznej. Uważam jednak, że moje rozumienie implikacji – przynajmniej w obrębie wcześniej przedstawionego argumentu – nie jest tożsame z klasycznym, a więc nie jest błędne, tylko inne. Na poparcie słuszności rozumienia implikacji tak, by zdania (1) i (2) (oraz ich uogólnienia) były wzajemnie sprzeczne, podaję przykład pary zdań, które w niemal oczywisty sposób wydają się sprzeczne ze sobą:

(a) Jeśli upuszczę ten kubek, to spadnie on na ziemię,

(b) Jeśli upuszczę ten kubek, to nie spadnie on na ziemię.

Wszyscy doskonale wiemy, że (a) jest prawdą. Właśnie na tej podstawie, wydaje się, jesteśmy raczej skłonni uznać (b) za fałsz. Zatem nie mogą być one razem prawdziwe. Nie możemy zatem rozumieć tych zdań zgodnie z logiką klasyczną, ponieważ zdania te mogłyby być jednocześnie prawdziwe, gdyby ich poprzednik był fałszywy.

Rozważania te sugerują, że przy pewnym rozumieniu implikacji prawem logiki powinien być schemat:

A) jeśli prawdą jest, że jeśli A, to B, to nie jest prawdą, że jeśli A, to nie‑B.

Wynika stąd, oczywiście, że zdania „jeśli A, to B” i „jeśli A, to nie‑B” nie mogą być razem prawdziwe. Schemat A) jest w literaturze logicznej nazywany tezą Boecjusza. Jest z nią powiązany inny schemat logiczny zwany tezą Arystotelesa:

B) nie jest prawdą, że jeśli A, to nie‑A.

Są one sobie równoważne, tj. B) wynika z A) oraz A) wynika z B). Systemy logiczne, które zawierają jako prawa logiki tezę Arystotelesa oraz tezę Boecjusza, nazywane są logikami koneksywnymi. Żaden z obu schematów nie jest prawem logiki klasycznej. Nic zatem dziwnego, że tak silnie nie zgadzałem się z żoną. Gdy w końcu doszliśmy do sklepu czekało na nas nie lada zaskoczenie.

Słowniczek

System logiczny – zestaw schematów zdań zawsze prawdziwych oraz reguł wnioskowania

Klasyczny rachunek zdań – system logiczny, w którym przyjmuje się, iż każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, a spójniki logiczne opisywane są tabelkami prawdziwościowymi

Logika klasyczna – klasyczny rachunek zdań wzbogacony o rachunek kwantyfikatorów

Warto doczytać:

L. Carroll, A logical paradox, „Mind” 1894, Vol. 3, nr 11, s. 436–438.
J. Malinowski, Paradoks golibrody i implikacja koneksywna, „Ruch filozoficzny” 2019, Vol. 75, nr. 2, s. 109–115.
B. Stanosz, Wprowadzenie do logiki formalnej, Warszawa 2013.

Patryk Michalczenia – doktorant w Szkole Doktorskiej Filozofii Uniwersytetu Wrosławskiego. Naukowo interesuje się przede wszystkim logiką modalną i logikami nieklasycznymi. W wolnym czasie lubi spacerować po różnych lasach Wrocławia i nie tylko, a także bywa na siłowni.

Grafika: feepik

Prowadzenie portalu filozofuj.eu – finansowanie

Projekt dofinansowany ze środków budżetu państwa, przyznanych przez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach Programu „Społeczna Odpowiedzialność Nauki II”.