Artykuł

Rafał Urbaniak: Predatoryzacja logiki cz. 1

Z pozoru nudne matryce logiczne okazują się rzeczywiście nudne, ale przy okazji przydają się do rozwiązywania zagadek o Predatorach.

Zapisz się do naszego newslettera

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2015 nr 2, s. 41–44. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


1. Historia o Predatorach i Obcych

Po lat­ach zosta­je odnaleziony statek Nos­tro­mo. Do tego cza­su rozm­naża­ją się na nim dwie pop­u­lac­je: Obcy i Preda­to­ry. Lata prak­ty­ki pokaza­ły, że cho­ci­aż uda­je się skrzyżować Obcego z logikiem, Preda­to­ra z heglistą oraz heglistę z pilotem do telewiz­o­ra (dosta­jąc zawsze trze­ci dodatkowy kanał telewiz­yjny do dwóch ist­nieją­cych), to nie uda­je się skrzyżować Preda­to­ra z Obcym, więc pop­u­lac­je te rozm­naża­ją się raczej nieza­leżnie. Jako że wszys­t­kich logików i heglistów na Nos­tro­mo już dawno zjed­zono, a pilota od telewiz­o­ra nigdy na Nos­tro­mo nie było, wiemy też, że pop­u­lac­je te zachowu­ją względ­ną czys­tość rasową.

Podob­nie jak w poprzed­nim odcinku, trafi­a­ją się nam dość dzi­wne zlece­nia. Tym razem naszym obow­iązkiem jest sporządze­nie listy mieszkańców Nos­tro­mo. Nie jesteśmy szczegól­nie chęt­ni, aby na ten statek wchodz­ić i roz­maw­iać z mieszkań­ca­mi oso­biś­cie, bo czu­je­my dość osobli­we przy­wiązanie do naszych włas­nych kończyn. Wykonu­je­my więc roz­mowy tele­fon­iczne.

Jako że head­hunter, który zatrud­nił nas do tej pra­cy, był równie ucz­ci­wy i kom­pe­tent­ny jak niek­tóre komis­je zatrud­ni­a­jące pra­cown­ików naukowych na odległej planecie Zjem­ja, nie potrafimy po głosie odróżnić Preda­torów od Obcych, nie wspom­i­na­jąc o rozróżnie­niu ich płci (ogól­nie, Preda­to­ry i Obcy są dosyć postępowi i uży­wane przez nich formy gra­maty­czne nie pozwala­ją na ustal­e­nie płci oso­by, o której mowa). Na szczęś­cie, podob­nie jak niek­tórych szczęśli­w­ców na planecie Zjem­ja, nie moż­na nas ter­az zwol­nić z pra­cy i nie musimy się zbyt­nio tym prze­j­mować.

Wiemy, że każdy pokój mieszkalny na Nos­tro­mo jest zamieszki­wany przez dwa stworzenia. Poko­je mogą być koe­duka­cyjne. Wiemy, że Obcy z Preda­torem nie mogą mieć potomst­wa, ale to nie wpły­wa na ich wybór sposobu spędza­nia cza­su wol­nego.

Wiemy też, że Preda­to­ry zawsze mówią prawdę, a Obcy zawsze kłamią. Nie jest do koń­ca jasne dlaczego. Najbardziej pop­u­lar­na teo­ria jest taka, że Preda­to­ry wyz­na­ją religię głoszącą nade­jś­cie Ter­mi­na­to­ra, który ukarze je za każde kłamst­wo, a Obcy, którzy cza­sem mówili prawdę, nie przetr­wali eta­pu ewolucji, na którym trze­ba było dostać się na Nos­tro­mo, uda­jąc coś innego niż Obcego, na przykład owieczkę. Przekonu­jące robi­e­nie „beeee” było tu bard­zo ważne. Nieco mniej pop­u­lar­na teo­ria głosi, że regułę ustanow­ił jak­iś mani­ak zarządza­ją­cy wszechświatem, żeby pasowała mu do układanych zagadek.

ZAGADKA 1

Nat­u­ral­nie więc nasze roz­mowy tele­fon­iczne rozpoczy­namy od zadz­wonienia do poko­ju nr 42. Pytamy: kto miesz­ka w poko­ju? Preda­to­ry? Obcy? Nasz uprze­jmy rozmów­ca powia­da: jesteśmy obo­je Obcy­mi.

Dro­gi czytel­niku! Nie czy­taj jeszcze dalej. Najpierw włącz stop­er. Spróbuj w 2 min­u­ty ustal­ić, kto tak naprawdę miesz­ka w poko­ju 42. Odpowiedź uza­sad­nij.

2. Podejście zdroworozsądkowe

Moż­na do sprawy pode­jść zdroworozsąd­kowo i rozu­mować następu­ją­co:

a) Gdy­by nasz rozmów­ca był Preda­torem, było­by tak, jak mówi, a mówi, że obo­je są Obcy­mi, był­by więc Obcym, nie może więc być Preda­torem, a zatem jest Obcym.

b) Gdy­by również dru­gi mieszkaniec poko­ju 42 był Obcym, było­by tak, jak nasz rozmów­ca mówi, a zatem mówił­by prawdę, a zatem był­by Preda­torem. Ale już ustalil­iśmy, że Preda­torem nie jest. Dru­gi mieszkaniec poko­ju 42 nie może więc być Obcym, a zatem jest Preda­torem.

c) Odpowiedź więc brz­mi: nasz rozmów­ca jest Obcym mieszka­ją­cym z Preda­torem!

Ist­nieje jed­nak bardziej sys­tem­aty­czny sposób pode­jś­cia do prob­le­mu, który pole­ga na posłuże­niu się tzw. klasy­cznym rachunkiem zdań, i da nam ogól­ną metodę rozwiązy­wa­nia tego typu prob­lemów. Aby ją jed­nak wprowadz­ić, posłużyć się musimy pewną dawką nudy przyprós­zonej absur­dem.

3. Implikacja materialna

Pamię­tamy pewnie z poprzed­niego odcin­ka okresy warunk­owe (zda­nia typu „Jeżeli A, to B”, gdzie zdanie A jest poprzed­nikiem, a zdanie B następ­nikiem). Najprost­szą propozy­cją warunk­ów prawdzi­woś­ci takich zdań złożonych jest pomysł, wedle którego należy inter­pre­tować je jako imp­likację mate­ri­al­ną, tj. wyraże­nie, które jest fałszy­we tylko wtedy, gdy poprzed­nik jest prawdzi­wy, a następ­nik fałszy­wy, a prawdzi­we we wszys­t­kich innych przy­pad­kach.

Jak też już wspom­i­nal­iśmy w poprzed­nim odcinku, tego typu teo­ria wspier­ana jest przez intu­ic­je związane z obiecy­waniem. Na przykład, twój nowy szef może motywa­cyjnie powiedzieć:

Jeżeli trafnie ustal­isz pop­u­lację
Nos­tro­mo, nie wpuścimy cię 
na Nos­tro­mo jako pokarm,

co może­my nieco krócej zapisać:

Trafnie ustal­isz pop­u­lację
Nos­tro­mo → nie wpuścimy cię
na Nos­tro­mo jako pokarm.

Będziemy mieli powód, by mieć żal do sze­fa, jeżeli pomi­mo naszej rzetel­nej pra­cy i tak podrzu­ci nas na Nos­tro­mo, chcąc uniknąć płace­nia nam za zlece­nie. W pozostałych przy­pad­kach, gdy:

  • pomylimy się, ale szef i tak nas nie wpuś­ci na Nos­tro­mo,
  • pomylimy się i szef kon­sek­went­nie wpuś­ci nas (a nawet zmusi do wejś­cia) na Nos­tro­mo,
  • nie pomylimy się, a szef nie wpuś­ci nas na Nos­tro­mo,

nie będziemy mieli powodu do żalu (przy­na­jm­niej nie do sze­fa; opc­ja dru­ga może wywołać u nas pewne zas­muce­nie).

Dlat­ego też, dla imp­likacji mate­ri­al­nej w postaci A → B mamy następu­jące warun­ki prawdzi­woś­ci:

A B A → B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA

4. Negacja, koniunkcja, równoważność, alternatywa

Pode­jś­cie matem­aty­czne do naszego prob­le­mu wyma­ga też zrozu­mienia paru innych spójników (wyrażeń służą­cych do budowy bardziej złożonych zdań ze zdań prost­szych).

Po pier­wsze, potrze­bu­je­my negacji, którą czy­tamy nie jest tak, że lub niepraw­da, że, a zapisu­je­my jako ¬. Jej rola jest pros­ta: ze zda­ni­a­mi prawdzi­wy­mi tworzy zda­nia fałszy­we, a ze zda­ni­a­mi fałszy­wy­mi tworzy zda­nia prawdzi­we:

¬ A
PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA

Potrze­bu­je­my też koni­unkcji, czy­tanej jako i lub oraz, a zapisy­wanej sym­bol­em ∧, która tworzy zdanie prawdzi­we z dwoma zda­ni­a­mi prawdzi­wy­mi, a zdanie fałszy­we z dwoma zda­ni­a­mi, z których co najm­niej jed­no jest fałszy­we.

B A ∧ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

Przy­da się też nam równoważność, czy­tana jako wtedy i tylko wtedy, gdy, a zapisy­wana za pomocą sym­bolu ↔, która tworzy zdanie prawdzi­we z dwoma zda­ni­a­mi o tej samej wartoś­ci log­icznej (czyli albo zarazem prawdzi­wy­mi, albo zarazem fałszy­wy­mi) i tworzy zdanie fałszy­we z dwoma zda­ni­a­mi o różnej wartoś­ci log­icznej.

A B A ↔ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA

Wresz­cie, dla porząd­ku, wymieńmy też spójnik alter­naty­wy, czy­tany jako lub albo albo, i zapisy­wany zwyk­le sym­bol­em ∨. Tworzy on z dwoma zda­ni­a­mi zdanie prawdzi­we, gdy tylko przy­na­jm­niej jed­no z nich jest prawdzi­we, a tworzy z dwoma zda­ni­a­mi zdanie fałszy­we, tylko gdy oba są fałszy­we.

A B A ∨ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

5. Logika w akcji

Dobrze, ale co to wszys­tko ma wspól­nego z ZAGADKĄ 1? Umówmy się, że P1 to skrót zda­nia mówiącego, że nasz rozmów­ca jest Preda­torem, a P2 skrót zda­nia mówiącego, że współlokator(ka) naszego rozmów­cy z poko­ju 42 jest Preda­torem.

Nasz rozmów­ca mówi: „Obo­je jesteśmy Obcy­mi”. Jako że na Nos­tro­mo żyją tylko Preda­to­ry i Obcy, to znaczy: „Ja (rozmów­ca) nie jestem Preda­torem oraz mój(a) współlokator(ka) nie jest Preda­torem”. Za pomocą naszych skrótów może­my to zaś zapisać jako:

P1) ∧ (¬P2)

Co więcej, wiemy, że jest tak, jak nasz rozmów­ca mówi, wtedy i tylko wtedy, gdy on sam jest Preda­torem (bo tylko Preda­to­ry mówią prawdę):

P1 ↔ [(¬P1) ∧ (¬P2)]

W jakich warunk­ach taka równoważność może być prawdzi­wa, biorąc pod uwagę to, co powiedzieliśmy o równoważnoś­ci, negacji i koni­unkcji? Rozpiszmy wszys­tkie opc­je dla tak zbu­dowanej for­muły. Zaczni­jmy od wyp­isa­nia wszys­t­kich czterech kom­bi­nacji dla P1 i P2.

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

Następ­nie, obróćmy wartoś­ci dla negacji (wytłuśćmy kolum­ny, na które patrzymy, wylicza­jąc):

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ

Kole­jno, wiemy, że koni­unkc­ja będzie prawdą tylko, gdy oba jej człony będą prawdą:

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ

Wresz­cie, ocenić może­my równoważność, patrząc, czy wartoś­ci w kolum­nie pier­wszej i w kolum­nie piątej zgadza­ją się ze sobą:

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ

Jedyny więc przy­padek, w którym równoważność, o której wiemy, że jest prawdzi­wa, może być prawdzi­wa, to sytu­ac­ja, gdy P1 jest fałszem (a więc nasz rozmów­ca jest Obcym), a P2 prawdą (a więc miesz­ka on z Predatorem(ką)), tak jak i intu­icyjnie wcześniej ustalil­iśmy.

Oczy­wiś­cie, dojś­cie do tego eta­pu chwilę nam zajęło, i nie jest jasne, dlaczego robi­e­nie tego w ten sposób miało­by być lep­sze od rozu­mowa­nia intu­icyjnego. Ale zajęło nam to chwilę, bo po drodze musieliśmy wyjaśnić aparaturę, a lep­sze od intu­icyjnego jest dlat­ego, że jak się tej aparatu­ry nauczymy, mamy bardziej ogól­ną metodę pod­chodzenia do tego typu prob­lemów.

6. Zadanie

Dzwon­imy więc do następ­nego poko­ju o numerze 42 (wszys­tkie poko­je mają, z oczy­wistych powodów, numer 42). Tam w odpowiedzi na nasze pytanie o skład mieszkańców poko­ju słyszymy: „Ja jestem Obcym i mieszkam z Preda­torem”.

Dro­gi czytel­niku!
1. Wyp­isz for­mułę ana­log­iczną do poprzed­niej, ale dla tej odpowiedzi.

2. Rozpisz i przelicz cztery możli­we wartoś­ciowa­nia, usta­la­jąc, kto miesz­ka w poko­ju.


[Pod­powiedź u dołu strony].

Dla porząd­ku podamy for­mułę, którą trze­ba było sprawdz­ić:

P1 ↔ [(¬P1) ∧ P2]

Sprawdz­imy ją także za pomocą tabel­ki (zami­ast PRAWDA pisząc 1, zami­ast FAŁSZ pisząc 0):

P1 [(¬ P1)  P2]
1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0

Jedy­na opc­ja, przy której równoważność może być prawdzi­wa, to opc­ja ostat­nia, w której zarówno P1, jak i P2 są fałszy­we. A zatem pokój zamieszkany jest przez Obcych.

I wszys­tko zapowiadało się dobrze. Łat­wa pra­ca, mechan­iczne pro­ce­dury… Ale sprawy miały się niedłu­go skom­p­likować. W jaki sposób? Dowiemy się w kole­jnej częś­ci.


Rafał Urba­ni­ak – Jest logikiem i filo­zofem. Ukończył stu­dia mag­is­ter­skie w Gdańsku, dok­torat w Cal­gary, habil­i­tację w Warsza­w­ie. Logi­ka go fas­cynu­je i chce się tą odrobiną zrozu­mienia logi­ki, jaką posi­a­da, podzielić.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka. W pełnej wer­sji graficznej moż­na go przeczy­tać > tutaj.

< Powrót do spisu treś­ci numeru 2/2015: Sens życia.

 

Najnowszy numer można nabyć od 3 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2019 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy