Artykuł Logika Predatoryzacja logiki

Rafał Urbaniak: Predatoryzacja logiki cz. 1

Z pozoru nudne matryce logiczne okazują się rzeczywiście nudne, ale przy okazji przydają się do rozwiązywania zagadek o Predatorach.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2015 nr 2, s. 41–44. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


1. Historia o Predatorach i Obcych

Po latach zostaje odnaleziony statek Nostromo. Do tego czasu rozmnażają się na nim dwie populacje: Obcy i Predatory. Lata praktyki pokazały, że chociaż udaje się skrzyżować Obcego z logikiem, Predatora z heglistą oraz heglistę z pilotem do telewizora (dostając zawsze trzeci dodatkowy kanał telewizyjny do dwóch istniejących), to nie udaje się skrzyżować Predatora z Obcym, więc populacje te rozmnażają się raczej niezależnie. Jako że wszystkich logików i heglistów na Nostromo już dawno zjedzono, a pilota od telewizora nigdy na Nostromo nie było, wiemy też, że populacje te zachowują względną czystość rasową.

Podobnie jak w poprzednim odcinku, trafiają się nam dość dziwne zlecenia. Tym razem naszym obowiązkiem jest sporządzenie listy mieszkańców Nostromo. Nie jesteśmy szczególnie chętni, aby na ten statek wchodzić i rozmawiać z mieszkańcami osobiście, bo czujemy dość osobliwe przywiązanie do naszych własnych kończyn. Wykonujemy więc rozmowy telefoniczne.

Jako że headhunter, który zatrudnił nas do tej pracy, był równie uczciwy i kompetentny jak niektóre komisje zatrudniające pracowników naukowych na odległej planecie Zjemja, nie potrafimy po głosie odróżnić Predatorów od Obcych, nie wspominając o rozróżnieniu ich płci (ogólnie, Predatory i Obcy są dosyć postępowi i używane przez nich formy gramatyczne nie pozwalają na ustalenie płci osoby, o której mowa). Na szczęście, podobnie jak niektórych szczęśliwców na planecie Zjemja, nie można nas teraz zwolnić z pracy i nie musimy się zbytnio tym przejmować.

Wiemy, że każdy pokój mieszkalny na Nostromo jest zamieszkiwany przez dwa stworzenia. Pokoje mogą być koedukacyjne. Wiemy, że Obcy z Predatorem nie mogą mieć potomstwa, ale to nie wpływa na ich wybór sposobu spędzania czasu wolnego.

Wiemy też, że Predatory zawsze mówią prawdę, a Obcy zawsze kłamią. Nie jest do końca jasne dlaczego. Najbardziej popularna teoria jest taka, że Predatory wyznają religię głoszącą nadejście Terminatora, który ukarze je za każde kłamstwo, a Obcy, którzy czasem mówili prawdę, nie przetrwali etapu ewolucji, na którym trzeba było dostać się na Nostromo, udając coś innego niż Obcego, na przykład owieczkę. Przekonujące robienie „beeee” było tu bardzo ważne. Nieco mniej popularna teoria głosi, że regułę ustanowił jakiś maniak zarządzający wszechświatem, żeby pasowała mu do układanych zagadek.

ZAGADKA 1

Naturalnie więc nasze rozmowy telefoniczne rozpoczynamy od zadzwonienia do pokoju nr 42. Pytamy: kto mieszka w pokoju? Predatory? Obcy? Nasz uprzejmy rozmówca powiada: jesteśmy oboje Obcymi.

Drogi czytelniku! Nie czytaj jeszcze dalej. Najpierw włącz stoper. Spróbuj w 2 minuty ustalić, kto tak naprawdę mieszka w pokoju 42. Odpowiedź uzasadnij.

2. Podejście zdroworozsądkowe

Można do sprawy podejść zdroworozsądkowo i rozumować następująco:

a) Gdyby nasz rozmówca był Predatorem, byłoby tak, jak mówi, a mówi, że oboje są Obcymi, byłby więc Obcym, nie może więc być Predatorem, a zatem jest Obcym.

b) Gdyby również drugi mieszkaniec pokoju 42 był Obcym, byłoby tak, jak nasz rozmówca mówi, a zatem mówiłby prawdę, a zatem byłby Predatorem. Ale już ustaliliśmy, że Predatorem nie jest. Drugi mieszkaniec pokoju 42 nie może więc być Obcym, a zatem jest Predatorem.

c) Odpowiedź więc brzmi: nasz rozmówca jest Obcym mieszkającym z Predatorem!

Istnieje jednak bardziej systematyczny sposób podejścia do problemu, który polega na posłużeniu się tzw. klasycznym rachunkiem zdań, i da nam ogólną metodę rozwiązywania tego typu problemów. Aby ją jednak wprowadzić, posłużyć się musimy pewną dawką nudy przyprószonej absurdem.

3. Implikacja materialna

Pamiętamy pewnie z poprzedniego odcinka okresy warunkowe (zdania typu „Jeżeli A, to B”, gdzie zdanie A jest poprzednikiem, a zdanie B następnikiem). Najprostszą propozycją warunków prawdziwości takich zdań złożonych jest pomysł, wedle którego należy interpretować je jako implikację materialną, tj. wyrażenie, które jest fałszywe tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, a prawdziwe we wszystkich innych przypadkach.

Jak też już wspominaliśmy w poprzednim odcinku, tego typu teoria wspierana jest przez intuicje związane z obiecywaniem. Na przykład, twój nowy szef może motywacyjnie powiedzieć:

Jeżeli trafnie ustalisz populację 
Nostromo, nie wpuścimy cię 
na Nostromo jako pokarm,

co możemy nieco krócej zapisać:

Trafnie ustalisz populację 
Nostromo → nie wpuścimy cię 
na Nostromo jako pokarm.

Będziemy mieli powód, by mieć żal do szefa, jeżeli pomimo naszej rzetelnej pracy i tak podrzuci nas na Nostromo, chcąc uniknąć płacenia nam za zlecenie. W pozostałych przypadkach, gdy:

  • pomylimy się, ale szef i tak nas nie wpuści na Nostromo,
  • pomylimy się i szef konsekwentnie wpuści nas (a nawet zmusi do wejścia) na Nostromo,
  • nie pomylimy się, a szef nie wpuści nas na Nostromo,

nie będziemy mieli powodu do żalu (przynajmniej nie do szefa; opcja druga może wywołać u nas pewne zasmucenie).

Dlatego też, dla implikacji materialnej w postaci A → B mamy następujące warunki prawdziwości:

A B A → B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA

4. Negacja, koniunkcja, równoważność, alternatywa

Podejście matematyczne do naszego problemu wymaga też zrozumienia paru innych spójników (wyrażeń służących do budowy bardziej złożonych zdań ze zdań prostszych).

Po pierwsze, potrzebujemy negacji, którą czytamy nie jest tak, że lub nieprawda, że, a zapisujemy jako ¬. Jej rola jest prosta: ze zdaniami prawdziwymi tworzy zdania fałszywe, a ze zdaniami fałszywymi tworzy zdania prawdziwe:

¬ A
PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA

Potrzebujemy też koniunkcji, czytanej jako i lub oraz, a zapisywanej symbolem ∧, która tworzy zdanie prawdziwe z dwoma zdaniami prawdziwymi, a zdanie fałszywe z dwoma zdaniami, z których co najmniej jedno jest fałszywe.

B A ∧ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

Przyda się też nam równoważność, czytana jako wtedy i tylko wtedy, gdy, a zapisywana za pomocą symbolu ↔, która tworzy zdanie prawdziwe z dwoma zdaniami o tej samej wartości logicznej (czyli albo zarazem prawdziwymi, albo zarazem fałszywymi) i tworzy zdanie fałszywe z dwoma zdaniami o różnej wartości logicznej.

A B A ↔ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA

Wreszcie, dla porządku, wymieńmy też spójnik alternatywy, czytany jako lub albo albo, i zapisywany zwykle symbolem ∨. Tworzy on z dwoma zdaniami zdanie prawdziwe, gdy tylko przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe, a tworzy z dwoma zdaniami zdanie fałszywe, tylko gdy oba są fałszywe.

A B A ∨ B
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

5. Logika w akcji

Dobrze, ale co to wszystko ma wspólnego z ZAGADKĄ 1? Umówmy się, że P1 to skrót zdania mówiącego, że nasz rozmówca jest Predatorem, a P2 skrót zdania mówiącego, że współlokator(ka) naszego rozmówcy z pokoju 42 jest Predatorem.

Nasz rozmówca mówi: „Oboje jesteśmy Obcymi”. Jako że na Nostromo żyją tylko Predatory i Obcy, to znaczy: „Ja (rozmówca) nie jestem Predatorem oraz mój(a) współlokator(ka) nie jest Predatorem”. Za pomocą naszych skrótów możemy to zaś zapisać jako:

P1) ∧ (¬P2)

Co więcej, wiemy, że jest tak, jak nasz rozmówca mówi, wtedy i tylko wtedy, gdy on sam jest Predatorem (bo tylko Predatory mówią prawdę):

P1 ↔ [(¬P1) ∧ (¬P2)]

W jakich warunkach taka równoważność może być prawdziwa, biorąc pod uwagę to, co powiedzieliśmy o równoważności, negacji i koniunkcji? Rozpiszmy wszystkie opcje dla tak zbudowanej formuły. Zacznijmy od wypisania wszystkich czterech kombinacji dla P1P2.

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA PRAWDA PRAWDA
PRAWDA PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ

Następnie, obróćmy wartości dla negacji (wytłuśćmy kolumny, na które patrzymy, wyliczając):

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ

Kolejno, wiemy, że koniunkcja będzie prawdą tylko, gdy oba jej człony będą prawdą:

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ

Wreszcie, ocenić możemy równoważność, patrząc, czy wartości w kolumnie pierwszej i w kolumnie piątej zgadzają się ze sobą:

P1 [(¬ P1)  P2)]
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ
FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA
FAŁSZ FAŁSZ PRAWDA FAŁSZ PRAWDA PRAWDA FAŁSZ

Jedyny więc przypadek, w którym równoważność, o której wiemy, że jest prawdziwa, może być prawdziwa, to sytuacja, gdy P1 jest fałszem (a więc nasz rozmówca jest Obcym), a P2 prawdą (a więc mieszka on z Predatorem(ką)), tak jak i intuicyjnie wcześniej ustaliliśmy.

Oczywiście, dojście do tego etapu chwilę nam zajęło, i nie jest jasne, dlaczego robienie tego w ten sposób miałoby być lepsze od rozumowania intuicyjnego. Ale zajęło nam to chwilę, bo po drodze musieliśmy wyjaśnić aparaturę, a lepsze od intuicyjnego jest dlatego, że jak się tej aparatury nauczymy, mamy bardziej ogólną metodę podchodzenia do tego typu problemów.

6. Zadanie

Dzwonimy więc do następnego pokoju o numerze 42 (wszystkie pokoje mają, z oczywistych powodów, numer 42). Tam w odpowiedzi na nasze pytanie o skład mieszkańców pokoju słyszymy: „Ja jestem Obcym i mieszkam z Predatorem”.

Drogi czytelniku!
1. Wypisz formułę analogiczną do poprzedniej, ale dla tej odpowiedzi.

2. Rozpisz i przelicz cztery możliwe wartościowania, ustalając, kto mieszka w pokoju.


[Podpowiedź u dołu strony].

Dla porządku podamy formułę, którą trzeba było sprawdzić:

P1 ↔ [(¬P1) ∧ P2]

Sprawdzimy ją także za pomocą tabelki (zamiast PRAWDA pisząc 1, zamiast FAŁSZ pisząc 0):

P1 [(¬ P1)  P2]
1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0

Jedyna opcja, przy której równoważność może być prawdziwa, to opcja ostatnia, w której zarówno P1, jak i P2 są fałszywe. A zatem pokój zamieszkany jest przez Obcych.

I wszystko zapowiadało się dobrze. Łatwa praca, mechaniczne procedury… Ale sprawy miały się niedługo skomplikować. W jaki sposób? Dowiemy się w kolejnej części.


Rafał Urbaniak – jest logikiem i filozofem. Ukończył studia magisterskie w Gdańsku, doktorat w Calgary, habilitację w Warszawie. Logika go fascynuje i chce się tą odrobiną zrozumienia logiki, jaką posiada, podzielić.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska. W pełnej wersji graficznej można go przeczytać > tutaj.

< Powrót do spisu treści numeru 2/2015: Sens życia.

 

Najnowszy numer można nabyć od 4 maja w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować