Roman Murawski: Nieskończoność w matematyce a teologia

Matematyka i teologia zdają się na pierwszy rzut oka zupełnie różnymi, niemającymi ze sobą nic wspólnego dziedzinami. Okazuje się jednak, że to nie do końca prawda.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 9–11. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Otóż pojęciem, które w jakimś sensie łączy obie dyscypliny, jest pojęcie nieskończoności. Z jednej strony odgrywa ono fundamentalną rolę w matematyce („wszystko, co matematyczne, jest przeniknięte nieskończonością” – Caleb Gattegno), z drugiej zaś nieskończoność to termin używany przez teologów (chrześcijańskich) do określania cech Absolutu (wszechwiedza/moc/dobroć/potęga itd.). Przyjrzyjmy się więc bliżej tym ewentualnym zależnościom – uczynimy to na przykładzie Mikołaja z Kuzy i Georga Cantora oraz tzw. imiesławia.

Mikołaj z Kuzy – nieskończoność matematyczną drogą ku Bogu

Mikołaj z Kuzy (1401–1464) był matematykiem i teologiem. Powodem i celem zajmowania się przezeń nieskończonością w matematyce była chęć zbliżenia się do nieskończoności Boga. Twierdził, że nieskończoności nie można poznać za pomocą zmysłów, nie może być ona też zrealizowana w żadnym procesie. Daje się jednak uchwycić w matematyce przez umysł za pomocą pojęć. Gdy n rośnie nieograniczenie, to wielokąty foremne o n bokach przypominają coraz bardziej okrąg. Wprawdzie wśród obiektów poznawalnych zmysłami nie istnieje żaden okrąg, ale istnieje on jako pojęcie w naszym umyśle. Zatem takie twory, jak wielokąt foremny i okrąg, pokrywają się w nieskończoności. Dopełnienie procesu, w szczególności więc jego granica, jest według Kuzańczyka najwyższą formą bytu, jest czymś wiecznym – każdy proces dąży bowiem do swego wypełnienia.

Należy podkreślić, że według Mikołaja z Kuzy nieskończoność nie zapożycza swego istnienia od skończoności. To, co skończone, nie jest w stanie zapewnić istnienia temu, co nieskończone. Przeciwnie – nieskończone wyprzedza w porządku ontologicznym to, co skończone. W konsekwencji to, co skończone, może zostać pojęte i zrozumiane tylko za pomocą tego, co nieskończone.

Georg Cantor – teoria mnogości „pod kontrolą” teologów

Innym przykładem wpływu teologii na matematykę może być teoria mnogości Georga Cantora (1845–1918). Najważniejszą częścią tej teorii były rozważania dotyczące zbiorów nieskończonych. Przełamawszy lęk przed antynomiami, Cantor uznał, że nieskończoność aktualna może być przedmiotem badania matematycznego. Wprowadził nieskończoną hierarchię nieskończonych liczb kardynalnych, a zatem nieskończoną hierarchię coraz to większych nieskończoności. Jego teoria nie spotkała się ze zrozumieniem ze strony matematyków. Przykładem negatywnej reakcji z ich strony może być Leopold Kronecker (1823–1891), który miał nawet nazwać Cantora uczącego o zbiorach nieskończonych „deprawatorem młodzieży”. Jedynym właściwie matematykiem, który zrozumiał i docenił prace Cantora, był Richard Dedekind (1831–1916). Zainteresowali się natomiast teorią mnogości… teologowie katoliccy, zwłaszcza neoscholastycy. Należeli do nich jezuici Tilman Pesch (1836−1899) i Joseph Hontheim (1858−1929), działający w Rzymie dominikanin Thomas Esser (1850−1926), włoski teolog franciszkanin Ignatius Jeiler (1823−1904) czy wreszcie kardynał Johann B. Franzelin (1816−1886), czołowy filozof jezuicki i jeden z głównych teologów papieskich Soboru Watykańskiego I. Z jednej strony mieli oni nadzieję, że teoria ta, będąca przecież teorią nieskończoności, dostarczy precyzyjnego narzędzia pozwalającego prowadzić badania teologiczne, w szczególności nad nieskończonością Boga. Z drugiej strony zaś podjęto próby pogodzenia Cantorowskich idei nieskończoności z doktryną katolicką. Cantor wsłuchiwał się w opinie teologów katolickich i bardzo mu zależało na tym, by być w zgodzie z oficjalną doktryną.

Pod ich wpływem Cantor dokonał pewnych korekt w swojej teorii. Na przykład obok rozróżnienia (za Arystotelesem) nieskończoności potencjalnej i aktualnej wyróżnił trzy rodzaje nieskończoności aktualnej: (1) nieskończoność absolutną (realizowaną w Bogu), (2) nieskończoność pojawiającą się w świecie zależnym i stworzonym oraz (3) nieskończoność, która może być pojmowana przez myśl in abstracto jako wielkość matematyczna. Przy tym nieskończoność absolutna jest wedle niego niepowiększalna, pozostałe zaś dwa rodzaje nieskończoności są powiększalne. W przypadku nieskończoności jako wielkości matematycznej Cantor mówił o pozaskończoności (Transfinitum), a nie o nieskończoności, i przeciwstawiał ją Absolutowi. Cantor był przekonany, że pozaskończoność nie tylko nic nie ujmuje naturze Boga, ale przeciwnie, dodaje jej blasku – realne istnienie pozaskończoności odbija bowiem nieskończoną naturę Boga. Uważał, że wszystkie zbiory istnieją jako idee w umyśle Boga. Broniąc się przed zarzutami panteizmu (formułował je kard. Franzelin), wprowadził też subtelne rozróżnienia w pojęciu nieskończoności (Infinitum aeternum increatum sive Absolutum zarezerwowane dla Boga i jego atrybutów oraz Infinitum creatum sive Transfinitum – dla stworzeń).

Imiesławie – nazywanie drogą ku poznaniu nieskończoności

Innym jeszcze przykładem powiązania matematyki z teologią mogą być związki tzw. imiesławia (ruch teologiczny w Rosyjskiej Cerkwi Prawosławnej podkreślający szczególne znaczenie kultu Imienia Bożego) i deskryptywnej teorii mnogości. Jego wyznawcami byli między innymi Pawieł Fłorienski (1882–1937), mnich i matematyk, oraz matematycy Dmitrij Jegorow (1869–1931) i Nikołaj Łuzin (1883–1950). W duchu imiesławia uznawali, że fakt nazwania może doprowadzić do kontaktu ze zbiorami nieskończonymi. Ta intuicja stała za rozwiniętą przez nich tzw. deskryptywną (opisową) teorią mnogości. Jest to dział teorii mnogości badający wewnętrzną budowę zbiorów zbudowanych ze zbiorów o prostej strukturze za pomocą pewnych prostych operacji, takich jak dopełnienie, suma, przekrój, rzutowanie.

Powyższe uwagi pokazują przykłady wzajemnych związków i oddziaływania matematyki i teologii w odniesieniu do problemu nieskończoności. Z jednej strony matematyczne rozważania nad nieskończonością traktowane bywają jako droga do poznania nieskończoności Boga, a z drugiej założenia i tezy teologiczne mogą wywierać wpływ na podejście i sposoby ujmowania nieskończoności w matematyce.

Roman Murawski – matematyk, logik, filozof i teolog, profesor zwyczajny; pracownik Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. Zajmuje się logiką i podstawami matematyki oraz filozofią i historią logiki i matematyki. Członek Komitetu Nauk Filozoficznych PAN. Hobby: muzyka barokowa, architektura romańska i gotycka. Strona www.