Artykuł Filozofia matematyki Filozofia religii

Roman Murawski: Nieskończoność w matematyce a teologia

Matematyka i teologia zdają się na pierwszy rzut oka zupełnie różnymi, niemającymi ze sobą nic wspólnego dziedzinami. Okazuje się jednak, że to nie do końca prawda.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 9–11. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Otóż poję­ciem, któ­re w jakimś sen­sie łączy obie dys­cy­pli­ny, jest poję­cie nie­skoń­czo­no­ści. Z jed­nej stro­ny odgry­wa ono fun­da­men­tal­ną rolę w mate­ma­ty­ce („wszyst­ko, co mate­ma­tycz­ne, jest prze­nik­nię­te nie­skoń­czo­no­ścią” – Caleb Gat­te­gno), z dru­giej zaś nie­skoń­czo­ność to ter­min uży­wa­ny przez teo­lo­gów (chrze­ści­jań­skich) do okre­śla­nia cech Abso­lu­tu (wszechwiedza/moc/dobroć/potęga itd.). Przyj­rzyj­my się więc bli­żej tym ewen­tu­al­nym zależ­no­ściom – uczy­ni­my to na przy­kła­dzie Miko­ła­ja z Kuzy i Geo­r­ga Can­to­ra oraz tzw. imiesławia.

Mikołaj z Kuzy – nieskończoność matematyczną drogą ku Bogu

Miko­łaj z Kuzy (1401–1464) był mate­ma­ty­kiem i teo­lo­giem. Powo­dem i celem zaj­mo­wa­nia się prze­zeń nie­skoń­czo­no­ścią w mate­ma­ty­ce była chęć zbli­że­nia się do nieskończo­ności Boga. Twier­dził, że nie­skoń­czo­no­ści nie moż­na poznać za pomo­cą zmy­słów, nie może być ona też zre­ali­zo­wa­na w żad­nym pro­ce­sie. Daje się jed­nak uchwy­cić w mate­ma­ty­ce przez umysł za po­mocą pojęć. Gdy n rośnie nie­ogra­ni­cze­nie, to wie­lo­ką­ty forem­ne o n bokach przy­po­mi­na­ją coraz bar­dziej okrąg. Wpraw­dzie wśród obiek­tów pozna­wal­nych zmy­sła­mi nie ist­nie­je żaden okrąg, ale ist­nie­je on jako poję­cie w naszym umy­śle. Zatem takie two­ry, jak wie­lo­kąt forem­ny i okrąg, pokry­wa­ją się w nie­skończoności. Dopeł­nie­nie pro­ce­su, w szcze­gól­no­ści więc jego gra­ni­ca, jest według Kuzań­czy­ka naj­wyższą for­mą bytu, jest czymś wiecz­nym – każ­dy pro­ces dąży bowiem do swe­go wypełnienia.

Nale­ży pod­kre­ślić, że według Miko­ła­ja z Kuzy nie­skoń­czo­ność nie zapo­ży­cza swe­go ist­nie­nia od skoń­czo­no­ści. To, co skoń­czo­ne, nie jest w sta­nie zapew­nić ist­nie­nia temu, co nie­skoń­czo­ne. Prze­ciwnie – nie­skoń­czo­ne wyprze­dza w porząd­ku onto­lo­gicz­nym to, co skoń­czo­ne. W kon­se­kwen­cji to, co skoń­czo­ne, może zostać poję­te i zro­zu­mia­ne tyl­ko za po­mocą tego, co nieskończone.

Georg Cantor – teoria mnogości „pod kontrolą” teologów

Innym przy­kła­dem wpły­wu teo­lo­gii na mate­ma­ty­kę może być teo­ria mno­go­ści Geo­r­ga Can­to­ra (1845–1918). Naj­waż­niej­szą czę­ścią tej teo­rii były roz­wa­ża­nia doty­czą­ce zbio­rów nie­skoń­czo­nych. Prze­ła­maw­szy lęk przed anty­no­mia­mi, Can­tor uznał, że nieskoń­czoność aktu­al­na może być przed­mio­tem bada­nia matematycz­nego. Wpro­wa­dził nie­skoń­czo­ną hie­rar­chię nieskoń­czonych liczb kar­dy­nal­nych, a zatem nie­skoń­czo­ną hie­rar­chię coraz to więk­szych nie­skoń­czo­no­ści. Jego teo­ria nie spo­tka­ła się ze zro­zu­mie­niem ze stro­ny mate­ma­ty­ków. Przy­kła­dem nega­tyw­nej reak­cji z ich stro­ny może być Leopold Kro­nec­ker (1823–1891), któ­ry miał nawet nazwać Can­to­ra uczą­ce­go o zbio­rach nie­skoń­czo­nych „depra­wa­to­rem mło­dzie­ży”. Jedy­nym wła­ści­wie mate­ma­ty­kiem, któ­ry zro­zu­miał i doce­nił pra­ce Can­to­ra, był Richard Dede­kind (1831–1916). Zain­te­re­so­wa­li się nato­miast teo­rią mno­go­ści… teo­lo­go­wie kato­lic­cy, zwłasz­cza neo­scho­la­sty­cy. Nale­że­li do nich jezu­ici Til­man Pesch (1836−1899) i Joseph Hon­the­im (1858−1929), dzia­ła­ją­cy w Rzy­mie domi­ni­ka­nin Tho­mas Esser (1850−1926), wło­ski teo­log fran­cisz­ka­nin Igna­tius Jeiler (1823−1904) czy wresz­cie kar­dy­nał Johann B. Fran­ze­lin (1816−1886), czo­ło­wy filo­zof jezu­ic­ki i jeden z głów­nych teo­lo­gów papie­skich Sobo­ru Waty­kań­skie­go I. Z jed­nej stro­ny mie­li oni nadzie­ję, że teo­ria ta, będą­ca prze­cież teo­rią nie­skoń­czo­no­ści, dostar­czy pre­cy­zyj­ne­go narzę­dzia pozwa­la­ją­ce­go pro­wa­dzić bada­nia teo­lo­gicz­ne, w szcze­gól­no­ści nad nie­skoń­czo­no­ścią Boga. Z dru­giej stro­ny zaś pod­ję­to pró­by pogo­dze­nia Can­to­row­skich idei nie­skoń­czo­no­ści z dok­try­ną kato­lic­ką. Can­tor wsłu­chi­wał się w opi­nie teo­lo­gów kato­lic­kich i bar­dzo mu zale­ża­ło na tym, by być w zgo­dzie z ofi­cjal­ną doktryną.

Pod ich wpły­wem Can­tor doko­nał pew­nych korekt w swo­jej teo­rii. Na przy­kład obok roz­róż­nie­nia (za Ary­sto­te­le­sem) nie­skoń­czo­no­ści poten­cjal­nej i aktu­al­nej wyróż­nił trzy rodza­je nie­skoń­czo­no­ści aktu­al­nej: (1) nie­skończoność abso­lut­ną (reali­zo­wa­ną w Bogu), (2) nieskończo­ność poja­wia­ją­cą się w świe­cie zależ­nym i stwo­rzo­nym oraz (3) nie­skoń­czo­ność, któ­ra może być poj­mo­wa­na przez myśl in abs­trac­to jako wiel­kość mate­ma­tycz­na. Przy tym nieskończo­ność abso­lut­na jest wedle nie­go nie­po­więk­szal­na, pozo­sta­łe zaś dwa rodza­je nie­skoń­czo­no­ści są powięk­szal­ne. W przy­pad­ku nieskończono­ści jako wiel­ko­ści mate­ma­tycz­nej Can­tor mówił o pozaskończo­ności (Trans­fi­ni­tum), a nie o nie­skoń­czo­no­ści, i prze­ciw­sta­wiał ją Abso­lu­to­wi. Can­tor był prze­ko­na­ny, że poza­skoń­czo­ność nie tyl­ko nic nie ujmu­je natu­rze Boga, ale prze­ciw­nie, doda­je jej bla­sku – real­ne ist­nie­nie poza­skoń­czo­no­ści odbi­ja bowiem nie­skoń­czo­ną natu­rę Boga. Uwa­żał, że wszyst­kie zbio­ry ist­nie­ją jako idee w umy­śle Boga. Bro­niąc się przed zarzu­ta­mi pan­te­izmu (for­mu­ło­wał je kard. Fran­ze­lin), wpro­wa­dził też sub­tel­ne roz­róż­nie­nia w poję­ciu nie­skoń­czo­no­ści (Infi­ni­tum aeter­num incre­atum sive Abso­lu­tum zare­zer­wo­wa­ne dla Boga i jego atry­bu­tów oraz Infi­ni­tum cre­atum sive Trans­fi­ni­tum – dla stworzeń).

Imiesławie – nazywanie drogą ku poznaniu nieskończoności

Innym jesz­cze przy­kła­dem powią­za­nia mate­ma­ty­ki z teo­lo­gią mogą być związ­ki tzw. imie­sła­wia (ruch teo­lo­gicz­ny w Rosyj­skiej Cer­kwi Pra­wo­sław­nej pod­kre­śla­ją­cy szcze­gól­ne zna­cze­nie kul­tu Imie­nia Boże­go) i deskryp­tyw­nej teo­rii mno­go­ści. Jego wyznaw­ca­mi byli mię­dzy inny­mi Pawieł Fło­rien­ski (1882–1937), mnich i mate­ma­tyk, oraz mate­ma­ty­cy Dmi­trij Jego­row (1869–1931) i Niko­łaj Łuzin (1883–1950). W duchu imie­sła­wia uzna­wa­li, że fakt nazwa­nia może dopro­wa­dzić do kon­tak­tu ze zbio­ra­mi nie­skoń­czo­ny­mi. Ta intu­icja sta­ła za roz­wi­nię­tą przez nich tzw. deskryp­tyw­ną (opi­so­wą) teo­rią mno­go­ści. Jest to dział teo­rii mno­go­ści bada­ją­cy wewnętrz­ną budo­wę zbio­rów zbu­do­wa­nych ze zbio­rów o pro­stej struk­tu­rze za pomo­cą pew­nych pro­stych ope­ra­cji, takich jak dopeł­nie­nie, suma, prze­krój, rzutowanie.

Powyż­sze uwa­gi poka­zu­ją przy­kła­dy wza­jem­nych związ­ków i oddzia­ły­wa­nia mate­ma­ty­ki i teo­lo­gii w odnie­sie­niu do pro­ble­mu nie­skoń­czo­no­ści. Z jed­nej stro­ny mate­ma­tycz­ne roz­wa­ża­nia nad nie­skoń­czo­no­ścią trak­to­wa­ne bywa­ją jako dro­ga do pozna­nia nie­skoń­czo­no­ści Boga, a z dru­giej zało­że­nia i tezy teo­lo­gicz­ne mogą wywie­rać wpływ na podej­ście i spo­so­by ujmo­wa­nia nie­skoń­czo­no­ści w matematyce.


Roman Muraw­ski – mate­ma­tyk, logik, filo­zof i teo­log, pro­fe­sor zwy­czaj­ny; pra­cow­nik Wydzia­łu Mate­ma­ty­ki i Infor­ma­ty­ki Uni­wer­sy­te­tu im. Ada­ma Mic­kie­wi­cza w Pozna­niu. Zaj­mu­je się logi­ką i pod­sta­wa­mi mate­ma­ty­ki oraz filo­zo­fią i histo­rią logi­ki i mate­ma­ty­ki. Czło­nek Komi­te­tu Nauk Filo­zo­ficz­nych PAN. Hob­by: muzy­ka baro­ko­wa, archi­tek­tu­ra romań­ska i gotyc­ka. Stro­na www.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Nata­lia Biesiada-Myszak

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy