Tomasz Jarmużek: Logika klasyczna i jej wybrani rywale

Jako że niniejszy numer „Filozofuj!” poświęcony jest alternatywom wobec logiki klasycznej, omówimy krótko cztery podejścia, stanowiące przykłady nieklasycznych, a dokładnie podklasycznych logik: logikę wielowartościową Ł3, logikę intuicjonistyczną IL, logikę relewantną oraz logikę parakonsystentną D2. Omówimy je, podając stojące za nimi motywacje oraz wskazując ich twórców. O podejściach tych można myśleć jako o konkurencyjnych wobec logiki klasycznej.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2025 nr 4 (64), s. 6–8. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Logiki i wnioskowania

Dany system logiki L zawsze stanowi kryterium poprawności wnioskowań. System logiki można rozumieć jako zbiór uporządkowanych par ⟨X, A⟩, gdzie X jest zbiorem przesłanek, natomiast A – wnioskiem. Jeśli dana para należy do L, to wnioskowanie zdania A na podstawie X jest poprawne na gruncie L. Jeśli nie należy, to nie jest ono poprawne. Oczywiście, mówiąc o przesłankach i wniosku, nie mamy na myśli zdań z języka polskiego, ale zdania w języku sztucznym, stworzonym do reprezentowania pewnych formalnych własności języków, w których ostatecznie wnioskujemy.

Klasyczna logika zdań

Klasyczną logikę zdań (KLZ) można uznać za logikę zdań utworzonych przy użyciu następujących funktorów: negacji (¬), koniunkcji (∧), alternatywy (∨), implikacji (→) oraz równoważności (↔). Zdania te budujemy ze zmiennych zdaniowych Var = {p, q, r, p₁, q₁, r₁, p₂, q₂, q₃, … }, wspomnianych funktorów oraz nawiasów. Zbiór wszystkich poprawnie zbudowanych zdań możemy określić jako zbiór formuł For, a jego elementy nazywamy formułami.

KLZ towarzyszą dwa założenia. Każde uwzględniane w jej ramach zdanie ma dokładnie jedną z dwóch wartości logicznych: jest prawdziwe lub fałszywe, co reprezentujemy poprzez użycie odpowiednio liczb 1 oraz 0. Drugie założenie to ekstensjonalność. Wartość logiczna zdań złożonych jest jednoznacznie wyznaczona przez wartość logiczną prostszych zdań, wchodzących w jej skład, oraz znaczenie funktorów, z których są zbudowane. Założenia te w praktyce są wyrażone przez funkcje wartościujące formuły (wartościowania) V : For −→ {0, 1}, które w przypadku KLZ dla dowolnych zdań A, B ∈ For spełniają warunki:

V (¬A) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy (w skrócie: wtw) V (A) = 0
V (A ∧ B) = 1 wtw V (A) = 1 & V (B) = 1
V (A ∨ B) = 1 wtw V (A) = 1 lub V (B) = 1
V (A → B) = 1 wtw V (A) = 0 lub V (B) = 1
V (A ↔ B) = 1 wtw V (A) = V (B).

Dana para ⟨X, A⟩ jest poprawnym wnioskowaniem z punktu widzenia KLZ (w skrócie: X |=_KLZ A), wtw dla każdego wartościowania V , jeśli dla każdej formuły B należącej do X, V (B) = 1, to V (A) = 1. Innymi słowy, wtw nie ma takiego wartościowania V, że przesłanki ze zbioru X są łącznie prawdziwe, a wniosek A fałszywy, względem wartościowania V.

Wśród wielu schematów poprawnych wnioskowań wg KLZ niektóre budziły dyskusje, stając się motywacją do ich modyfikacji lub odrzucenia. Wspomniane założenia stojące za KLZ również bywały modyfikowane.

Logika Ł3

W Hermeneutyce Arystoteles zadał słynne pytanie o wartość logiczną zdań mówiących o przyszłości. Zakładając, że każde rozważane zdanie jest prawdziwe lub fałszywe, albo wykluczamy zdania o przyszłości, albo zakładamy, że opisywana przez nie przyszłość już teraz jest zdeterminowana.

Pierwsze formalne rozwiązanie tego problemu zaproponował polski filozof i logik ze Lwowa, Jan Łukasiewicz. Do dwóch klasycznych wartości logicznych dodał trzecią wartość logiczną ½, którą przypisujemy zdaniom „niepewnym”. Funkcje wartościujące formuły mają teraz postać: V : For 7−→ {0, 1, ½}, a warunki, które muszą być spełnione dla dowolnych formuł A, B ∈ For, są opisane w specjalnych matrycach, rozszerzających znaczenie funktorów na przypadek trzeciej wartości logicznej.

A	¬ A
1	0
½	½
0	1

∧	1	½
1	1	½
½	½	½
0	0	0

∨	1	½	0
1	1	1	1
½	1	½	½
0	1	½	0

→	1	½	0
1	1	½	0
½	1	1	½
0	1	1	1

↔	1	½	0
1	1	½	0
½	½	1	½
0	0	½	1

Logika Ł3 jest zdefiniowana podobnie jak KLZ, tyle że rozważamy wszystkie funkcje wartościujące, wprowadzone przez Łukasiewicza. Wciąż jednak wartością logiczną, która ma być zachowana przy przejściu z przesłanek do wniosku, jest 1. Łatwo sprawdzić (co pozostawiamy czytelnikowi), że wiele schematów wnioskowań poprawnych w KLZ nie zachodzi w Ł3. Można np. przeanalizować prawo niesprzeczności ¬(p ∧ ¬p), rozważając wartościowanie, które literze p przypisuje wartość ½. W efekcie otrzymamy również ½, jednak każde poprawne wnioskowanie z punktu widzenia KLZ jest również poprawne w Ł3, ponieważ funkcje Łukasiewicza, zredukowane do zbioru {0, 1}, pokrywają się z funkcjami wartościującymi KLZ.

Logika Ł3 była prekursorem późniejszych systemów logik wielowartościowych, w tym logik rozmytych. Odkrycie logik wielowartościowych było jednym z wielu wielkich osiągnięć polskiej szkoły logiki w zakresie logiki i filozofii.

Logika intuicjonistyczna

Jednym z problemów, który nurtował od dawna filozoficznie zorientowanych matematyków, był problem poprawności dowodu matematycznego. Jedna z popularnych metod dowodu to metoda dowodu nie wprost. Dowody nie wprost były jednak kwestionowane przez niektórych matematyków, zwłaszcza związanych z nurtem konstruktywizmu matematycznego, stojącego w opozycji do platonizmu w matematyce. Konstruktywizm – zgodnie ze swoją nazwą – akcentował konstrukcję pojęć, obiektów matematycznych, na drodze konstruktywnego dowodu. Według tego podejścia fakt, że założenie ¬A prowadzi do sprzeczności, nie jest wystarczający, aby przyjąć A.

Filozofia ta znalazła swój wyraz w logice intuicjonistycznej (lub konstruktywnej). Jej prekursorem był Arend Heyting. Na wprowadzonym przez nas języku logikę intuicjonistyczną IL definiuje się poprzez zastosowanie semantyki możliwych światów lub algebraicznie – poprzez struktury zwane algebrami Heytinga. Nie będziemy wprowadzać tutaj tych semantycznych narzędzi, ogólna idea jest jednak podobna – przypisując formułom For zbiór interpretacji, definiuje się relację wynikania |=_IL poprzez zachowywanie elementu wyróżnionego niezależnie od interpretacji.

Ponownie, logika intuicjonistyczna IL jest logiką słabszą niż KLZ. Każdy zatem schemat rozumowania poprawny w IL jest poprawny w KLZ, ale nie odwrotnie. Dla przykładu, w IL nie zachodzą następujące wybrane prawa, które są bezpośrednio związane z dowodami nie wprost: p ∨ ¬p, ¬¬p → p.

Logika relewantna

Inna motywacja dla osłabienia KLZ pochodzi z obserwacji, że w wielu schematach rozumowań poprawnych z punktu widzenia logiki klasycznej funktor implikacji może łączyć zdania, które nie pozostają ze sobą w żadnym treściowym związku.

Kierując się tą motywacją, dwóch logików: Nuel Belnap oraz Alan Ross Anderson, we współpracy z szerszą grupą, napisało dwutomową pracę Entailment: The Logic of Relevance and Necessity. Głównym jej celem było sformułowanie nowego pojęcia implikacji oraz wynikania, które oddawałoby na poziomie formalnym oczekiwanie relewantnego związku pomiędzy zdaniami, a tym samym eliminowałoby wspomniane paradoksy.

Badania logików relewantnych doprowadziły do zdefiniowania całej klasy logik, zwanych właśnie logikami relewantnymi. Istnieją różne semantyczne podejścia do logik relewantnych, wszystkie są jednak dość skomplikowane. Wspomnijmy jedynie, że są one nadbudowane nad semantyką możliwych światów lub mają charakter semantyki algebraicznej. Pewnym problemem jest też filozoficzna motywacja dla tych semantyk. Nie jest bowiem jasne, czy proponowane semantyczne podejścia do logik relewantnych nie są jedynie matematycznie poprawne, ale jednocześnie nie odpowiadają żadnej filozoficznej intuicji.

Ciekawą własnością logik relewantnych jest własność dzielenia zmiennych, która polega na tym, że dla każdych dwóch formuł A, B ∈ For, jeśli formuła A → B jest tezą jakiejś logiki relewantnej, to formuły A oraz B muszą współdzielić chociaż jedną zmienną zdaniową. Wszystkie logiki relewantne są oczywiście istotnie słabsze od logiki klasycznej, a więc poprawne wg nich schematy rozumowań są również poprawne w KLZ.

Logika parakonsystentna D2

Jeszcze inną motywacją, przemawiającą za modyfikacją KLZ, jest problem nazywany czasami eksplozją. W logice klasycznej obowiązuje zasada ex falso [sequitur] quodlibet or ex contradictione [sequitur] quodlibet, która mówi, że ze sprzecznych przesłanek można wywnioskować cokolwiek. Zasada ta wyrażona w języku KLZ może przyjąć postać schematu rozumowania lub schematu formuły, jak przykładowe wzory:

{p, ¬p} |=_KLZ q
p ∧ ¬p → q
¬p ∧ p → q
p → (¬p → q)
¬p → (p → q)

Słowo „eksplozja” intuicyjnie oddaje sens zastosowania powyższych wzorów jako podstawy do wnioskowania ze sprzecznego zbioru przesłanek. W wyniku takiego zabiegu możemy poprawnie wywnioskować cały zbiór formuł For, czyli strywializować zakres naszej wiedzy. Sprzeczne zbiory przesłanek nie muszą być jednak poznawczo bezwartościowe, jeśli udałoby się w jakiś sposób odsiać ziarno od plew, czyli wywnioskować nietrywialne informacje, hamując jednocześnie eksplozję. Taki cel stawia sobie logika parakonsystentna.

Pierwszy formalny system logiki parakonsystentnej został zaproponowany przez Stanisława Jaśkowskiego już w 1948 r., a następnie rozwijany przez samego Jaśkowskiego oraz jego kontynuatorów.

Punktem wyjścia rozważań Jaśkowskiego była obserwacja, że sprzeczność przesłanek zazwyczaj pojawia się w sytuacji, kiedy dochodzi do dyskusji dwóch lub więcej osób. Ponieważ dyskutanci reprezentują zwykle różne punkty widzenia, ich poglądy mogą być ze sobą sprzeczne, a próba wyciągnięcia poprawnych wniosków z dyskusji może zakończyć się eksplozją. W celu zablokowania eksplozji Jaśkowski zaproponował, żeby głosy w dyskusji traktować tylko jako możliwe, tak samo jak ewentualne konkluzje z nich wynikające. Do zdefiniowania swojej parakonsystentnej logiki Jaśkowski potrzebował trzech elementów:

języka logiki modalnej, czyli języka logiki klasycznej, wzbogaconego o jednoargumentowy funktor możliwości ◊ (czytany jako: Jest możliwe, że…); zbiór formuł logiki modalnej określimy jako Form; jest to oczywiście właściwy nadzbiór For,
logiki modalnej określonej na Form; Jaśkowski użył systemu S5, ale w późniejszych pracach nad logikami parakonsystentnymi w stylu Jaśkowskiego używano słabszych systemów logiki modalnej,
funkcji przekształcającej formuły KLZ w formuły S5, zwanej translacją, T : For −→ For^m, która działa w następujący sposób:
– T(A) = A, jeśli A ∈ Var
– T(¬A) = ¬T(A)
– T(A ∗ B) = T(A) ∗ T(B),
jeśli ∗ ∈ {∧, ∨, ↔}
– T(A → B) = ◊T(A) → T(B).

Wynikanie jest przez Jaśkowskiego zdefiniowane następująco, z przesłanek A₁, … , A_n wynika formuła B wtw ◊T(A₁), … , ◊T(A_n) |=_S5 ◊T(B). System logiki wyznaczony w ten sposób został oznaczony jako D2.

Z racji motywacji, która bezpośrednio stała za pomysłem Jaśkowskiego, zarówno D2, jak i jego rozwinięcia zostały nazwane logikami dyskusyjnymi, stąd litera D w nazwie tych logik. Z kolei cyfra 2 w D2 ma podkreślać, że mamy do czynienia z logiką dwuwartościową.

Warto zauważyć, że w D2 nie zachodzą wskazane we wstępie wersje zasady eksplozji, wyłączają te, które są oparte na koniunkcji p ∧ ¬p → q oraz ¬p ∧ p → q, ponieważ po translacji formuły te przybierają postać ◊(p ∧ ¬p) → q oraz ◊(¬p ∧ p) → q i są tautologiami S5. W celu przezwyciężenia tego problemu Jaśkowski w kolejnej pracy zmienił funkcję translacji T w odniesieniu do formuł zbudowanych z koniunkcji na T(A ∧ B) = ◊T(A) ∧ T(B), co spowodowało odrzucenie obydwu formuł.

Idea Stanisława Jaśkowskiego scharakteryzowała polskie podejście do problemu parakonsystencji poprzez interpretację sprzecznych formuł w niesprzecznym układzie pojęciowym i otworzyła drogę dla rozbudowanych badań nad logikami parakonsystentnymi.

Podsumowanie

Omówiliśmy cztery różne filozoficzne motywacje, które doprowadziły do osłabienia logiki klasycznej poprzez odrzucenie części klasycznie uznawanych w niej schematów wnioskowań. W ten sposób powstało wiele nowych, interesujących systemów logik podklasycznych.

Można jednak zadać sobie odwrotne pytanie. Czy nie można wzmacniać logiki klasycznej, dodając do niej nowe schematy wnioskowań, które klasycznie nie są poprawne? Pytanie to ma niebanalną odpowiedź. Chociaż takie wzmocnienie prowadzi do bardzo niepożądanego efektu, istnieje jednak możliwość częściowego wzmacniania, które historycznie skutkowało powstaniem logik zwanych antyklasycznymi lub kontraklasycznymi. Jest to inna, równie ciekawa filozoficznie historia zmagania się z odpowiedzią na pytanie o kryteria poprawnych wnioskowań.

Warto doczytać:

S. Jaśkowski, O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych, „Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sect. A” 1949, vol. 1(8), s. 171–172.
S. Jaśkowski, Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych, „Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sect. A” 1948, vol. 1(8), s. 57–77.
T. Jarmużek, Jutrzejsza bitwa morska, Toruń 2013.
J. Łukasiewicz, O logice trójwartościowej, „Ruch Filozoficzny” 1920, nr 5.
K. Mruczek-Nasieniewska, M. Nasieniewski, A modal extension of Jaśkowski’s discussive logic D2, „Logic Journal of IGPL” 2019, vol. 27, s. 451–477.
K. Mruczek-Nasieniewska, M. Nasieniewski, A Kotas-style characterisation of minimal discussive logic, „Axioms” 2019, vol. 8(4) s. 1–17.

Tomasz Jarmużek – adiunkt w Katedrze Logiki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu. Zajmuje się teorią dowodu, metodami tablicowymi oraz logikami nieklasycznymi. Interesuje się także zastosowaniem logiki do analizy problemów filozoficznych i zagadnień z zakresu nauk społecznych. Po godzinach pasjonuje się ogrodnictwem, amatorskim leśnictwem i… fantazjowaniem.