Wywiady

W teorii mnogości można widzieć źródło całego świata – Wywiad ze Stanisławem Krajewskim

Wywiad ze Stanisławem Krajewskim, wybitnym znawcą filozofii matematyki

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 27–29. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Jak się ma mate­ma­tycz­ne poję­cie nie­skoń­czo­no­ści do jej poję­cia filozoficznego?

Okre­śle­nia „nie­skoń­czo­ność” oraz „nie­skoń­czo­ny” odno­szą się do bra­ku gra­nic, ogra­ni­czeń, kre­su. W luź­niej­szym sen­sie cho­dzi o wiel­kość dużą w spo­sób nie­okre­ślo­ny, nie­mie­rzal­ny. W każ­dym razie te ter­mi­ny mają cha­rak­ter nega­tyw­ny: zaprze­cza­ją skoń­czo­no­ści, obec­no­ści kre­su, moż­li­wo­ści uję­cia w dostęp­ne nam ramy, okreś­lenia liczbowego.

W mate­ma­ty­ce ten sens jest uści­śla­ny naj­pierw poprzez zasto­so­wa­nie do liczb natu­ral­nych (ciąg 1, 2, 3, 4… się nie koń­czy), do kształ­tów (odci­nek moż­na dowol­nie prze­dłu­żać, trój­kąt może być dowol­nie duży). Cho­dzi tu o nie­skoń­czo­ność poten­cjal­ną, czy­li brak gra­nic dla rosną­cej wiel­ko­ści skończonej.

Zarów­no w potocz­nym, jak i filo­zo­ficz­nym zna­cze­niu nie­skoń­czo­ność odno­si się też do cza­su. Ta wizja jest obec­na w mate­ma­ty­ce – już w szko­le – jako nie­skoń­czo­na pro­sta, któ­rą prze­bie­ga para­metr t, obra­zu­ją­cy czas. W ramach roz­wo­ju mate­ma­ty­ki zaczę­li­śmy roz­pa­try­wać też nie­skoń­czo­ną prze­strzeń, potem – w wie­ku XIX – prze­strze­nie wie­lo­wy­mia­ro­we, a nawet o nie­skoń­cze­nie wie­lu wymia­rach, oraz róż­ne nie­skoń­czo­ne struk­tu­ry zło­żo­ne z funk­cji i innych skom­pli­ko­wa­nych obiek­tów mate­ma­tycz­nych. W ten spo­sób zosta­ło doko­na­ne przej­ście do roz­pa­try­wa­nia nie­skoń­czo­no­ści aktu­al­nej, czy­li już zakoń­czo­nej, peł­nej. Ten krok jest filo­zo­ficz­nie moc­ny, bo moż­na wąt­pić, czy nie­skoń­czo­ność aktu­al­na ma sens. Jed­nak współ­cze­sna mate­ma­ty­ka to zakła­da – idąc tro­pem wska­za­nym przez Geo­r­ga Cantora.

Moż­na uznać, że wymie­nio­ne kro­ki są uści­śle­niem pew­nej intu­icji filo­zo­ficz­nej. Jed­nak mate­ma­ty­ka prze­kro­czy­ła potocz­ne wyobra­że­nia. Korzy­sta­jąc z zało­że­nia, że zbio­ry nie­skoń­czo­ne ist­nie­ją jako zakoń­czo­ne obiek­ty aktu­al­nie nie­skoń­czo­ne, Can­tor dowiódł, iż punk­tów odcin­ka jest wię­cej niż wszyst­kich liczb natu­ral­nych. Moż­na następ­nie wska­zać kolej­ne, coraz więk­sze moce nie­skoń­czo­ne, czy­li tzw. nie­skoń­czo­ne licz­by kar­dy­nal­ne. Na pyta­nie, czy ist­nie­ją wszyst­kie te nie­skoń­czo­ne licz­by, któ­rych oczy­wi­ście jest nie­skoń­cze­nie wie­le, filo­zo­ficz­na intu­icja poza­ma­te­ma­tycz­na nie ma żad­nej odpo­wie­dzi. W duchu Can­to­ra odpo­wia­da­my, że ist­nie­ją. Wów­czas może­my spy­tać, czy wszyst­kie one wzię­te razem two­rzą okre­ślo­ny, zamknię­ty zbiór. Oka­zu­je się, że tak być nie może, bo popa­da­my w para­doks: licz­ba kar­dy­nal­na odpo­wia­da­ją­ca liczeb­no­ści wszyst­kich tych nie­skoń­czo­nych liczb była­by więk­sza niż… dowol­na licz­ba kardynalna.

Gdy roz­pa­tru­je­my nie­skoń­czo­ność aktu­al­ną, czy­li zamknię­tą, a zatem w pew­nym sen­sie nie­zmien­ną, poja­wia się inny tra­dy­cyj­ny motyw filo­zo­ficz­ny. To Nie­skoń­czo­ny jako abso­lut, byt nie­zmien­ny. Już od sta­ro­żyt­nych Gre­ków upa­tru­je się w nim osta­tecz­ne­go źró­dła zna­ne­go nam świa­ta. To pro­wa­dzi do zna­cze­nia teo­lo­gicz­ne­go tego pojęcia.

Can­tor pró­bo­wał łączyć swo­ją teo­rię mno­go­ści, czy­li teo­rię dowol­nych abs­trak­cyj­nych zbio­rów, z teo­lo­gią. Zbio­ry tak ogrom­ne jak ogół wszyst­kich (nie­skoń­czo­nych) liczb kar­dy­nal­nych były­by nie­uchwyt­ne, w pew­nym sen­sie nie­wła­ści­we jako zbio­ry, a zara­zem abso­lut­ne. W wie­ku XX oka­za­ło się, że moż­na widzieć w teo­rii mno­go­ści źró­dło całe­go świa­ta, tzn. nie tyle świa­ta w ogó­le, co świa­ta mate­ma­ty­ki. Mia­no­wi­cie wyobraź­my sobie świat wszyst­kich zbio­rów tzw. czy­stych, czy­li zro­bio­nych ze zbio­rów, któ­re są zro­bio­ne (czy­li mają jako ele­men­ty) ze zbio­rów, któ­re… itd., a osta­tecz­nie docho­dzi­my do naj­pier­wot­niej­szych ele­men­tów, któ­re zawsze są zbio­rem pustym. Otóż w tym ste­ryl­nym mate­ma­tycz­nym uni­wer­sum może­my zre­kon­stru­ować wszyst­kie obiek­ty mate­ma­tycz­ne: licz­by, figu­ry, prze­strze­nie, funk­cje, struk­tu­ry, a nawet dowo­dy for­mal­ne. W ten spo­sób teo­ria zbio­rów może być uzna­na za pod­sta­wę całej mate­ma­ty­ki. To jest filo­zo­ficz­nie głę­bo­kie, choć trze­ba pod­kre­ślić, że ma bar­dzo nie­wiel­ki wpływ na prak­ty­kę matematyczną.

Czy filo­zo­fia i mate­ma­ty­ka mówią też coś na temat wiel­ko­ści nie­skoń­cze­nie małych?

Moż­li­wość nie­skoń­czo­nej podziel­no­ści jest dość natu­ral­nym kon­cep­tem filo­zo­ficz­nym. Pro­wa­dzi do kło­po­tów, zna­nych ze sta­ro­żyt­nych para­dok­sów. Nie­mniej póki pozo­sta­je­my w sfe­rze poten­cjal­nej nie­skoń­czo­no­ści w głąb, czy­li moż­no­ści uzy­ski­wa­nia coraz mniej­szych, dowol­nie małych frag­men­tów, zagro­że­nie nie wyda­je się poważ­ne. Osta­tecz­nie każ­dy może się zgo­dzić, że 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 1, choć sens tej rów­no­ści wyma­ga wyja­śnie­nia, np. na odcin­kach (połów­ka odcin­ka jed­nost­ko­we­go, ćwiart­ka itd.). Wyobra­ża­my sobie wcho­dze­nie w głąb, czy­li obser­wo­wa­nie cią­gle takiej samej sytu­acji. W naszych cza­sach mamy na to pięk­ną ilu­stra­cję w posta­ci fraktali.

Licz­ba nie­skoń­cze­nie mała była­by aktu­al­nie nie­skoń­cze­nie małą wiel­ko­ścią. Cza­sem ją przed­sta­wia­no jako 1/∞, ale mate­ma­ty­ka nie uzna­ła takiej wiel­ko­ści jako peł­no­praw­nej. Can­tor twier­dził, że wiel­ko­ści nie­skoń­cze­nie małe nie ist­nie­ją. Tym­cza­sem, pozo­sta­jąc w jego duchu, moż­na wykre­ować uni­wer­sum, w któ­rym są zarów­no licz­by nie­skoń­cze­nie wiel­kie, jak i nie­skoń­cze­nie małe. Pierw­szą taką kon­struk­cję przed­sta­wił pół wie­ku temu mate­ma­tyk John Con­way (1937–2020). Licz­by Con­waya uogól­nia­ją zwy­kłe licz­by natu­ral­ne oraz nie­skoń­czo­ne licz­by porząd­ko­we Can­to­ra; moż­na je doda­wać i mno­żyć, a gdy przez ω ozna­czy­my pierw­szą licz­bę nie­skoń­czo­ną (któ­ra odpo­wia­da całe­mu cią­go­wi liczb natu­ral­nych 0, 1, 2, 3, …), to licz­ba 1/ω jak naj­bar­dziej ma sens, jest > 0, a przy tym < 1/2, 1/4, 1/8 … . Moż­na ją podwo­ić, prze­po­ło­wić, pod­nieść do kwa­dra­tu, pomno­żyć przez licz­bę π itp., za każ­dym razem otrzy­mu­jąc inną licz­bę nie­skoń­cze­nie małą. Wszyst­ko to jest moż­li­we, ale nale­ży dodać, że jak na razie nie ma poważ­niej­szych zasto­so­wań tej ele­ganc­kiej konstrukcji.

Gdzie w codzien­nym życiu może­my odna­leźć intu­icje nieskończoności?

Była już mowa o prze­dłu­ża­niu odcin­ka, cza­su i wcho­dze­niu w głąb. To wszyst­ko są wyobra­że­nia potocz­ne. Przej­ście do wiel­ko­ści nie­skoń­czo­nych opie­ra się na przej­ściu gra­nicz­nym, co też jest uogól­nie­niem codzien­ne­go doświadczenia.

Innym źró­dłem doświad­czeń wska­zu­ją­cych na nie­skoń­czo­ność jest gwiaź­dzi­ste nie­bo, któ­re wyda­je się nie­skoń­czo­ne, a licz­ba gwiazd nie­po­li­czal­na. Ten obraz jest uży­ty w Biblii, podob­nie jak odnie­sie­nie do licz­by zia­re­nek pia­sku na zie­mi, licz­by, któ­ra wyda­je się nie do ogar­nię­cia. Osza­co­wa­nie jej wyma­ga poję­cia potę­go­wa­nia, co z całą świa­do­mo­ścią zauwa­żył Archi­me­des (III w. p.n.e.). Nie wyda­je się to nam obec­nie pro­ble­mem. Jed­nak potocz­ne poję­cia nie obej­mu­ją liczb takich jak 1064.

Jesz­cze innym powszech­nym doświad­cze­niem jest natych­mia­sto­wy cha­rak­ter wizji. Gdy poja­wi­ła się kon­cep­cja świa­tła jako obiek­tu fizycz­ne­go, natu­ral­ne było zało­że­nie, że pręd­kość świa­tła jest nie­skoń­czo­na. Tak twier­dził np. Kar­te­zjusz. Potem się oka­za­ło, że jest to okre­ślo­na pręd­kość, któ­ra jest wedle obec­nej fizy­ki naj­więk­szą moż­li­wą pręd­ko­ścią w świe­cie mate­rial­nym. Z per­spek­ty­wy naszych codzien­nych doświad­czeń pozo­sta­je ona prak­tycz­nie nieskończona.

Czy nie­skoń­czo­ność jest poję­ciem pustym?

W świe­cie fizycz­nym nie ma obiek­tów nie­skoń­cze­nie wiel­kich ani małych, a w każ­dym razie ich nie zna­my. Dla­te­go moż­na w spo­sób spój­ny uwa­żać, że nie­skoń­czo­ność to tyl­ko abs­trak­cja, narzę­dzie przy­dat­ne w mate­ma­ty­ce i mate­ma­tycz­nym mode­lo­wa­niu świata.

Bez poten­cjal­nej nie­skoń­czo­no­ści nie da się upra­wiać mate­ma­ty­ki. Nato­miast moż­na sobie wyobra­zić mate­ma­ty­kę bez nie­skoń­czo­no­ści aktu­al­nej. Wszyst­kie przy­dat­ne teo­rie mogły­by być – jak poka­zał mate­ma­tyk, logik i filo­zof mate­ma­ty­ki Jan Myciel­ski – wyra­żo­ne w języ­ku, w któ­rym nie zakła­da­my nic wię­cej niż struk­tu­ry skoń­czo­ne, ale rosną­ce bez ogra­ni­czeń, jeśli cho­dzi o wiel­kość i zło­żo­ność. Mate­ma­ty­ka i jej zasto­so­wa­nia były­by jed­nak wów­czas zapew­ne mniej przyjazne.

Mate­ma­tycz­ne bada­nia nie­skoń­czo­nych obiek­tów nie mają raczej prze­ło­że­nia na zwy­czaj­ne życie. Jeśli jed­nak ktoś chce roz­pa­try­wać filo­zo­ficz­ny pro­blem nie­skoń­czo­no­ści, to zna­jo­mość mate­ma­ty­ki jest nie­zbęd­na. Wymie­nio­ne powy­żej przy­kła­dy wska­zu­ją na roz­róż­nie­nia poję­cio­we, któ­re nie nasu­wa­ją się przy potocz­nych ana­li­zach. Te mogą ewen­tu­al­nie dojść do roz­róż­nie­nia prze­strze­ni nie­skoń­czo­nej od nie­ogra­ni­czo­nej: pła­skie isto­ty żyją­ce na powierzch­ni kuli uwa­ża­ją ją za nie­skoń­czo­ną, bo nie napo­ty­ka­ją żad­nych gra­nic, choć dla nas jest ewi­dent­nie skoń­czo­na. Jed­nak potrze­ba znać nie­co mate­ma­ty­ki, żeby roz­róż­niać stop­nie nie­skoń­czo­no­ści, nie mówiąc już o dzia­ła­niach na licz­bach nieskończonych.


Sta­ni­sław Kra­jew­ski – uzy­skał dok­to­rat z mate­ma­ty­ki, habi­li­ta­cję z filo­zo­fii i tytuł pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych. Jest pro­fe­so­rem na Wydzia­le Filo­zo­fii Uni­wer­sy­te­tu War­szaw­skie­go. Autor m.in. książ­ki Czy mate­ma­ty­ka jest nauką huma­ni­stycz­ną? Jest współ­twór­cą Pol­skiej Rady Chrze­ści­jan i Żydów, któ­rej współ­prze­wod­ni­czy od 30 lat.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Ewa Czarnecka

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy