Wywiady

W teorii mnogości można widzieć źródło całego świata – Wywiad ze Stanisławem Krajewskim

Wywiad ze Stanisławem Krajewskim, wybitnym znawcą filozofii matematyki

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 27–29. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Jak się ma mate­ma­tycz­ne poję­cie nie­skoń­czo­no­ści do jej poję­cia filozoficznego?

Okre­śle­nia „nie­skoń­czo­ność” oraz „nie­skoń­czo­ny” odno­szą się do bra­ku gra­nic, ogra­ni­czeń, kre­su. W luź­niej­szym sen­sie cho­dzi o wiel­kość dużą w spo­sób nie­okre­ślo­ny, nie­mie­rzal­ny. W każ­dym razie te ter­mi­ny mają cha­rak­ter nega­tyw­ny: zaprze­cza­ją skoń­czo­no­ści, obec­no­ści kre­su, moż­li­wo­ści uję­cia w dostęp­ne nam ramy, okreś­lenia liczbowego.

W mate­ma­ty­ce ten sens jest uści­śla­ny naj­pierw poprzez zasto­so­wa­nie do liczb natu­ral­nych (ciąg 1, 2, 3, 4… się nie koń­czy), do kształ­tów (odci­nek moż­na dowol­nie prze­dłu­żać, trój­kąt może być dowol­nie duży). Cho­dzi tu o nie­skoń­czo­ność poten­cjal­ną, czy­li brak gra­nic dla rosną­cej wiel­ko­ści skończonej.

Zarów­no w potocz­nym, jak i filo­zo­ficz­nym zna­cze­niu nie­skoń­czo­ność odno­si się też do cza­su. Ta wizja jest obec­na w mate­ma­ty­ce – już w szko­le – jako nie­skoń­czo­na pro­sta, któ­rą prze­bie­ga para­metr t, obra­zu­ją­cy czas. W ramach roz­wo­ju mate­ma­ty­ki zaczę­li­śmy roz­pa­try­wać też nie­skoń­czo­ną prze­strzeń, potem – w wie­ku XIX – prze­strze­nie wie­lo­wy­mia­ro­we, a nawet o nie­skoń­cze­nie wie­lu wymia­rach, oraz róż­ne nie­skoń­czo­ne struk­tu­ry zło­żo­ne z funk­cji i innych skom­pli­ko­wa­nych obiek­tów mate­ma­tycz­nych. W ten spo­sób zosta­ło doko­na­ne przej­ście do roz­pa­try­wa­nia nie­skoń­czo­no­ści aktu­al­nej, czy­li już zakoń­czo­nej, peł­nej. Ten krok jest filo­zo­ficz­nie moc­ny, bo moż­na wąt­pić, czy nie­skoń­czo­ność aktu­al­na ma sens. Jed­nak współ­cze­sna mate­ma­ty­ka to zakła­da – idąc tro­pem wska­za­nym przez Geo­r­ga Cantora.

Moż­na uznać, że wymie­nio­ne kro­ki są uści­śle­niem pew­nej intu­icji filo­zo­ficz­nej. Jed­nak mate­ma­ty­ka prze­kro­czy­ła potocz­ne wyobra­że­nia. Korzy­sta­jąc z zało­że­nia, że zbio­ry nie­skoń­czo­ne ist­nie­ją jako zakoń­czo­ne obiek­ty aktu­al­nie nie­skoń­czo­ne, Can­tor dowiódł, iż punk­tów odcin­ka jest wię­cej niż wszyst­kich liczb natu­ral­nych. Moż­na następ­nie wska­zać kolej­ne, coraz więk­sze moce nie­skoń­czo­ne, czy­li tzw. nie­skoń­czo­ne licz­by kar­dy­nal­ne. Na pyta­nie, czy ist­nie­ją wszyst­kie te nie­skoń­czo­ne licz­by, któ­rych oczy­wi­ście jest nie­skoń­cze­nie wie­le, filo­zo­ficz­na intu­icja poza­ma­te­ma­tycz­na nie ma żad­nej odpo­wie­dzi. W duchu Can­to­ra odpo­wia­da­my, że ist­nie­ją. Wów­czas może­my spy­tać, czy wszyst­kie one wzię­te razem two­rzą okre­ślo­ny, zamknię­ty zbiór. Oka­zu­je się, że tak być nie może, bo popa­da­my w para­doks: licz­ba kar­dy­nal­na odpo­wia­da­ją­ca liczeb­no­ści wszyst­kich tych nie­skoń­czo­nych liczb była­by więk­sza niż… dowol­na licz­ba kardynalna.

Gdy roz­pa­tru­je­my nie­skoń­czo­ność aktu­al­ną, czy­li zamknię­tą, a zatem w pew­nym sen­sie nie­zmien­ną, poja­wia się inny tra­dy­cyj­ny motyw filo­zo­ficz­ny. To Nie­skoń­czo­ny jako abso­lut, byt nie­zmien­ny. Już od sta­ro­żyt­nych Gre­ków upa­tru­je się w nim osta­tecz­ne­go źró­dła zna­ne­go nam świa­ta. To pro­wa­dzi do zna­cze­nia teo­lo­gicz­ne­go tego pojęcia.

Can­tor pró­bo­wał łączyć swo­ją teo­rię mno­go­ści, czy­li teo­rię dowol­nych abs­trak­cyj­nych zbio­rów, z teo­lo­gią. Zbio­ry tak ogrom­ne jak ogół wszyst­kich (nie­skoń­czo­nych) liczb kar­dy­nal­nych były­by nie­uchwyt­ne, w pew­nym sen­sie nie­wła­ści­we jako zbio­ry, a zara­zem abso­lut­ne. W wie­ku XX oka­za­ło się, że moż­na widzieć w teo­rii mno­go­ści źró­dło całe­go świa­ta, tzn. nie tyle świa­ta w ogó­le, co świa­ta mate­ma­ty­ki. Mia­no­wi­cie wyobraź­my sobie świat wszyst­kich zbio­rów tzw. czy­stych, czy­li zro­bio­nych ze zbio­rów, któ­re są zro­bio­ne (czy­li mają jako ele­men­ty) ze zbio­rów, któ­re… itd., a osta­tecz­nie docho­dzi­my do naj­pier­wot­niej­szych ele­men­tów, któ­re zawsze są zbio­rem pustym. Otóż w tym ste­ryl­nym mate­ma­tycz­nym uni­wer­sum może­my zre­kon­stru­ować wszyst­kie obiek­ty mate­ma­tycz­ne: licz­by, figu­ry, prze­strze­nie, funk­cje, struk­tu­ry, a nawet dowo­dy for­mal­ne. W ten spo­sób teo­ria zbio­rów może być uzna­na za pod­sta­wę całej mate­ma­ty­ki. To jest filo­zo­ficz­nie głę­bo­kie, choć trze­ba pod­kre­ślić, że ma bar­dzo nie­wiel­ki wpływ na prak­ty­kę matematyczną.

Czy filo­zo­fia i mate­ma­ty­ka mówią też coś na temat wiel­ko­ści nie­skoń­cze­nie małych?

Moż­li­wość nie­skoń­czo­nej podziel­no­ści jest dość natu­ral­nym kon­cep­tem filo­zo­ficz­nym. Pro­wa­dzi do kło­po­tów, zna­nych ze sta­ro­żyt­nych para­dok­sów. Nie­mniej póki pozo­sta­je­my w sfe­rze poten­cjal­nej nie­skoń­czo­no­ści w głąb, czy­li moż­no­ści uzy­ski­wa­nia coraz mniej­szych, dowol­nie małych frag­men­tów, zagro­że­nie nie wyda­je się poważ­ne. Osta­tecz­nie każ­dy może się zgo­dzić, że 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 1, choć sens tej rów­no­ści wyma­ga wyja­śnie­nia, np. na odcin­kach (połów­ka odcin­ka jed­nost­ko­we­go, ćwiart­ka itd.). Wyobra­ża­my sobie wcho­dze­nie w głąb, czy­li obser­wo­wa­nie cią­gle takiej samej sytu­acji. W naszych cza­sach mamy na to pięk­ną ilu­stra­cję w posta­ci fraktali.

Licz­ba nie­skoń­cze­nie mała była­by aktu­al­nie nie­skoń­cze­nie małą wiel­ko­ścią. Cza­sem ją przed­sta­wia­no jako 1/∞, ale mate­ma­ty­ka nie uzna­ła takiej wiel­ko­ści jako peł­no­praw­nej. Can­tor twier­dził, że wiel­ko­ści nie­skoń­cze­nie małe nie ist­nie­ją. Tym­cza­sem, pozo­sta­jąc w jego duchu, moż­na wykre­ować uni­wer­sum, w któ­rym są zarów­no licz­by nie­skoń­cze­nie wiel­kie, jak i nie­skoń­cze­nie małe. Pierw­szą taką kon­struk­cję przed­sta­wił pół wie­ku temu mate­ma­tyk John Con­way (1937–2020). Licz­by Con­waya uogól­nia­ją zwy­kłe licz­by natu­ral­ne oraz nie­skoń­czo­ne licz­by porząd­ko­we Can­to­ra; moż­na je doda­wać i mno­żyć, a gdy przez ω ozna­czy­my pierw­szą licz­bę nie­skoń­czo­ną (któ­ra odpo­wia­da całe­mu cią­go­wi liczb natu­ral­nych 0, 1, 2, 3, …), to licz­ba 1/ω jak naj­bar­dziej ma sens, jest > 0, a przy tym < 1/2, 1/4, 1/8 … . Moż­na ją podwo­ić, prze­po­ło­wić, pod­nieść do kwa­dra­tu, pomno­żyć przez licz­bę π itp., za każ­dym razem otrzy­mu­jąc inną licz­bę nie­skoń­cze­nie małą. Wszyst­ko to jest moż­li­we, ale nale­ży dodać, że jak na razie nie ma poważ­niej­szych zasto­so­wań tej ele­ganc­kiej konstrukcji.

Gdzie w codzien­nym życiu może­my odna­leźć intu­icje nieskończoności?

Była już mowa o prze­dłu­ża­niu odcin­ka, cza­su i wcho­dze­niu w głąb. To wszyst­ko są wyobra­że­nia potocz­ne. Przej­ście do wiel­ko­ści nie­skoń­czo­nych opie­ra się na przej­ściu gra­nicz­nym, co też jest uogól­nie­niem codzien­ne­go doświadczenia.

Innym źró­dłem doświad­czeń wska­zu­ją­cych na nie­skoń­czo­ność jest gwiaź­dzi­ste nie­bo, któ­re wyda­je się nie­skoń­czo­ne, a licz­ba gwiazd nie­po­li­czal­na. Ten obraz jest uży­ty w Biblii, podob­nie jak odnie­sie­nie do licz­by zia­re­nek pia­sku na zie­mi, licz­by, któ­ra wyda­je się nie do ogar­nię­cia. Osza­co­wa­nie jej wyma­ga poję­cia potę­go­wa­nia, co z całą świa­do­mo­ścią zauwa­żył Archi­me­des (III w. p.n.e.). Nie wyda­je się to nam obec­nie pro­ble­mem. Jed­nak potocz­ne poję­cia nie obej­mu­ją liczb takich jak 1064.

Jesz­cze innym powszech­nym doświad­cze­niem jest natych­mia­sto­wy cha­rak­ter wizji. Gdy poja­wi­ła się kon­cep­cja świa­tła jako obiek­tu fizycz­ne­go, natu­ral­ne było zało­że­nie, że pręd­kość świa­tła jest nie­skoń­czo­na. Tak twier­dził np. Kar­te­zjusz. Potem się oka­za­ło, że jest to okre­ślo­na pręd­kość, któ­ra jest wedle obec­nej fizy­ki naj­więk­szą moż­li­wą pręd­ko­ścią w świe­cie mate­rial­nym. Z per­spek­ty­wy naszych codzien­nych doświad­czeń pozo­sta­je ona prak­tycz­nie nieskończona.

Czy nie­skoń­czo­ność jest poję­ciem pustym?

W świe­cie fizycz­nym nie ma obiek­tów nie­skoń­cze­nie wiel­kich ani małych, a w każ­dym razie ich nie zna­my. Dla­te­go moż­na w spo­sób spój­ny uwa­żać, że nie­skoń­czo­ność to tyl­ko abs­trak­cja, narzę­dzie przy­dat­ne w mate­ma­ty­ce i mate­ma­tycz­nym mode­lo­wa­niu świata.

Bez poten­cjal­nej nie­skoń­czo­no­ści nie da się upra­wiać mate­ma­ty­ki. Nato­miast moż­na sobie wyobra­zić mate­ma­ty­kę bez nie­skoń­czo­no­ści aktu­al­nej. Wszyst­kie przy­dat­ne teo­rie mogły­by być – jak poka­zał mate­ma­tyk, logik i filo­zof mate­ma­ty­ki Jan Myciel­ski – wyra­żo­ne w języ­ku, w któ­rym nie zakła­da­my nic wię­cej niż struk­tu­ry skoń­czo­ne, ale rosną­ce bez ogra­ni­czeń, jeśli cho­dzi o wiel­kość i zło­żo­ność. Mate­ma­ty­ka i jej zasto­so­wa­nia były­by jed­nak wów­czas zapew­ne mniej przyjazne.

Mate­ma­tycz­ne bada­nia nie­skoń­czo­nych obiek­tów nie mają raczej prze­ło­że­nia na zwy­czaj­ne życie. Jeśli jed­nak ktoś chce roz­pa­try­wać filo­zo­ficz­ny pro­blem nie­skoń­czo­no­ści, to zna­jo­mość mate­ma­ty­ki jest nie­zbęd­na. Wymie­nio­ne powy­żej przy­kła­dy wska­zu­ją na roz­róż­nie­nia poję­cio­we, któ­re nie nasu­wa­ją się przy potocz­nych ana­li­zach. Te mogą ewen­tu­al­nie dojść do roz­róż­nie­nia prze­strze­ni nie­skoń­czo­nej od nie­ogra­ni­czo­nej: pła­skie isto­ty żyją­ce na powierzch­ni kuli uwa­ża­ją ją za nie­skoń­czo­ną, bo nie napo­ty­ka­ją żad­nych gra­nic, choć dla nas jest ewi­dent­nie skoń­czo­na. Jed­nak potrze­ba znać nie­co mate­ma­ty­ki, żeby roz­róż­niać stop­nie nie­skoń­czo­no­ści, nie mówiąc już o dzia­ła­niach na licz­bach nieskończonych.


Sta­ni­sław Kra­jew­ski – uzy­skał dok­to­rat z mate­ma­ty­ki, habi­li­ta­cję z filo­zo­fii i tytuł pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych. Jest pro­fe­so­rem na Wydzia­le Filo­zo­fii Uni­wer­sy­te­tu War­szaw­skie­go. Autor m.in. książ­ki Czy mate­ma­ty­ka jest nauką huma­ni­stycz­ną? Jest współ­twór­cą Pol­skiej Rady Chrze­ści­jan i Żydów, któ­rej współ­prze­wod­ni­czy od 30 lat.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Ewa Czarnecka

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy