Wywiady

W teorii mnogości można widzieć źródło całego świata – Wywiad ze Stanisławem Krajewskim

Krajewski logo biale l
Wywiad ze Stanisławem Krajewskim, wybitnym znawcą filozofii matematyki

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 27–29. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Jak się ma matematyczne pojęcie nieskończoności do jej pojęcia filozoficznego?

Określenia „nieskończoność” oraz „nieskończony” odnoszą się do braku granic, ograniczeń, kresu. W luźniejszym sensie chodzi o wielkość dużą w sposób nieokreślony, niemierzalny. W każdym razie te terminy mają charakter negatywny: zaprzeczają skończoności, obecności kresu, możliwości ujęcia w dostępne nam ramy, okreś­lenia liczbowego.

W matematyce ten sens jest uściślany najpierw poprzez zastosowanie do liczb naturalnych (ciąg 1, 2, 3, 4… się nie kończy), do kształtów (odcinek można dowolnie przedłużać, trójkąt może być dowolnie duży). Chodzi tu o nieskończoność potencjalną, czyli brak granic dla rosnącej wielkości skończonej.

Zarówno w potocznym, jak i filozoficznym znaczeniu nieskończoność odnosi się też do czasu. Ta wizja jest obecna w matematyce – już w szkole – jako nieskończona prosta, którą przebiega parametr t, obrazujący czas. W ramach rozwoju matematyki zaczęliśmy rozpatrywać też nieskończoną przestrzeń, potem – w wieku XIX – przestrzenie wielowymiarowe, a nawet o nieskończenie wielu wymiarach, oraz różne nieskończone struktury złożone z funkcji i innych skomplikowanych obiektów matematycznych. W ten sposób zostało dokonane przejście do rozpatrywania nieskończoności aktualnej, czyli już zakończonej, pełnej. Ten krok jest filozoficznie mocny, bo można wątpić, czy nieskończoność aktualna ma sens. Jednak współczesna matematyka to zakłada – idąc tropem wskazanym przez Georga Cantora.

Można uznać, że wymienione kroki są uściśleniem pewnej intuicji filozoficznej. Jednak matematyka przekroczyła potoczne wyobrażenia. Korzystając z założenia, że zbiory nieskończone istnieją jako zakończone obiekty aktualnie nieskończone, Cantor dowiódł, iż punktów odcinka jest więcej niż wszystkich liczb naturalnych. Można następnie wskazać kolejne, coraz większe moce nieskończone, czyli tzw. nieskończone liczby kardynalne. Na pytanie, czy istnieją wszystkie te nieskończone liczby, których oczywiście jest nieskończenie wiele, filozoficzna intuicja pozamatematyczna nie ma żadnej odpowiedzi. W duchu Cantora odpowiadamy, że istnieją. Wówczas możemy spytać, czy wszystkie one wzięte razem tworzą określony, zamknięty zbiór. Okazuje się, że tak być nie może, bo popadamy w paradoks: liczba kardynalna odpowiadająca liczebności wszystkich tych nieskończonych liczb byłaby większa niż… dowolna liczba kardynalna.

Gdy rozpatrujemy nieskończoność aktualną, czyli zamkniętą, a zatem w pewnym sensie niezmienną, pojawia się inny tradycyjny motyw filozoficzny. To Nieskończony jako absolut, byt niezmienny. Już od starożytnych Greków upatruje się w nim ostatecznego źródła znanego nam świata. To prowadzi do znaczenia teologicznego tego pojęcia.

Cantor próbował łączyć swoją teorię mnogości, czyli teorię dowolnych abstrakcyjnych zbiorów, z teologią. Zbiory tak ogromne jak ogół wszystkich (nieskończonych) liczb kardynalnych byłyby nieuchwytne, w pewnym sensie niewłaściwe jako zbiory, a zarazem absolutne. W wieku XX okazało się, że można widzieć w teorii mnogości źródło całego świata, tzn. nie tyle świata w ogóle, co świata matematyki. Mianowicie wyobraźmy sobie świat wszystkich zbiorów tzw. czystych, czyli zrobionych ze zbiorów, które są zrobione (czyli mają jako elementy) ze zbiorów, które… itd., a ostatecznie dochodzimy do najpierwotniejszych elementów, które zawsze są zbiorem pustym. Otóż w tym sterylnym matematycznym uniwersum możemy zrekonstruować wszystkie obiekty matematyczne: liczby, figury, przestrzenie, funkcje, struktury, a nawet dowody formalne. W ten sposób teoria zbiorów może być uznana za podstawę całej matematyki. To jest filozoficznie głębokie, choć trzeba podkreślić, że ma bardzo niewielki wpływ na praktykę matematyczną.

Czy filozofia i matematyka mówią też coś na temat wielkości nieskończenie małych?

Możliwość nieskończonej podzielności jest dość naturalnym konceptem filozoficznym. Prowadzi do kłopotów, znanych ze starożytnych paradoksów. Niemniej póki pozostajemy w sferze potencjalnej nieskończoności w głąb, czyli możności uzyskiwania coraz mniejszych, dowolnie małych fragmentów, zagrożenie nie wydaje się poważne. Ostatecznie każdy może się zgodzić, że 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 1, choć sens tej równości wymaga wyjaśnienia, np. na odcinkach (połówka odcinka jednostkowego, ćwiartka itd.). Wyobrażamy sobie wchodzenie w głąb, czyli obserwowanie ciągle takiej samej sytuacji. W naszych czasach mamy na to piękną ilustrację w postaci fraktali.

Liczba nieskończenie mała byłaby aktualnie nieskończenie małą wielkością. Czasem ją przedstawiano jako 1/∞, ale matematyka nie uznała takiej wielkości jako pełnoprawnej. Cantor twierdził, że wielkości nieskończenie małe nie istnieją. Tymczasem, pozostając w jego duchu, można wykreować uniwersum, w którym są zarówno liczby nieskończenie wielkie, jak i nieskończenie małe. Pierwszą taką konstrukcję przedstawił pół wieku temu matematyk John Conway (1937–2020). Liczby Conwaya uogólniają zwykłe liczby naturalne oraz nieskończone liczby porządkowe Cantora; można je dodawać i mnożyć, a gdy przez ω oznaczymy pierwszą liczbę nieskończoną (która odpowiada całemu ciągowi liczb naturalnych 0, 1, 2, 3, …), to liczba 1/ω jak najbardziej ma sens, jest > 0, a przy tym < 1/2, 1/4, 1/8 … . Można ją podwoić, przepołowić, podnieść do kwadratu, pomnożyć przez liczbę π itp., za każdym razem otrzymując inną liczbę nieskończenie małą. Wszystko to jest możliwe, ale należy dodać, że jak na razie nie ma poważniejszych zastosowań tej eleganckiej konstrukcji.

Gdzie w codziennym życiu możemy odnaleźć intuicje nieskończoności?

Była już mowa o przedłużaniu odcinka, czasu i wchodzeniu w głąb. To wszystko są wyobrażenia potoczne. Przejście do wielkości nieskończonych opiera się na przejściu granicznym, co też jest uogólnieniem codziennego doświadczenia.

Innym źródłem doświadczeń wskazujących na nieskończoność jest gwiaździste niebo, które wydaje się nieskończone, a liczba gwiazd niepoliczalna. Ten obraz jest użyty w Biblii, podobnie jak odniesienie do liczby ziarenek piasku na ziemi, liczby, która wydaje się nie do ogarnięcia. Oszacowanie jej wymaga pojęcia potęgowania, co z całą świadomością zauważył Archimedes (III w. p.n.e.). Nie wydaje się to nam obecnie problemem. Jednak potoczne pojęcia nie obejmują liczb takich jak 1064.

Jeszcze innym powszechnym doświadczeniem jest natychmiastowy charakter wizji. Gdy pojawiła się koncepcja światła jako obiektu fizycznego, naturalne było założenie, że prędkość światła jest nieskończona. Tak twierdził np. Kartezjusz. Potem się okazało, że jest to określona prędkość, która jest wedle obecnej fizyki największą możliwą prędkością w świecie materialnym. Z perspektywy naszych codziennych doświadczeń pozostaje ona praktycznie nieskończona.

Czy nieskończoność jest pojęciem pustym?

W świecie fizycznym nie ma obiektów nieskończenie wielkich ani małych, a w każdym razie ich nie znamy. Dlatego można w sposób spójny uważać, że nieskończoność to tylko abstrakcja, narzędzie przydatne w matematyce i matematycznym modelowaniu świata.

Bez potencjalnej nieskończoności nie da się uprawiać matematyki. Natomiast można sobie wyobrazić matematykę bez nieskończoności aktualnej. Wszystkie przydatne teorie mogłyby być – jak pokazał matematyk, logik i filozof matematyki Jan Mycielski – wyrażone w języku, w którym nie zakładamy nic więcej niż struktury skończone, ale rosnące bez ograniczeń, jeśli chodzi o wielkość i złożoność. Matematyka i jej zastosowania byłyby jednak wówczas zapewne mniej przyjazne.

Matematyczne badania nieskończonych obiektów nie mają raczej przełożenia na zwyczajne życie. Jeśli jednak ktoś chce rozpatrywać filozoficzny problem nieskończoności, to znajomość matematyki jest niezbędna. Wymienione powyżej przykłady wskazują na rozróżnienia pojęciowe, które nie nasuwają się przy potocznych analizach. Te mogą ewentualnie dojść do rozróżnienia przestrzeni nieskończonej od nieograniczonej: płaskie istoty żyjące na powierzchni kuli uważają ją za nieskończoną, bo nie napotykają żadnych granic, choć dla nas jest ewidentnie skończona. Jednak potrzeba znać nieco matematyki, żeby rozróżniać stopnie nieskończoności, nie mówiąc już o działaniach na liczbach nieskończonych.


Stanisław Krajewski – uzyskał doktorat z matematyki, habilitację z filozofii i tytuł profesora nauk humanistycznych. Jest profesorem na Wydziale Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego. Autor m.in. książki Czy matematyka jest nauką humanistyczną? Jest współtwórcą Polskiej Rady Chrześcijan i Żydów, której współprzewodniczy od 30 lat.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Ewa Czarnecka

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy