Artykuł Logika Warsztat logiczny

Witold Marciszewski: #10. Moc ekspresyjna teorii kwantyfikatorów

Chodzi mi o to, aby język giętki powiedział wszystko, co pomyśli głowa. Juliusz Słowacki, Beniowski

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2017 nr 4 (16), s. 26–27. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku  PDF.


§1. Trzon nowo­cze­snej logi­ki to teo­ria zdań oraz teo­ria kwan­ty­fi­ka­to­rów – w skró­cie TK – zwa­na też logi­ką predykatów.

W poprzed­nich odcin­kach kwan­ty­fi­ka­to­ry po­jawiały się i były krót­ko wyja­śnia­ne w mia­rę, jak wyma­ga­ło tego roz­wa­ża­ne zagad­nie­nie, ale nie w spo­sób sys­te­ma­tycz­ny. Pora zająć się TK dokład­niej, nawią­zu­jąc do marzeń poety o takiej gięt­ko­ści języ­ka, żeby mógł on spro­stać bogac­twu i sub­tel­no­ści myśli. Nazy­wa­my taką ela­stycz­ność mocą eks­pre­syj­ną.

Moc eks­pre­syj­na języ­ka TK jest tak duża, że gdy uzu­peł­ni­my go poję­ciem zbio­ru, to da się w nim wyra­zić cała mate­ma­ty­ka, a regu­ły rozu­mo­wa­nia mają roz­le­głe zasto­so­wa­nie we wszyst­kich dzie­dzi­nach myśli. Uzy­sku­je­my ją, bio­rąc za pod­sta­wę teo­rię zdań i dołą­cza­jąc do zmien­nych zda­nio­wych i spój­ni­ków zda­nio­wych nowe kate­go­rie. Są to zmien­ne indy­wi­du­owe, nad­to pre­dy­ka­ty oraz kwan­ty­fi­ka­to­ry (o któ­rych mowa dalej).

Co to są zmien­ne indy­wi­du­owe? Twór­cy nowo­czesnej logi­ki zauwa­ży­li, jak wiel­kie zna­cze­nie dla gięt­ko­ści języ­ka może mieć nie­po­zor­ne słów­ko „coś”, gdy się doce­ni i roz­bu­du­je tkwią­cy w nim poten­cjał. W pol­sz­czyź­nie trud­no z tego poten­cja­łu korzy­stać, bo trze­ba by móc odróż­niać wie­le cosiów, mieć od tego sło­wa licz­bę mno­gą i odmie­niać je przez przy­padki. Język TK jest wol­ny od tych kwe­stii, będąc bu­dowany na takiej pozy­cyj­nej zasa­dzie jak nota­cja arytmetyczna.

Gdy jakieś zda­nie orze­ka o iluś rze­czach, np. że coś poru­sza coś, a to poru­sza jesz­cze inne coś, to skład­nia TK na każ­de coś dys­po­nu­je innym ozna­czeniem, uwal­nia­jąc się tym samym od plą­ta­ni­ny powtó­rzeń. Mówi­my: x poru­sza y oraz y poru­sza z.

W tej gra­ma­ty­ce cały ładu­nek nie­sio­nej przez zda­nie infor­ma­cji zawie­ra się w orze­cze­niu, któ­re logi­cy nazy­wa­ją (z łaciń­ska) pre­dy­ka­tem. Nato­miast taki gra­matyczny pod­miot jak enig­ma­tycz­ne x nic nie mówi o wła­ści­wo­ściach roz­wa­ża­nych rzeczy.

Istot­ną cechą TK jest to, że jej for­mu­ły nabie­ra­ją sen­su, a więc wia­do­mo, o czym mówią, dopie­ro wte­dy, gdy się dokład­nie okre­śli zbiór obej­mu­ją­cy indy­wi­dua, do któ­rych chce­my odno­sić zmien­ne (z tej wła­śnie ra­cji zwa­ne indy­wi­du­owy­mi). Taki zbiór nazy­wa­my uni­wer­sum teo­rii. Np. uni­wer­sum pod­sta­wo­we­go dzia­łu aryt­me­ty­ki sta­no­wi zbiór liczb natu­ral­nych, uni­wer­sum zoo­lo­gii – zbiór zwie­rząt itd.

For­mu­ła x + y = 5 ma sens wte­dy, gdy zmien­ne odno­szą się do liczb natu­ral­nych; przy jed­nych pod­stawieniach jest praw­dzi­wa, przy innych fał­szy­wa, ale zawsze sen­sow­na. Powsta­nie jed­nak nie­do­rzecz­ność np. wte­dy, gdy za x pod­sta­wić „cia­ło”, a za y – „dusza”.

Jed­ne zda­nia zapi­sa­nej w języ­ku TK teo­rii orze­ka­ją jakąś wła­sność o wszyst­kich indy­wi­du­ach z dane­go uni­wer­sum. Inne mówią tyl­ko tyle, że ist­nie­je w nim co naj­mniej jed­no indy­wi­du­um o danej wła­sno­ści, nie prze­są­dza­jąc, czy wszyst­kie i jak wie­le. Te pierw­sze są uni­wer­sal­ne (ina­czej: ogól­ne), te dru­gie egzy­stencjalne (ina­czej: szcze­gó­ło­we). To nie wyczer­pu­je wszyst­kich form zda­nio­wych TK; ist­nie­ją kon­struk­cje bar­dziej zło­żo­ne, ale tu poprze­sta­nie­my na najprostszych.

O tym, czy dane zda­nie jest uni­wer­sal­ne, czy egzy­stencjalne, powia­da­mia kwan­ty­fi­ka­tor. W pierw­szym przy­pad­ku jest to kwan­ty­fi­ka­tor uni­wer­sal­ny ∀x, co czy­ta­my „dla każ­de­go x (jest tak a tak)”. W dru­gim przy­pad­ku – kwan­ty­fi­ka­tor egzy­sten­cjal­ny ∃x, co czy­tamy: „ist­nie­je x (takie, że to a to)”. Weź­my przy­kła­dy z uni­wer­sum zoo­lo­gii (wyra­że­nie zazna­czo­ne na różo­wo jest pre­dy­ka­tem orze­ka­nym o x).

∀x (x ma sys­tem pozy­ski­wa­nia ener­gii).
∃x (x pozy­sku­je ener­gię, żywiąc się plank­to­nem).

§2. Wygod­nie jest mieć do dys­po­zy­cji oba kwantyfi­katory. Trze­ba jed­nak pamię­tać, że każ­dy może wy­razić to wszyst­ko, co dru­gi, o ile się go ­wes­prze od­powiednim kon­tek­stem. Tak więc mocy ekspresyj­nej nie ubę­dzie, gdy poprze­sta­nie­my na tym lub tam­tym, ubę­dzie nato­miast wygo­dy w wysło­wie­niu; nie chcąc z niej rezy­gno­wać, korzy­sta­my z obu. Wspar­cie, o któ­rym mowa, pole­ga na wystę­po­wa­niu kwan­ty­fi­ka­to­ra łącz­nie z negacją.
Przyj­rzyj­my się temu na przy­kła­dzie kwan­ty­fi­ka­to­ra uni­wer­sal­ne­go zaczerp­nię­tym z poezji lirycz­nej, co przy oka­zji zaświad­cza, że lirycz­ność może iść w pa­rze z logi­ką. Tak oto wieszcz wyzna­wał Mary­li swe uczu­cia za pomo­cą kwan­ty­fi­ka­to­ra uniwersalnego:

Na każ­dym miej­scu i o każ­dej dobie,
Gdziem z tobą pła­kał, gdziem się z tobą bawił,
Wszę­dziezawsze będę ja przy tobie,
Bom wszę­dzie cząst­kę mej duszy zostawił.

Dla przej­rzy­sto­ści, choć ze stra­tą dla poetyc­ko­ści, upro­ść­my treść tej stro­fy do dwóch zdań.

1. Każ­de miej­sce naszych spo­tkań wspo­mi­nam z tęsknotą.

2. Każ­dy czas naszych spo­tkań wspo­mi­nam z tęsknotą.

Jak widać, ten krót­ki tekst potrze­bu­je dwóch uni­wer­sów: jed­nym jest zbiór miejsc spo­tkań, a dru­gim – zbiór cza­sów spo­tkań. Moż­na spro­wa­dzić te uni­wer­sa do jed­ne­go, ale wte­dy powsta­ły­by wyra­że­nia bar­dziej zło­żo­ne, a w tym momen­cie sta­wia­my na uproszczenia.

Treść zdań 1 i 2 da się wyra­zić kwan­ty­fi­ka­to­rem egzy­stencjalnym oto­czo­nym przez negacje.

1*. nie ist­nie­je miej­sce naszych spo­tkań, któ­re­go nie wspo­mi­nam z tęsknotą.

2*. nie ist­nie­je czas naszych spo­tkań, któ­re­go nie wspo­minam z tęsknotą.

Z tego przy­kła­du łatwo odczy­tać ogól­ną regu­łę zastę­po­wa­nia kwan­ty­fi­ka­to­rów. Nie zmie­ni się tre­ści zda­nia, gdy kwan­ty­fi­ka­tor uni­wer­sal­ny zastą­pi się egzy­sten­cjal­nym oto­czo­nym przez wyra­że­nia przeczące.

Mamy też regu­łę zastę­po­wa­nia w kie­run­ku prze­ciwnym. Nie zmie­ni się tre­ści zda­nia, gdy kwantyfi­kator egzy­sten­cjal­ny zastą­pi się uni­wer­sal­nym oto­czonym przez wyra­że­nia przeczące.
Na przy­kład: „ist­nie­ją ludzie dobrzy” to tyle, co: „nie­praw­da, że każ­dy jest niedobry”.

Pod­su­muj­my te ana­li­zy zapi­sem w języ­ku TK, przyj­mu­jąc P w roli dowol­ne­go pre­dy­ka­tu. Sym­bol ↔ two­rzy for­mu­łę, któ­ra nazy­wa się rów­no­waż­no­ścią i cechu­je się tym, że każ­da jej stro­na wyni­ka z drugiej.

∀xP(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)
∃xP(x) ↔ ¬∀x ¬P(x)

Niech te dwa ele­ganc­kie wzo­ry będą puen­tą roz­wa­żań, a jaki jest z nich poży­tek dla nasze­go myśle­nia o świe­cie, będzie­my roz­wa­żać w następ­nej tego cyklu
odsłonie.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tematy.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

 < Powrót do spi­su tre­ści nume­ru

Fot.: © okalinichenko

Najnowszy numer można nabyć od 1 marca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy