Witold Marciszewski: #10. Moc ekspresyjna teorii kwantyfikatorów

Chodzi mi o to, aby język giętki powiedział wszystko, co pomyśli głowa. Juliusz Słowacki, Beniowski

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 4 (16), s. 26–27. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

§1. Trzon nowoczesnej logiki to teoria zdań oraz teoria kwantyfikatorów – w skrócie TK – zwana też logiką predykatów.

W poprzednich odcinkach kwantyfikatory pojawiały się i były krótko wyjaśniane w miarę, jak wymagało tego rozważane zagadnienie, ale nie w sposób systematyczny. Pora zająć się TK dokładniej, nawiązując do marzeń poety o takiej giętkości języka, żeby mógł on sprostać bogactwu i subtelności myśli. Nazywamy taką elastyczność mocą ekspresyjną.

Moc ekspresyjna języka TK jest tak duża, że gdy uzupełnimy go pojęciem zbioru, to da się w nim wyrazić cała matematyka, a reguły rozumowania mają rozległe zastosowanie we wszystkich dziedzinach myśli. Uzyskujemy ją, biorąc za podstawę teorię zdań i dołączając do zmiennych zdaniowych i spójników zdaniowych nowe kategorie. Są to zmienne indywiduowe, nadto predykaty oraz kwantyfikatory (o których mowa dalej).

Co to są zmienne indywiduowe? Twórcy nowoczesnej logiki zauważyli, jak wielkie znaczenie dla giętkości języka może mieć niepozorne słówko „coś”, gdy się doceni i rozbuduje tkwiący w nim potencjał. W polszczyźnie trudno z tego potencjału korzystać, bo trzeba by móc odróżniać wiele cosiów, mieć od tego słowa liczbę mnogą i odmieniać je przez przypadki. Język TK jest wolny od tych kwestii, będąc budowany na takiej pozycyjnej zasadzie jak notacja arytmetyczna.

Gdy jakieś zdanie orzeka o iluś rzeczach, np. że coś porusza coś, a to porusza jeszcze inne coś, to składnia TK na każde coś dysponuje innym oznaczeniem, uwalniając się tym samym od plątaniny powtórzeń. Mówimy: x porusza y oraz y porusza z.

W tej gramatyce cały ładunek niesionej przez zdanie informacji zawiera się w orzeczeniu, które logicy nazywają (z łacińska) predykatem. Natomiast taki gramatyczny podmiot jak enigmatyczne x nic nie mówi o właściwościach rozważanych rzeczy.

Istotną cechą TK jest to, że jej formuły nabierają sensu, a więc wiadomo, o czym mówią, dopiero wtedy, gdy się dokładnie określi zbiór obejmujący indywidua, do których chcemy odnosić zmienne (z tej właśnie racji zwane indywiduowymi). Taki zbiór nazywamy uniwersum teorii. Np. uniwersum podstawowego działu arytmetyki stanowi zbiór liczb naturalnych, uniwersum zoologii – zbiór zwierząt itd.

Formuła x + y = 5 ma sens wtedy, gdy zmienne odnoszą się do liczb naturalnych; przy jednych podstawieniach jest prawdziwa, przy innych fałszywa, ale zawsze sensowna. Powstanie jednak niedorzeczność np. wtedy, gdy za x podstawić „ciało”, a za y – „dusza”.

Jedne zdania zapisanej w języku TK teorii orzekają jakąś własność o wszystkich indywiduach z danego uniwersum. Inne mówią tylko tyle, że istnieje w nim co najmniej jedno indywiduum o danej własności, nie przesądzając, czy wszystkie i jak wiele. Te pierwsze są uniwersalne (inaczej: ogólne), te drugie egzystencjalne (inaczej: szczegółowe). To nie wyczerpuje wszystkich form zdaniowych TK; istnieją konstrukcje bardziej złożone, ale tu poprzestaniemy na najprostszych.

O tym, czy dane zdanie jest uniwersalne, czy egzystencjalne, powiadamia kwantyfikator. W pierwszym przypadku jest to kwantyfikator uniwersalny ∀x, co czytamy „dla każdego x (jest tak a tak)”. W drugim przypadku – kwantyfikator egzystencjalny ∃x, co czytamy: „istnieje x (takie, że to a to)”. Weźmy przykłady z uniwersum zoologii (wyrażenie zaznaczone na różowo jest predykatem orzekanym o x).

∀x (x ma system pozyskiwania energii).
∃x (x pozyskuje energię, żywiąc się planktonem).

§2. Wygodnie jest mieć do dyspozycji oba kwantyfikatory. Trzeba jednak pamiętać, że każdy może wyrazić to wszystko, co drugi, o ile się go wesprze odpowiednim kontekstem. Tak więc mocy ekspresyjnej nie ubędzie, gdy poprzestaniemy na tym lub tamtym, ubędzie natomiast wygody w wysłowieniu; nie chcąc z niej rezygnować, korzystamy z obu. Wsparcie, o którym mowa, polega na występowaniu kwantyfikatora łącznie z negacją.
Przyjrzyjmy się temu na przykładzie kwantyfikatora uniwersalnego zaczerpniętym z poezji lirycznej, co przy okazji zaświadcza, że liryczność może iść w parze z logiką. Tak oto wieszcz wyznawał Maryli swe uczucia za pomocą kwantyfikatora uniwersalnego:

Na każdym miejscu i o każdej dobie,
Gdziem z tobą płakał, gdziem się z tobą bawił,
Wszędzie i zawsze będę ja przy tobie,
Bom wszędzie cząstkę mej duszy zostawił.

Dla przejrzystości, choć ze stratą dla poetyckości, uprośćmy treść tej strofy do dwóch zdań.

1. Każde miejsce naszych spotkań wspominam z tęsknotą.

2. Każdy czas naszych spotkań wspominam z tęsknotą.

Jak widać, ten krótki tekst potrzebuje dwóch uniwersów: jednym jest zbiór miejsc spotkań, a drugim – zbiór czasów spotkań. Można sprowadzić te uniwersa do jednego, ale wtedy powstałyby wyrażenia bardziej złożone, a w tym momencie stawiamy na uproszczenia.

Treść zdań 1 i 2 da się wyrazić kwantyfikatorem egzystencjalnym otoczonym przez negacje.

1*. nie istnieje miejsce naszych spotkań, którego nie wspominam z tęsknotą.

2*. nie istnieje czas naszych spotkań, którego nie wspominam z tęsknotą.

Z tego przykładu łatwo odczytać ogólną regułę zastępowania kwantyfikatorów. Nie zmieni się treści zdania, gdy kwantyfikator uniwersalny zastąpi się egzystencjalnym otoczonym przez wyrażenia przeczące.

Mamy też regułę zastępowania w kierunku przeciwnym. Nie zmieni się treści zdania, gdy kwantyfikator egzystencjalny zastąpi się uniwersalnym otoczonym przez wyrażenia przeczące.
Na przykład: „istnieją ludzie dobrzy” to tyle, co: „nieprawda, że każdy jest niedobry”.

Podsumujmy te analizy zapisem w języku TK, przyjmując P w roli dowolnego predykatu. Symbol ↔ tworzy formułę, która nazywa się równoważnością i cechuje się tym, że każda jej strona wynika z drugiej.

∀xP(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)
∃xP(x) ↔ ¬∀x ¬P(x)

Niech te dwa eleganckie wzory będą puentą rozważań, a jaki jest z nich pożytek dla naszego myślenia o świecie, będziemy rozważać w następnej tego cyklu
odsłonie.

Witold Marciszewski – profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.