Artykuł Logika Warsztat logiczny

Witold Marciszewski: #11. Logika kwantyfikatorów. Rewolucja naukowa epoki informatycznej

Zalążek logiki jako nauki pojawił się w dziele Arystote­lesa Analityki ok. 350 p.n.e. Był to jedyny w obiegu system logiki aż do połowy wieku XIX. Wtedy począł się ferment, który doprowadził do przemiany podob­nie doniosłej, jak teoria względności i odkrycie kwantów w fizyce. Z obu tych nauk, jak z potężnych strumieni, powstał nurt, który kształtuje nowy etap historii – epokę informatyczną.

Zapisz się do naszego newslettera

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2017 nr 5 (17), s. 30–31. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


§1. Jaką trzeba mieć logikę, żeby rozumować na temat relacji

Pod­czas gdy ope­ra­to­ry logi­ki zdań – nega­cja, koniunk­cja etc. – two­rzą zda­nia zło­żo­ne z prost­szych, kwan­ty­fi­ka­to­ry dopo­wia­da­ją na treść zdań: ogól­ny wska­zu­je, że waru­nek zawar­ty w poprze­dza­ją­cym go zda­niu speł­nia­ją wszyst­kie ele­men­ty roz­wa­ża­nej dzie­dzi­ny; egzy­sten­cjal­ny poprze­sta­je na wska­za­niu, że ist­nie­je przy­naj­mniej jeden taki ele­ment. Oznacz­my je, odpo­wiednio, skró­ta­mi: KO, KE.

To skrom­ne z pozo­ru uzu­peł­nie­nie lin­gwi­stycz­ne oka­za­ło się brze­mien­ne w skut­kach, gdy połą­czy­ło się z pro­ce­sa­mi aksjo­ma­ty­za­cji i for­ma­li­za­cji teo­rii mate­ma­tycz­nych. A wśród nich – aksjo­ma­ty­za­cji i for­ma­li­za­cji logi­ki, któ­ra – przy­braw­szy postać rachun­ku – sta­ła się teo­rią mate­ma­tycz­ną. Nie stra­ci­ła jed­nak przez to uczest­nic­twa w klu­bie nauk huma­nistycznych. Abs­trak­cyj­ny bowiem świat mate­ma­ty­ki spla­ta się z aktyw­no­ścią ludz­kie­go umy­słu – przed­miotu huma­ni­sty­ki. Jej rozu­mie­nie pogłę­bi­ło się dzię­ki osią­gnię­ciom logi­ki mate­ma­tycz­nej.

Sto­so­wa­nie kwan­ty­fi­ka­to­rów jest tym, co umoż­li­wia pre­cy­zję w for­mu­ło­wa­niu pro­ble­mów i twier­dzeń do­tyczących rela­cji. Potrze­bu­je­my ich na każ­dym kro­ku, w szcze­gól­no­ści w mate­ma­ty­ce. Już w Elemen­tach Eukli­de­sa wiel­ka część twier­dzeń doty­czy istnie­nia obiek­tu będą­ce­go w rela­cji do danych wcze­śniej obiek­tów.

Na przy­kład: „dla każ­de­go odcin­ka pro­stej ist­nie­je trój­kąt rów­no­bocz­ny, któ­re­go dany odci­nek jest pod­stawą”. Kur­sy­wą zazna­czam zwrot mówią­cy o rela­cji tego trój­ką­ta do dane­go odcin­ka.

Wystę­po­wa­nie kwan­ty­fi­ka­to­ra egzy­sten­cjal­ne­go było w sty­li­sty­ce Ele­men­tów mało czy­tel­ne. Wszę­dzie bo­wiem, gdzie współ­cze­sny mate­ma­tyk uży­je KE, Eu­klides mówi o moż­li­wo­ści skon­stru­owa­nia (linia­łem i cyr­klem) okre­ślo­ne­go obiek­tu. Dziś mamy świa­domość, że reali­zo­wal­ność tego rodza­ju moż­li­wo­ści jest rów­no­waż­na mate­ma­tycz­ne­mu ist­nie­niu. Po­trzeba KOKE w roz­wa­ża­niach o rela­cjach sta­ła się szcze­gól­nie wyra­zi­sta przy pre­cy­zyj­nym defi­nio­wa­niu pojęć z ana­li­zy mate­ma­tycz­nej, któ­re mia­ło miej­sce w wie­ku XIX [por. tutaj].

Np. w defi­ni­cji rela­cji, jaką jest zbież­ność cią­gu an do gra­ni­cy, mamy nastę­pu­ją­cy szyk kwan­ty­fi­ka­to­rów:

>0δ>0n>δ|an − g| <∈

Wyra­zić tę myśl w potocz­nej pol­sz­czyź­nie, bez symbo­liki logicz­nej, to zada­nie tak nużą­ce i utrud­nia­ją­ce bieg myśli, że skła­nia­ło to logi­ków XIX wie­ku do poszuki­wania pro­ste­go kodu logicz­ne­go zdol­ne­go wyra­zić całą mate­ma­ty­kę w spo­sób wyso­ce przej­rzy­sty, a zara­zem zdol­ny kon­tro­lo­wać popraw­ność dowo­dów matema­tycznych.

Pierw­szy taki kod w posta­ci doj­rza­łe­go sys­te­mu logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów opu­bli­ko­wał mate­ma­tyk nie­miecki Got­tlob Fre­ge w roku 1879. Nie­ba­wem ana­logiczne sys­te­my powsta­ły w Anglii (B. Rus­sell), we Wło­szech (G. Peano), a potem w Pol­sce (J. Łuka­sie­wicz i A. Tar­ski).

Doj­rza­łość ozna­cza tu wię­cej niż tyl­ko pro­sto­tę i wygo­dę kodu. Pole­ga na tym, że były to sys­te­my ra­chunkowe, aksjo­ma­tycz­ne i sfor­ma­li­zo­wa­ne. Sys­tem twier­dzeń nazy­wa­my sfor­ma­li­zo­wa­nym, gdy wypro­wadza się je z aksjo­ma­tów za pomo­cą logicz­nych reguł wnio­sko­wa­nia, któ­re odwo­łu­ją się jedy­nie do for­my (czy­li kształ­tu) wyra­żeń, bez potrze­by odno­sze­nia się do ich tre­ści.

For­ma­li­za­cja toru­je dro­gę auto­ma­ty­za­cji rozu­mowań wła­śnie dzię­ki temu, że nie odwo­łu­je się do rozu­mie­nia tre­ści, któ­re jest dla maszy­ny nie­osią­gal­ne. Dzię­ki for­ma­li­za­cji każ­dy pro­blem mate­ma­tycz­ny roz­strzy­gal­ny przez czło­wie­ka może być też roz­strzy­gnię­ty przez maszy­nę.

§2. Europejski racjonalizm w stosowaniu logiki do kwestii światopoglądowych

Wśród tych kwe­stii na czo­ło wysu­wa się pyta­nie tyleż nie­ja­sne, co przej­mu­ją­ce: o sens ludz­kie­go ist­nie­nia. Od swe­go zara­nia ludz­kość pró­bu­je na to odpowie­dzieć w wie­rze­niach reli­gij­nych, mają­cych w cen­trum poję­cie bóstwa. Jed­nak ani ludom pier­wot­nym, ani uczo­nym Gre­kom i Rzy­mia­nom nie przy­cho­dzi­ło do gło­wy, żeby do pew­no­ści o ist­nie­niu Boga docho­dzić rozu­mo­wa­niem powo­łu­ją­cym się na pra­wa logi­ki.

Jest to feno­men śre­dnio­wiecz­nej scho­la­sty­ki, któ­ra pod­ję­ła hasło św. Anzel­ma z Can­ter­bu­ry (1033–1109): fides quaerens intel­lec­tum – wia­ra szu­ka­ją­ca racjonal­nego rozu­mie­nia. Ten­że Anzelm stwo­rzył dowód ist­nienia Boga zwa­ny onto­lo­gicz­nym [zob. tutaj].

Naj­więk­szy logik XX wie­ku Kurt Gödel zo­stawił w notat­kach swo­ją wer­sję argu­men­tu Anzel­ma, w któ­rej sto­su­je bar­dzo wyra­fi­no­wa­ną logi­kę kwan­ty­fi­ka­to­rów (modal­ną wyż­szych rzę­dów). Rekon­strukcje jego pomy­słu w tej logi­ce, w peł­ni sformali­zowane, zawdzię­cza­my kil­ku współ­cze­snym logi­kom o gło­śnych nazwi­skach. Naj­now­sza (Ben­zmül­ler 2014) sta­no­wi maj­stersz­tyk, któ­ry pole­ga na takiej formaliza­cji, żeby popraw­ność rozu­mo­wa­nia mogła być spraw­dzona kom­pu­te­ro­wo. Co też się sta­ło, przy­no­sząc pozy­tyw­ną odpo­wiedź co do jego popraw­no­ści logicz­nej. To oczy­wi­ście nie prze­są­dza o praw­dzi­wo­ści kon­klu­zji; ta współ­za­le­ży od praw­dzi­wo­ści wyj­ścio­wych prze­sła­nek, a o nich żywo dys­ku­tu­je się w lite­ra­tu­rze świa­to­wej [zob. tutaj].

Wynik Ben­zmül­le­ra otwie­ra per­spek­ty­wę na nowy nurt filo­zo­ficz­ny – filo­zo­fię obli­cze­nio­wą – ele­ment epo­ki infor­ma­tycz­nej. Głów­nym w tej filozo­fii środ­kiem argu­men­ta­cji jest logi­ka kwan­ty­fi­ka­to­rów wyż­szych rzę­dów. To zna­czy taka, w któ­rej przyj­muje się ist­nie­nie obiek­tów wyso­ce abs­trak­cyj­nych, jak zbio­ry i funk­cje, zbio­ry zbio­rów etc.

§3. Relacje i kwantyfikatory w kinetycznym dowodzie istnienia Boga

Nie się­ga­jąc w tak wyso­kie rejo­ny logi­ki, popa­trz­my na zasto­so­wa­nia kwan­ty­fi­ka­to­rów naj­niż­sze­go rzę­du w dowo­dzie z ruchu, ina­czej kine­tycz­nym, któ­re­go po­mysł wziął św. Tomasz z Akwi­nu (1225–1274) z do­ciekań astro­no­micz­nych Ary­sto­te­le­sa i zaadap­to­wał do celów teo­lo­gicz­nych.

Scho­la­stycz­ną łaci­nę Toma­sza prze­kła­dam poni­żej na język logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów. Lite­ry „Rx” to skrót pre­dy­ka­tu „x jest w Ruchu”, zaś „yPx” to skrót pre­dykatu rela­cyj­ne­go „y Poru­sza x”. W roli głów­nej prze­słan­ki przyj­mu­je Tomasz twier­dze­nie:

[T1] ∀xyx(Rx ⇒ yPx).

Oba sym­bo­le zmien­ne (x, y) doty­czą obiek­tów z roz­ległej dzie­dzi­ny bytów real­nych, tj. takich, któ­re są w krę­gu oddzia­ły­wań przy­czy­no­wych. Czy­ta­my za­tem: dla każ­de­go bytu będą­ce­go w ruchu ist­nie­je róż­ny od nie­go byt, któ­ry go poru­sza. Ruch rozu­mie Tomasz sze­ro­ko, nie tyl­ko jako prze­su­nię­cie w prze­strze­ni, lecz jako dowol­ną zmia­nę.

Czy z prze­słan­ki T1 wyni­ka wnio­sek o ist­nie­niu Uni­wer­sal­ne­go Pierw­sze­go Poru­szy­cie­la – UPP? Wnio­sek ten miał­by postać:

[T2] ∃yxx(Rx ⇒ yPx).

To zna­czy, ist­nie­je taki byt, któ­ry poru­sza wszyst­kie byty róż­ne od nie­go. Zda­nie T2 będzie praw­dzi­we zarów­no wte­dy, gdy UPP poru­sza każ­dy byt bez­po­śred­nio, jak i wte­dy, gdy czy­ni to za pośred­nic­twem innych bytów. Niech tę dru­gą ewen­tualność uprzy­tom­ni przy­kład.

Wska­zów­ka moje­go tra­dy­cyj­ne­go zegar­ka poru­sza się dzię­ki temu, że jest osa­dzo­na na ośce z try­bi­kiem poru­szanym przez inny try­bik, a ten ewen­tu­al­nie przez inny, aż doj­dzie się do sprę­ży­ny. Tę ja nakrę­ci­łem, ale ruch mo­ich pal­ców nie wziął się z nicze­go, lecz z prze­mia­ny ener­gii w moim orga­ni­zmie, a więc z pew­nych pro­ce­sów che­micznych, któ­rych prze­mia­ny są wzbu­dza­ne przez inne pro­ce­sy. W tym – wybuch jakiejś super­no­wej, z któ­re­go dotarł na zie­mię węgiel z jej wnę­trza i wszedł w skład bia­łek zdol­nych do prze­mia­ny mate­rii w moim organi­zmie. A ta spek­ta­ku­lar­na prze­mia­na mia­ła źró­dło w ja­kimś wcze­śniej­szym łań­cu­chu zmian, któ­re­go nie spo­sób do koń­ca prze­śle­dzić.

Oka­zu­je się, gdy zasto­su­je­my pew­ną pro­ce­du­rę for­malną logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów, że ze zda­nia T1 zda­nie T2 nie wyni­ka. Czy dało­by się je uzy­skać jako wnio­sek, gdy­by wzmoc­nić rozu­mo­wa­nie o jakieś inne jesz­cze prze­słan­ki? Tomasz dołą­czył prze­słan­kę o skoń­czo­no­ści łań­cu­cha zmian. Nie ma powo­du, żeby ją z miej­sca odrzu­cać, ale trze­ba się zasta­no­wić, co ma ona zna­czyć na grun­cie fizy­ki i kosmo­lo­gii. Poda­ny wyżej przy­kład ruchu zegar­ka poka­zu­je, jak skompli­kowane jest to zagad­nie­nie.

Nie miej­sce tutaj, żeby w nie wcho­dzić. Celem tych roz­wa­żań jest poka­za­nie, jak przy­dat­na jest lo­gika kwan­ty­fi­ka­to­rów, tak­że w zasto­so­wa­niu do pro­blemów świa­to­po­glą­do­wych. Tym przy­dat­niej­sza, że jest to język, któ­rym może­my poro­zu­mieć się z kom­puterem. To nie­wy­obra­żal­ny suk­ces racjo­na­li­zmu i ery infor­ma­tycz­nej, o któ­rym w naj­śmiel­szych snach nie mógł marzyć ani Ary­sto­te­les, ani Anzelm, ani Tomasz.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tema­ty.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.

W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

Fot.: pixabay.com, CC0

Najnowszy numer można nabyć od 2 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2020 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy