Artykuł Logika Warsztat logiczny

Witold Marciszewski: #11. Logika kwantyfikatorów. Rewolucja naukowa epoki informatycznej

Zalążek logiki jako nauki pojawił się w dziele Arystote­lesa Analityki ok. 350 p.n.e. Był to jedyny w obiegu system logiki aż do połowy wieku XIX. Wtedy począł się ferment, który doprowadził do przemiany podob­nie doniosłej, jak teoria względności i odkrycie kwantów w fizyce. Z obu tych nauk, jak z potężnych strumieni, powstał nurt, który kształtuje nowy etap historii – epokę informatyczną.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2017 nr 5 (17), s. 30–31. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


§1. Jaką trzeba mieć logikę, żeby rozumować na temat relacji

Pod­czas gdy ope­ra­to­ry logi­ki zdań – nega­cja, koniunk­cja etc. – two­rzą zda­nia zło­żo­ne z prost­szych, kwan­ty­fi­ka­to­ry dopo­wia­da­ją na treść zdań: ogól­ny wska­zu­je, że waru­nek zawar­ty w poprze­dza­ją­cym go zda­niu speł­nia­ją wszyst­kie ele­men­ty roz­wa­ża­nej dzie­dzi­ny; egzy­sten­cjal­ny poprze­sta­je na wska­za­niu, że ist­nie­je przy­naj­mniej jeden taki ele­ment. Oznacz­my je, odpo­wiednio, skró­ta­mi: KOKE.

To skrom­ne z pozo­ru uzu­peł­nie­nie lin­gwi­stycz­ne oka­za­ło się brze­mien­ne w skut­kach, gdy połą­czy­ło się z pro­ce­sa­mi aksjo­ma­ty­za­cji i for­ma­li­za­cji teo­rii mate­ma­tycz­nych. A wśród nich – aksjo­ma­ty­za­cji i for­ma­li­za­cji logi­ki, któ­ra – przy­braw­szy postać rachun­ku – sta­ła się teo­rią mate­ma­tycz­ną. Nie stra­ci­ła jed­nak przez to uczest­nic­twa w klu­bie nauk huma­nistycznych. Abs­trak­cyj­ny bowiem świat mate­ma­ty­ki spla­ta się z aktyw­no­ścią ludz­kie­go umy­słu – przed­miotu huma­ni­sty­ki. Jej rozu­mie­nie pogłę­bi­ło się dzię­ki osią­gnię­ciom logi­ki matematycznej.

Sto­so­wa­nie kwan­ty­fi­ka­to­rów jest tym, co umoż­li­wia pre­cy­zję w for­mu­ło­wa­niu pro­ble­mów i twier­dzeń do­tyczących rela­cji. Potrze­bu­je­my ich na każ­dym kro­ku, w szcze­gól­no­ści w mate­ma­ty­ce. Już w Elemen­tach Eukli­de­sa wiel­ka część twier­dzeń doty­czy istnie­nia obiek­tu będą­ce­go w rela­cji do danych wcze­śniej obiektów.

Na przy­kład: „dla każ­de­go odcin­ka pro­stej ist­nie­je trój­kąt rów­no­bocz­ny, któ­re­go dany odci­nek jest pod­stawą”. Kur­sy­wą zazna­czam zwrot mówią­cy o rela­cji tego trój­ką­ta do dane­go odcinka.

Wystę­po­wa­nie kwan­ty­fi­ka­to­ra egzy­sten­cjal­ne­go było w sty­li­sty­ce Ele­men­tów mało czy­tel­ne. Wszę­dzie bo­wiem, gdzie współ­cze­sny mate­ma­tyk uży­je KE, Eu­klides mówi o moż­li­wo­ści skon­stru­owa­nia (linia­łem i cyr­klem) okre­ślo­ne­go obiek­tu. Dziś mamy świa­domość, że reali­zo­wal­ność tego rodza­ju moż­li­wo­ści jest rów­no­waż­na mate­ma­tycz­ne­mu ist­nie­niu. Po­trzeba KOKE w roz­wa­ża­niach o rela­cjach sta­ła się szcze­gól­nie wyra­zi­sta przy pre­cy­zyj­nym defi­nio­wa­niu pojęć z ana­li­zy mate­ma­tycz­nej, któ­re mia­ło miej­sce w wie­ku XIX [por. tutaj].

Np. w defi­ni­cji rela­cji, jaką jest zbież­ność cią­gu an do gra­ni­cy, mamy nastę­pu­ją­cy szyk kwantyfikatorów:

>0δ>0n>δ|an − g| <∈

Wyra­zić tę myśl w potocz­nej pol­sz­czyź­nie, bez symbo­liki logicz­nej, to zada­nie tak nużą­ce i utrud­nia­ją­ce bieg myśli, że skła­nia­ło to logi­ków XIX wie­ku do poszuki­wania pro­ste­go kodu logicz­ne­go zdol­ne­go wyra­zić całą mate­ma­ty­kę w spo­sób wyso­ce przej­rzy­sty, a zara­zem zdol­ny kon­tro­lo­wać popraw­ność dowo­dów matematycznych.

Pierw­szy taki kod w posta­ci doj­rza­łe­go sys­te­mu logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów opu­bli­ko­wał mate­ma­tyk nie­miecki Got­tlob Fre­ge w roku 1879. Nie­ba­wem ana­logiczne sys­te­my powsta­ły w Anglii (B. Rus­sell), we Wło­szech (G. Peano), a potem w Pol­sce (J. Łuka­sie­wicz i A. Tarski).

Doj­rza­łość ozna­cza tu wię­cej niż tyl­ko pro­sto­tę i wygo­dę kodu. Pole­ga na tym, że były to sys­te­my ra­chunkowe, aksjo­ma­tycz­ne i sfor­ma­li­zo­wa­ne. Sys­tem twier­dzeń nazy­wa­my sfor­ma­li­zo­wa­nym, gdy wypro­wadza się je z aksjo­ma­tów za pomo­cą logicz­nych reguł wnio­sko­wa­nia, któ­re odwo­łu­ją się jedy­nie do for­my (czy­li kształ­tu) wyra­żeń, bez potrze­by odno­sze­nia się do ich treści.

For­ma­li­za­cja toru­je dro­gę auto­ma­ty­za­cji rozu­mowań wła­śnie dzię­ki temu, że nie odwo­łu­je się do rozu­mie­nia tre­ści, któ­re jest dla maszy­ny nie­osią­gal­ne. Dzię­ki for­ma­li­za­cji każ­dy pro­blem mate­ma­tycz­ny roz­strzy­gal­ny przez czło­wie­ka może być też roz­strzy­gnię­ty przez maszynę.

§2. Europejski racjonalizm w stosowaniu logiki do kwestii światopoglądowych

Wśród tych kwe­stii na czo­ło wysu­wa się pyta­nie tyleż nie­ja­sne, co przej­mu­ją­ce: o sens ludz­kie­go ist­nie­nia. Od swe­go zara­nia ludz­kość pró­bu­je na to odpowie­dzieć w wie­rze­niach reli­gij­nych, mają­cych w cen­trum poję­cie bóstwa. Jed­nak ani ludom pier­wot­nym, ani uczo­nym Gre­kom i Rzy­mia­nom nie przy­cho­dzi­ło do gło­wy, żeby do pew­no­ści o ist­nie­niu Boga docho­dzić rozu­mo­wa­niem powo­łu­ją­cym się na pra­wa logiki.

Jest to feno­men śre­dnio­wiecz­nej scho­la­sty­ki, któ­ra pod­ję­ła hasło św. Anzel­ma z Can­ter­bu­ry (1033–1109): fides quaerens intel­lec­tum – wia­ra szu­ka­ją­ca racjonal­nego rozu­mie­nia. Ten­że Anzelm stwo­rzył dowód ist­nienia Boga zwa­ny onto­lo­gicz­nym [zob. tutaj].

Naj­więk­szy logik XX wie­ku Kurt Gödel zo­stawił w notat­kach swo­ją wer­sję argu­men­tu Anzel­ma, w któ­rej sto­su­je bar­dzo wyra­fi­no­wa­ną logi­kę kwan­ty­fi­ka­to­rów (modal­ną wyż­szych rzę­dów). Rekon­strukcje jego pomy­słu w tej logi­ce, w peł­ni sformali­zowane, zawdzię­cza­my kil­ku współ­cze­snym logi­kom o gło­śnych nazwi­skach. Naj­now­sza (Ben­zmül­ler 2014) sta­no­wi maj­stersz­tyk, któ­ry pole­ga na takiej formaliza­cji, żeby popraw­ność rozu­mo­wa­nia mogła być spraw­dzona kom­pu­te­ro­wo. Co też się sta­ło, przy­no­sząc pozy­tyw­ną odpo­wiedź co do jego popraw­no­ści logicz­nej. To oczy­wi­ście nie prze­są­dza o praw­dzi­wo­ści kon­klu­zji; ta współ­za­le­ży od praw­dzi­wo­ści wyj­ścio­wych prze­sła­nek, a o nich żywo dys­ku­tu­je się w lite­ra­tu­rze świa­to­wej [zob. tutaj].

Wynik Ben­zmül­le­ra otwie­ra per­spek­ty­wę na nowy nurt filo­zo­ficz­ny – filo­zo­fię obli­cze­nio­wą – ele­ment epo­ki infor­ma­tycz­nej. Głów­nym w tej filozo­fii środ­kiem argu­men­ta­cji jest logi­ka kwan­ty­fi­ka­to­rów wyż­szych rzę­dów. To zna­czy taka, w któ­rej przyj­muje się ist­nie­nie obiek­tów wyso­ce abs­trak­cyj­nych, jak zbio­ry i funk­cje, zbio­ry zbio­rów etc.

§3. Relacje i kwantyfikatory w kinetycznym dowodzie istnienia Boga

Nie się­ga­jąc w tak wyso­kie rejo­ny logi­ki, popa­trz­my na zasto­so­wa­nia kwan­ty­fi­ka­to­rów naj­niż­sze­go rzę­du w dowo­dzie z ruchu, ina­czej kine­tycz­nym, któ­re­go po­mysł wziął św. Tomasz z Akwi­nu (1225–1274) z do­ciekań astro­no­micz­nych Ary­sto­te­le­sa i zaadap­to­wał do celów teologicznych.

Scho­la­stycz­ną łaci­nę Toma­sza prze­kła­dam poni­żej na język logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów. Lite­ry „Rx” to skrót pre­dy­ka­tu „x jest w Ruchu”, zaś „yPx” to skrót pre­dykatu rela­cyj­ne­go „y Poru­sza x”. W roli głów­nej prze­słan­ki przyj­mu­je Tomasz twierdzenie:

[T1] ∀xyx(Rx ⇒ yPx).

Oba sym­bo­le zmien­ne (x, y) doty­czą obiek­tów z roz­ległej dzie­dzi­ny bytów real­nych, tj. takich, któ­re są w krę­gu oddzia­ły­wań przy­czy­no­wych. Czy­ta­my za­tem: dla każ­de­go bytu będą­ce­go w ruchu ist­nie­je róż­ny od nie­go byt, któ­ry go poru­sza. Ruch rozu­mie Tomasz sze­ro­ko, nie tyl­ko jako prze­su­nię­cie w prze­strze­ni, lecz jako dowol­ną zmianę.

Czy z prze­słan­ki T1 wyni­ka wnio­sek o ist­nie­niu Uni­wer­sal­ne­go Pierw­sze­go Poru­szy­cie­la – UPP? Wnio­sek ten miał­by postać:

[T2] ∃yxx(Rx ⇒ yPx).

To zna­czy, ist­nie­je taki byt, któ­ry poru­sza wszyst­kie byty róż­ne od nie­go. Zda­nie T2 będzie praw­dzi­we zarów­no wte­dy, gdy UPP poru­sza każ­dy byt bez­po­śred­nio, jak i wte­dy, gdy czy­ni to za pośred­nic­twem innych bytów. Niech tę dru­gą ewen­tualność uprzy­tom­ni przykład.

Wska­zów­ka moje­go tra­dy­cyj­ne­go zegar­ka poru­sza się dzię­ki temu, że jest osa­dzo­na na ośce z try­bi­kiem poru­szanym przez inny try­bik, a ten ewen­tu­al­nie przez inny, aż doj­dzie się do sprę­ży­ny. Tę ja nakrę­ci­łem, ale ruch mo­ich pal­ców nie wziął się z nicze­go, lecz z prze­mia­ny ener­gii w moim orga­ni­zmie, a więc z pew­nych pro­ce­sów che­micznych, któ­rych prze­mia­ny są wzbu­dza­ne przez inne pro­ce­sy. W tym – wybuch jakiejś super­no­wej, z któ­re­go dotarł na zie­mię węgiel z jej wnę­trza i wszedł w skład bia­łek zdol­nych do prze­mia­ny mate­rii w moim organi­zmie. A ta spek­ta­ku­lar­na prze­mia­na mia­ła źró­dło w ja­kimś wcze­śniej­szym łań­cu­chu zmian, któ­re­go nie spo­sób do koń­ca prześledzić.

Oka­zu­je się, gdy zasto­su­je­my pew­ną pro­ce­du­rę for­malną logi­ki kwan­ty­fi­ka­to­rów, że ze zda­nia T1 zda­nie T2 nie wyni­ka. Czy dało­by się je uzy­skać jako wnio­sek, gdy­by wzmoc­nić rozu­mo­wa­nie o jakieś inne jesz­cze prze­słan­ki? Tomasz dołą­czył prze­słan­kę o skoń­czo­no­ści łań­cu­cha zmian. Nie ma powo­du, żeby ją z miej­sca odrzu­cać, ale trze­ba się zasta­no­wić, co ma ona zna­czyć na grun­cie fizy­ki i kosmo­lo­gii. Poda­ny wyżej przy­kład ruchu zegar­ka poka­zu­je, jak skompli­kowane jest to zagadnienie.

Nie miej­sce tutaj, żeby w nie wcho­dzić. Celem tych roz­wa­żań jest poka­za­nie, jak przy­dat­na jest lo­gika kwan­ty­fi­ka­to­rów, tak­że w zasto­so­wa­niu do pro­blemów świa­to­po­glą­do­wych. Tym przy­dat­niej­sza, że jest to język, któ­rym może­my poro­zu­mieć się z kom­puterem. To nie­wy­obra­żal­ny suk­ces racjo­na­li­zmu i ery infor­ma­tycz­nej, o któ­rym w naj­śmiel­szych snach nie mógł marzyć ani Ary­sto­te­les, ani Anzelm, ani Tomasz.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tematy.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.

W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

Fot.: pixabay.com, CC0

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy