Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 5 (17), s. 30–31. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
§1. Jaką trzeba mieć logikę, żeby rozumować na temat relacji
Podczas gdy operatory logiki zdań – negacja, koniunkcja etc. – tworzą zdania złożone z prostszych, kwantyfikatory dopowiadają na treść zdań: ogólny wskazuje, że warunek zawarty w poprzedzającym go zdaniu spełniają wszystkie elementy rozważanej dziedziny; egzystencjalny poprzestaje na wskazaniu, że istnieje przynajmniej jeden taki element. Oznaczmy je, odpowiednio, skrótami: KO, KE.
To skromne z pozoru uzupełnienie lingwistyczne okazało się brzemienne w skutkach, gdy połączyło się z procesami aksjomatyzacji i formalizacji teorii matematycznych. A wśród nich – aksjomatyzacji i formalizacji logiki, która – przybrawszy postać rachunku – stała się teorią matematyczną. Nie straciła jednak przez to uczestnictwa w klubie nauk humanistycznych. Abstrakcyjny bowiem świat matematyki splata się z aktywnością ludzkiego umysłu – przedmiotu humanistyki. Jej rozumienie pogłębiło się dzięki osiągnięciom logiki matematycznej.
Stosowanie kwantyfikatorów jest tym, co umożliwia precyzję w formułowaniu problemów i twierdzeń dotyczących relacji. Potrzebujemy ich na każdym kroku, w szczególności w matematyce. Już w Elementach Euklidesa wielka część twierdzeń dotyczy istnienia obiektu będącego w relacji do danych wcześniej obiektów.
Na przykład: „dla każdego odcinka prostej istnieje trójkąt równoboczny, którego dany odcinek jest podstawą”. Kursywą zaznaczam zwrot mówiący o relacji tego trójkąta do danego odcinka.
Występowanie kwantyfikatora egzystencjalnego było w stylistyce Elementów mało czytelne. Wszędzie bowiem, gdzie współczesny matematyk użyje KE, Euklides mówi o możliwości skonstruowania (liniałem i cyrklem) określonego obiektu. Dziś mamy świadomość, że realizowalność tego rodzaju możliwości jest równoważna matematycznemu istnieniu. Potrzeba KO i KE w rozważaniach o relacjach stała się szczególnie wyrazista przy precyzyjnym definiowaniu pojęć z analizy matematycznej, które miało miejsce w wieku XIX [por. tutaj].
Np. w definicji relacji, jaką jest zbieżność ciągu an do granicy, mamy następujący szyk kwantyfikatorów:
∀∈>0∃δ>0∀n>δ|an − g| <∈
Wyrazić tę myśl w potocznej polszczyźnie, bez symboliki logicznej, to zadanie tak nużące i utrudniające bieg myśli, że skłaniało to logików XIX wieku do poszukiwania prostego kodu logicznego zdolnego wyrazić całą matematykę w sposób wysoce przejrzysty, a zarazem zdolny kontrolować poprawność dowodów matematycznych.
Pierwszy taki kod w postaci dojrzałego systemu logiki kwantyfikatorów opublikował matematyk niemiecki Gottlob Frege w roku 1879. Niebawem analogiczne systemy powstały w Anglii (B. Russell), we Włoszech (G. Peano), a potem w Polsce (J. Łukasiewicz i A. Tarski).
Dojrzałość oznacza tu więcej niż tylko prostotę i wygodę kodu. Polega na tym, że były to systemy rachunkowe, aksjomatyczne i sformalizowane. System twierdzeń nazywamy sformalizowanym, gdy wyprowadza się je z aksjomatów za pomocą logicznych reguł wnioskowania, które odwołują się jedynie do formy (czyli kształtu) wyrażeń, bez potrzeby odnoszenia się do ich treści.
Formalizacja toruje drogę automatyzacji rozumowań właśnie dzięki temu, że nie odwołuje się do rozumienia treści, które jest dla maszyny nieosiągalne. Dzięki formalizacji każdy problem matematyczny rozstrzygalny przez człowieka może być też rozstrzygnięty przez maszynę.
§2. Europejski racjonalizm w stosowaniu logiki do kwestii światopoglądowych
Wśród tych kwestii na czoło wysuwa się pytanie tyleż niejasne, co przejmujące: o sens ludzkiego istnienia. Od swego zarania ludzkość próbuje na to odpowiedzieć w wierzeniach religijnych, mających w centrum pojęcie bóstwa. Jednak ani ludom pierwotnym, ani uczonym Grekom i Rzymianom nie przychodziło do głowy, żeby do pewności o istnieniu Boga dochodzić rozumowaniem powołującym się na prawa logiki.
Jest to fenomen średniowiecznej scholastyki, która podjęła hasło św. Anzelma z Canterbury (1033–1109): fides quaerens intellectum – wiara szukająca racjonalnego rozumienia. Tenże Anzelm stworzył dowód istnienia Boga zwany ontologicznym [zob. tutaj].
Największy logik XX wieku Kurt Gödel zostawił w notatkach swoją wersję argumentu Anzelma, w której stosuje bardzo wyrafinowaną logikę kwantyfikatorów (modalną wyższych rzędów). Rekonstrukcje jego pomysłu w tej logice, w pełni sformalizowane, zawdzięczamy kilku współczesnym logikom o głośnych nazwiskach. Najnowsza (Benzmüller 2014) stanowi majstersztyk, który polega na takiej formalizacji, żeby poprawność rozumowania mogła być sprawdzona komputerowo. Co też się stało, przynosząc pozytywną odpowiedź co do jego poprawności logicznej. To oczywiście nie przesądza o prawdziwości konkluzji; ta współzależy od prawdziwości wyjściowych przesłanek, a o nich żywo dyskutuje się w literaturze światowej [zob. tutaj].
Wynik Benzmüllera otwiera perspektywę na nowy nurt filozoficzny – filozofię obliczeniową – element epoki informatycznej. Głównym w tej filozofii środkiem argumentacji jest logika kwantyfikatorów wyższych rzędów. To znaczy taka, w której przyjmuje się istnienie obiektów wysoce abstrakcyjnych, jak zbiory i funkcje, zbiory zbiorów etc.
§3. Relacje i kwantyfikatory w kinetycznym dowodzie istnienia Boga
Nie sięgając w tak wysokie rejony logiki, popatrzmy na zastosowania kwantyfikatorów najniższego rzędu w dowodzie z ruchu, inaczej kinetycznym, którego pomysł wziął św. Tomasz z Akwinu (1225–1274) z dociekań astronomicznych Arystotelesa i zaadaptował do celów teologicznych.
Scholastyczną łacinę Tomasza przekładam poniżej na język logiki kwantyfikatorów. Litery „Rx” to skrót predykatu „x jest w Ruchu”, zaś „yPx” to skrót predykatu relacyjnego „y Porusza x”. W roli głównej przesłanki przyjmuje Tomasz twierdzenie:
[T1] ∀x∃y≠x(Rx ⇒ yPx).
Oba symbole zmienne (x, y) dotyczą obiektów z rozległej dziedziny bytów realnych, tj. takich, które są w kręgu oddziaływań przyczynowych. Czytamy zatem: dla każdego bytu będącego w ruchu istnieje różny od niego byt, który go porusza. Ruch rozumie Tomasz szeroko, nie tylko jako przesunięcie w przestrzeni, lecz jako dowolną zmianę.
Czy z przesłanki T1 wynika wniosek o istnieniu Uniwersalnego Pierwszego Poruszyciela – UPP? Wniosek ten miałby postać:
[T2] ∃y≠x∀x(Rx ⇒ yPx).
To znaczy, istnieje taki byt, który porusza wszystkie byty różne od niego. Zdanie T2 będzie prawdziwe zarówno wtedy, gdy UPP porusza każdy byt bezpośrednio, jak i wtedy, gdy czyni to za pośrednictwem innych bytów. Niech tę drugą ewentualność uprzytomni przykład.
Wskazówka mojego tradycyjnego zegarka porusza się dzięki temu, że jest osadzona na ośce z trybikiem poruszanym przez inny trybik, a ten ewentualnie przez inny, aż dojdzie się do sprężyny. Tę ja nakręciłem, ale ruch moich palców nie wziął się z niczego, lecz z przemiany energii w moim organizmie, a więc z pewnych procesów chemicznych, których przemiany są wzbudzane przez inne procesy. W tym – wybuch jakiejś supernowej, z którego dotarł na ziemię węgiel z jej wnętrza i wszedł w skład białek zdolnych do przemiany materii w moim organizmie. A ta spektakularna przemiana miała źródło w jakimś wcześniejszym łańcuchu zmian, którego nie sposób do końca prześledzić.
Okazuje się, gdy zastosujemy pewną procedurę formalną logiki kwantyfikatorów, że ze zdania T1 zdanie T2 nie wynika. Czy dałoby się je uzyskać jako wniosek, gdyby wzmocnić rozumowanie o jakieś inne jeszcze przesłanki? Tomasz dołączył przesłankę o skończoności łańcucha zmian. Nie ma powodu, żeby ją z miejsca odrzucać, ale trzeba się zastanowić, co ma ona znaczyć na gruncie fizyki i kosmologii. Podany wyżej przykład ruchu zegarka pokazuje, jak skomplikowane jest to zagadnienie.
Nie miejsce tutaj, żeby w nie wchodzić. Celem tych rozważań jest pokazanie, jak przydatna jest logika kwantyfikatorów, także w zastosowaniu do problemów światopoglądowych. Tym przydatniejsza, że jest to język, którym możemy porozumieć się z komputerem. To niewyobrażalny sukces racjonalizmu i ery informatycznej, o którym w najśmielszych snach nie mógł marzyć ani Arystoteles, ani Anzelm, ani Tomasz.
Witold Marciszewski – profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
Fot.: pixabay.com, CC0
Skomentuj