Witold Marciszewski: #8. Logiczny sens spójnika „i” a jego sensy potoczne

Zacznijmy od zwrócenia uwagi na fakt, że język, w którym są formułowane rachunki logiczne, ma charakter czysto graficzny. Nie istnieje dlań gotowy język mówiony. Istnieją natomiast ważne podobieństwa między znaczeniami symboli logicznych i znaczeniami pewnych spójników języka, którymi posługujemy się na co dzień: „i” (∧), „lub” (∨), „jeśli” (→) itd. Do nich dołączy zwrot przeczący „nie” (¬).

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 2 (14), s. 26–27. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

Ten rodzaj zbieżności, dzięki któremu rozumowania w językach naturalnych możemy odtwarzać i uściślać za pomocą logiki symbolicznej, wyjaśnia się faktem rozważanym w odcinku #4: podstawy logiki przynosimy na świat w głowach, a rozwija je środowisko kulturowe. Nie jest to zbieżność idealna, ale przybliżenie do niej na tyle dobre, że – uściślając rozumowanie – można praktycznie zastępować spójniki i słowo „nie” ich symbolicznymi odpowiednikami z teorii logicznej. Nazywamy ją rachunkiem zdań z tej racji, że słowo „nie” i spójniki logiczne operują na zdaniach; mianowicie dokonujemy negacji pojedynczego zdania, zaś spójnikami łączymy zdania w większe całości.

Żeby lepiej sobie uprzytomnić naturę tej zbieżności, rozważmy pewną analogię: stosunek między północnym biegunem geograficznym a północnym biegunem magnetycznym. Nie są one położone w tym samym miejscu, ale na tyle blisko, że – zmierzając do bieguna geograficznego – możemy kierować się na magnetyczny, wskazywany igłą kompasu. Oto mała na ten temat anegdota.

Na dziedzińcu w Greenwich, gdzie obok gmachu muzeum morskiego wmontowana jest sztaba południka zero wskazującą północ, położyłem na niej kompas (tak sobie, z ciekawości). Myślałem, że jej kierunek pokryje się z kierunkiem igły. Ta jednak odchyliła się pod wyraźnie widocznym kątem. Widząc moje zaaferowanie, stojący obok strażnik muzeum spojrzał na kompas i też odniósł wrażenie, że coś tu nie gra. Po chwili jednak dotarło do mnie, że biegun magnetyczny nie pokrywa się z geograficznym. Wskazuje go tylko w przybliżeniu, co praktycznie wystarcza do nawigacji. Gdy podzieliłem się tym odkryciem, strażnik zapytał „Where are you from?”. Na odpowiedź, że z Polski, zareagował sympatycznie: „I see, Copernicus’ country!”. Pewnie pomyślał, że rodacy Kopernika tak już mają, że się pasjonują naturą globu. Ujęty tym, wyrobił nam, mnie i żonie, gratisowe bilety do muzeum, i tak miło się zakończyła przygoda z południkiem zero.

Odchylenie od bieguna geograficznego w kierunku bieguna magnetycznego nie jest istotne z punktu widzenia nawigacji. Podobnie zaniedbywalne są w analizie rozumowań odchylenia sensu operatorów logicznych od ich potocznych odpowiedników.

Spójnik „i” w pewnej klasie kontekstów ma sens identyczny ze znaczeniem symbolu koniunkcji występującego w kontekście symboli zmiennych p i q, które reprezentują dowolne zdania: p ∧ q. To samo dotyczy określonej klasy podstawień za te zmienne. Spełniają one cztery następujące równania składające się na definicję koniunkcji.

Koniunkcja: p ∧ q; czytamy: p i q.

Definicja przez układ równań:

1 ∧ 1 = 1, 1 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0, 0 ∧ 0 = 0.

Przykład. Zdanie „pada deszcz i świeci słońce” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz i świeci słońce. Operator koniunkcji przekształca w prawdę dwie prawdy składowe. W każdym innym układzie wartości logicznych wynikiem operacji koniunkcji jest zdanie fałszywe.

Powyższa definicja określa szkielet logiczny koniunkcji – w tym sensie, że wynikają z niej takie oto m.in. prawdy logiczne (symbol → odczytujemy przez „jeśli”).

Przemienność koniunkcji:

(p ∧ q) → (q ∧ p).

Inne prawdy: (p ∧ q) → p, (p ∧ q) → q, p → (q → (p ∧ q)).

Ilekroć podstawimy za p i q zdania języka polskiego, gdy kontekst wymaga jedynie brania pod uwagę ich wartości logicznej z pominięciem innych aspektów, otrzymamy zdania prawdziwe.

W poprzednim akapicie bardzo ważne jest zastrzeżenie „z pominięciem innych aspektów”. Trzeba się zastanowić, jakie bywają te inne – tj. odchylające się od sensu logicznego – aspekty. Weźmy zwrot „wychylił się z okna i zawołał”. Ten opis sytuacji nie spełnia prawa przemienności, bo mamy tu do czynienia z niedającym się przestawić następstwem chwil. Gdy zdarzenia są równoczesne, to w pewnych kontekstach zdanie z „i” także nie podlega przemienności (wędrowała przez las i czuła się szczęśliwa).

Daje też do myślenia porównanie „i” z „a”; to drugie dodaje do koniunkcji relację przeciwstawności, której nie da się odtworzyć w języku logiki.

Pomimo takich odchyleń znaczeniowych spójniki logiczne mają na tyle zbliżony sens do spójników potocznych, że możemy uściślać rozumowania potoczne oraz kontrolować ich poprawność, wyrażając je w języku logiki.

Podsumujmy opowieść o koniunkcji. Spójniki logiczne służą do tworzenia coraz to bardziej złożonych struktur zdaniowych, każdy według właściwego sobie prawa. Koniunkcją rządzi prawo, że wtedy i tylko wtedy, gdy połączymy zdania prawdziwe, wyłoni się z nich nowe, bardziej złożone i niosące więcej informacji zdanie prawdziwe.

Koniunkcyjnie łącząc zdania
wiele ma się do wygrania:
gdy o świecie wiedza szczera,
w każdym członie się zawiera,
prawda z obu się wyłania.

Witold Marciszewski – profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.