Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 3 (15), s. 26–27. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
Definicja alternatywy:
co najmniej jedno z…
Operator alternatywy p ˅ q możemy definiować na dwa sposoby. W jednym podaje się układ równań zero-jedynkowych; mówią one, jaka ma być wartość logiczna zdań składowych, żeby zdanie złożone (p lub q) miało wartość logiczną prawdy; tak postępowaliśmy w przypadku negacji i koniunkcji (#7 i #8). Podobnie będzie teraz z alternatywą.
Alternatywa: p ˅ q, tj. co najmniej jedno z dwojga: p lub q.
Definicja przez układ równań:
1 ˅ 1 = 1, 1 ˅ 0 = 1, 0 ˅ 1 = 1, 0 ˅ 0 = 0.
Przykład. Zdanie „Pada deszcz lub świeci słońce” jest prawdziwe przy trzech kombinacjach 0 i 1, mianowicie gdy zachodzą obie sytuacje lub zachodzi przynajmniej jedna z nich (obojętnie która). Fałszywe jest wtedy i tylko wtedy, gdy żadna sytuacja nie spełnia zdań składowych, czyli gdy oba mają wartość 0.
Drugi sposób definiowania polega na tym, że traktujemy symbole negacji i koniunkcji jako zrozumiałe dzięki wcześniejszemu obdarzeniu ich sensem przez układy równań zero-jedynkowych. Symbol alternatywy natomiast, dotąd niewystępujący i niezdefiniowany, uczynimy zrozumiałym przez zdefiniowanie go za pomocą terminów już obecnych w języku.
Intuicję prowadzącą do tej definicji mamy zakodowaną w regułach znaczeniowych języka polskiego. Jeśli rodzic powie dziecku „Dostaniesz na gwiazdkę rower lub tablet”, to dziecko, ufając rodzicowi, jest spokojne, że nie będzie tak, że nie dostanie ani jednego, ani drugiego. Jest to więc przypadek, w którym realizuje się ten ogólny schemat:
Definicja alternatywy:
p ˅ q = df ¬(¬p ˄ ¬q).
Pora na pytanie, które niezmiennie nasuwa się czytelnikom i słuchaczom wywodów o alternatywie. Przyjmijmy, że dziecko dostało oba prezenty naraz, a rodzic komentuje to powiedzeniem: „Dostałeś rower lub tablet”. Czy byłoby to trafne określenie zaistniałego stanu rzeczy? Byłby to błąd w sztuce komunikacji, bo w mowie potocznej „lub” stosujemy dla wyrażenia naszej niepewności, który człon dostąpi realizacji, a gdy już wiemy, że realizacji dostąpił i jeden, i drugi, „lub” traci sens, jest natomiast sensowne powiedzieć „i”. Logika jednak nie jest od wnikania w tajniki komunikacji, a tylko od badania, co ma wpływ na prawdziwość konkluzji w naszych rozumowaniach. Ma go zwrot „przynajmniej jedno z dwojga”, zaś dla wygody utarło się wśród logików zastępować go krótkim „lub”.
W naszej mowie codziennej często używamy spójnika „lub” bez tej intencji poszerzającej w słowach „przynajmniej jedno z dwojga”. Taki sens „lub” jest nam na co dzień potrzebny, skoro tak, się przyjął.
Gdy go definiujemy przez równania zero-jedynkowe, mamy układ:
1 lub 1 = 0, 1 lub 0 = 1, 0 lub 1 = 1, 0 lub 0 = 0.
Można potoczne „lub” zdefiniować w taki sposób jak wyżej i będzie to pełnoprawny uczestnik zbioru spójników logicznych. Spójnik alternatywy jednakże, taki jak go określa definicja, nadal będzie potrzebny w naszym myśleniu; np. matematycy nie mogą się bez niego obejść w dowodzeniu twierdzeń, a informatycy potrzebują go do konstruowania bramek logicznych w procesorach.
Definicja implikacji: nie jest tak, że to, a nie tamto
Wśród znaczeń łacińskiego implicare mamy: wiązać, wciągać, pociagać itp. Wykorzystajmy ostatnie z tych słów. Pociąganie (czyli implikowanie) jest to stosunek zachodzący w obrębie zdania warunkowego (czyli implikacji): p(oprzednik) implikuje n(astępnik). Symbolicznie zapisujemy to zdaniem p → n, a potocznie: jeśli p, to n.
Oto definicja implikacji za pomocą koniunkcji z negacją:
Definicja implikacji:
p → n = df ¬(p ˄ ¬n).
Istnieje więc ekwiwalent znaczeniowy implikacji bez użycia „jeśli”. Niech to ilustruje scenka sprzeczki. Paweł zarzuca Gawłowi niesłowność, niedotrzymanie obietnicy, że nie będzie nocą hałasował. Gaweł broni się wskazaniem na znaną otoczeniu cechę swego charakteru („Ob. 1” oznacza pierwsze zdanie obrony):
Ob. 1: Jeżeli daję słowo (s), to go dotrzymuję (d).
Symbolicznie: s → d. Żeby wzmocnić retorycznie tę deklarację, Gaweł powtarza ją na inny sposób, do czego jest logicznie uprawniony na mocy definicji implikacji.
Ob. 2: Nie zdarza się, żebym dał słowo i go nie dotrzymał. Symbolicznie:
¬(s ˄ ¬d).
Wybierając formę Ob. 2, Gaweł stwarza sytuację, w której ponowienie zarzutu przez Pawła polegałoby na zaprzeczeniu tej formie, co będzie negacją negacji, a więc sprowadzeniem zarzutu do formy koniunkcji: s ˄ ¬d. W tym punkcie łatwo jest Gawłowi o ripostę: „Wymień choć jeden przypadek, kiedy tak było”. O ile się to Pawłowi nie uda, znajdzie się on na straconej
pozycji.
Jest więc powód, żeby polubić tę zgrabną postać logiczną, wzorem młodzieńca opisanego limerykiem:
Pewien młodzian zacnej nacji
zakochany był w Negacji.
A że serca nie żałował,
Koniunkcję też adorował,
z tak miłej rad kombinacji.
Witold Marciszewski – profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
< Powrót do spisu treści numeru.
Ilustracja: Malwina Adaszek
Skomentuj