Artykuł Logika Warsztat logiczny

Witold Marciszewski: #9. Współpraca koniunkcji z negacją w definiowaniu innych operatorów

Szkic ten nawiązuje do przytoczonej w poprzednim odcinku „przypowieści”, która mówiła o stosunku bieguna magnetycznego do geogra­ficznego na północy. Magnetyczny nie pokrywa się z geo­graficznym, a jednak wiarygodnie wskazuje, jak się na niego kie­rować. Operatory logiki symbolicznej niuansami znaczeniowymi różnią się od ich odpowiedników w języku polskim. A przecież wiarygodnie wskazują na treść i moc logiczną tych drugich. Rozważmy ów stosu­nek w przypadku alternatywy i implikacji.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2017 nr 3 (15), s. 26–27.  W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Definicja alternatywy:
co najmniej jedno z…

Ope­ra­tor alter­na­ty­wy p ˅ q może­my defi­nio­wać na dwa spo­so­by. W jed­nym poda­je się układ rów­nań zero-jedyn­ko­wych; mówią one, jaka ma być war­tość logicz­na zdań skła­do­wych, żeby zda­nie zło­żo­ne (p lub q) mia­ło war­tość logicz­ną praw­dy; tak postę­po­wa­li­śmy w przy­pad­ku nega­cji i koniunk­cji (#7 i #8). Podob­nie będzie teraz z alternatywą.

Alter­na­ty­wa: p ˅ q, tj. co naj­mniej jed­no z dwoj­ga: p lub q.

Defi­ni­cja przez układ równań:
1 ˅ 1 = 1, 1 ˅ 0 = 1, 0 ˅ 1 = 1, 0 ˅ 0 = 0.

Przy­kład. Zda­nie „Pada deszcz lub świe­ci słoń­ce” jest praw­dzi­we przy trzech kom­bi­na­cjach 0 i 1, mianowi­cie gdy zacho­dzą obie sytu­acje lub zacho­dzi przy­naj­mniej jed­na z nich (obo­jęt­nie któ­ra). Fał­szy­we jest wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy żad­na sytu­acja nie speł­nia zdań skła­do­wych, czy­li gdy oba mają war­tość 0.

Dru­gi spo­sób defi­nio­wa­nia pole­ga na tym, że trak­tujemy sym­bo­le nega­cji i koniunk­cji jako zro­zu­mia­łe dzię­ki wcze­śniej­sze­mu obda­rze­niu ich sen­sem przez ukła­dy rów­nań zero-jedyn­ko­wych. Sym­bol alter­na­ty­wy nato­miast, dotąd nie­wy­stę­pu­ją­cy i nie­zde­fi­nio­wa­ny, uczy­ni­my zrozu­miałym przez zde­fi­nio­wa­nie go za pomo­cą ter­mi­nów już obec­nych w języku.

Intu­icję pro­wa­dzą­cą do tej defi­ni­cji mamy zako­dowaną w regu­łach zna­cze­nio­wych języ­ka pol­skie­go. Jeśli rodzic powie dziec­ku „Dosta­niesz na gwiazd­kę ro­wer lub tablet”, to dziec­ko, ufa­jąc rodzi­co­wi, jest spo­kojne, że nie będzie tak, że nie dosta­nie ani jed­ne­go, ani dru­gie­go. Jest to więc przy­pa­dek, w któ­rym reali­zuje się ten ogól­ny schemat:

Defi­ni­cja alternatywy:
p ˅ q = df ¬(¬p ˄ ¬q).

Pora na pyta­nie, któ­re nie­zmien­nie nasu­wa się czy­tel­ni­kom i słu­cha­czom wywo­dów o alter­na­ty­wie. Przyj­mij­my, że dziec­ko dosta­ło oba pre­zen­ty naraz, a rodzic komen­tu­je to powie­dze­niem: „Dosta­łeś ro­wer lub tablet”. Czy było­by to traf­ne okre­śle­nie za­istniałego sta­nu rze­czy? Był­by to błąd w sztu­ce ko­munikacji, bo w mowie potocz­nej „lub” sto­su­je­my dla wyra­że­nia naszej nie­pew­no­ści, któ­ry człon dostą­pi re­alizacji, a gdy już wie­my, że reali­za­cji dostą­pił i jeden, i dru­gi, „lub” tra­ci sens, jest nato­miast sen­sow­ne powie­dzieć „i”. Lo­gika jed­nak nie jest od wni­ka­nia w taj­ni­ki komu­ni­ka­cji, a tyl­ko od bada­nia, co ma wpływ na praw­dzi­wość kon­kluzji w naszych rozu­mo­wa­niach. Ma go zwrot „przy­najmniej jed­no z dwoj­ga”, zaś dla wygo­dy utar­ło się wśród logi­ków zastę­po­wać go krót­kim „lub”.

W naszej mowie codzien­nej czę­sto uży­wa­my spój­ni­ka „lub” bez tej inten­cji posze­rza­ją­cej w sło­wach „przy­naj­mniej jed­no z dwoj­ga”. Taki sens „lub” jest nam na co dzień potrzeb­ny, sko­ro tak, się przyjął.

Gdy go defi­niu­je­my przez rów­na­nia zero-jedyn­ko­we, mamy układ:

1 lub 1 = 0, 1 lub 0 = 1, 0 lub 1 = 1, 0 lub 0 = 0.

Moż­na potocz­ne „lub” zde­fi­nio­wać w taki spo­sób jak wyżej i będzie to peł­no­praw­ny uczest­nik zbio­ru spój­ni­ków logicz­nych. Spój­nik alterna­tywy jed­nak­że, taki jak go okre­śla defi­ni­cja, nadal będzie potrzeb­ny w naszym myśle­niu; np. mate­ma­ty­cy nie mogą się bez nie­go obejść w dowo­dze­niu twier­dzeń, a infor­ma­ty­cy potrze­bu­ją go do kon­stru­owa­nia bra­mek logicz­nych w procesorach.

Definicja implikacji: nie jest tak, że to, a nie tamto

Wśród zna­czeń łaciń­skie­go impli­ca­re mamy: wią­zać, wcią­gać, pocia­gać itp. Wyko­rzy­staj­my ostat­nie z tych słów. Pocią­ga­nie (czy­li impli­ko­wa­nie) jest to sto­su­nek zacho­dzą­cy w obrę­bie zda­nia warun­ko­we­go (czy­li im­plikacji): p(oprzednik) impli­ku­je n(astępnik). Symbo­licznie zapi­su­je­my to zda­niem p → n, a potocz­nie: jeśli p, to n.

Oto defi­ni­cja impli­ka­cji za pomo­cą koniunk­cji z negacją:

Defi­ni­cja implikacji:
p → n = df ¬(p ˄ ¬n).

Ist­nie­je więc ekwi­wa­lent zna­cze­nio­wy impli­ka­cji bez uży­cia „jeśli”. Niech to ilu­stru­je scen­ka sprzecz­ki. Paweł zarzu­ca Gaw­ło­wi nie­słow­ność, nie­do­trzy­ma­nie obiet­ni­cy, że nie będzie nocą hała­so­wał. Gaweł bro­ni się wska­za­niem na zna­ną oto­cze­niu cechę swe­go cha­rakteru („Ob. 1” ozna­cza pierw­sze zda­nie obrony):

Ob. 1: Jeże­li daję sło­wo (s), to go dotrzy­mu­ję (d).

Sym­bo­licz­nie: s → d. Żeby wzmoc­nić reto­rycz­nie tę dekla­ra­cję, Gaweł powta­rza ją na inny spo­sób, do cze­go jest logicz­nie upraw­nio­ny na mocy defi­ni­cji implikacji.

Ob. 2: Nie zda­rza się, żebym dał sło­wo i go nie do­trzymał. Symbolicznie:
¬(s ˄ ¬d).

Wybie­ra­jąc for­mę Ob. 2, Gaweł stwa­rza sytu­ację, w któ­rej pono­wie­nie zarzu­tu przez Paw­ła pole­ga­ło­by na zaprze­cze­niu tej for­mie, co będzie nega­cją nega­cji, a więc spro­wa­dze­niem zarzu­tu do for­my koniunk­cji: s ˄ ¬d. W tym punk­cie łatwo jest Gaw­ło­wi o ripo­stę: „Wymień choć jeden przy­pa­dek, kie­dy tak było”. O ile się to Paw­ło­wi nie uda, znaj­dzie się on na straconej
pozycji.

Jest więc powód, żeby polu­bić tę zgrab­ną postać logicz­ną, wzo­rem mło­dzień­ca opi­sa­ne­go limerykiem:

Pewien mło­dzian zacnej nacji 
zako­cha­ny był w Negacji.
A że ser­ca nie żałował,
Koniunk­cję też adorował, 
z tak miłej rad kombinacji.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tematy.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­skaW peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści nume­ru.

Ilu­stra­cja: Mal­wi­na Adaszek

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy