Artykuł Logika Warsztat logiczny

Witold Marciszewski: #9. Współpraca koniunkcji z negacją w definiowaniu innych operatorów

Szkic ten nawiązuje do przytoczonej w poprzednim odcinku „przypowieści”, która mówiła o stosunku bieguna magnetycznego do geogra­ficznego na północy. Magnetyczny nie pokrywa się z geo­graficznym, a jednak wiarygodnie wskazuje, jak się na niego kie­rować. Operatory logiki symbolicznej niuansami znaczeniowymi różnią się od ich odpowiedników w języku polskim. A przecież wiarygodnie wskazują na treść i moc logiczną tych drugich. Rozważmy ów stosu­nek w przypadku alternatywy i implikacji.

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2017 nr 3 (15), s. 26–27.  W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Definicja alternatywy:
co najmniej jedno z…

Operator alternatywy p ˅ q możemy definiować na dwa sposoby. W jednym podaje się układ równań zero-jedynkowych; mówią one, jaka ma być wartość logiczna zdań składowych, żeby zdanie złożone (p lub q) miało wartość logiczną prawdy; tak postępowaliśmy w przypadku negacji i koniunkcji (#7 i #8). Podobnie będzie teraz z alternatywą.

Alternatywa: p ˅ q, tj. co najmniej jedno z dwojga: p lub q.

Definicja przez układ równań:
1 ˅ 1 = 1, 1 ˅ 0 = 1, 0 ˅ 1 = 1, 0 ˅ 0 = 0.

Przykład. Zdanie „Pada deszcz lub świeci słońce” jest prawdziwe przy trzech kombinacjach 0 i 1, mianowi­cie gdy zachodzą obie sytuacje lub zachodzi przynajmniej jedna z nich (obojętnie która). Fałszywe jest wtedy i tylko wtedy, gdy żadna sytuacja nie spełnia zdań składowych, czyli gdy oba mają wartość 0.

Drugi sposób definiowania polega na tym, że trak­tujemy symbole negacji i koniunkcji jako zrozumiałe dzięki wcześniejszemu obdarzeniu ich sensem przez układy równań zero-jedynkowych. Symbol alternatywy natomiast, dotąd niewystępujący i niezdefiniowany, uczynimy zrozu­miałym przez zdefiniowanie go za pomocą terminów już obecnych w języku.

Intuicję prowadzącą do tej definicji mamy zako­dowaną w regułach znaczeniowych języka polskiego. Jeśli rodzic powie dziecku „Dostaniesz na gwiazdkę ro­wer lub tablet”, to dziecko, ufając rodzicowi, jest spo­kojne, że nie będzie tak, że nie dostanie ani jednego, ani drugiego. Jest to więc przypadek, w którym reali­zuje się ten ogólny schemat:

Definicja alternatywy:
p ˅ q = df ¬(¬p ˄ ¬q).

Pora na pytanie, które niezmiennie nasuwa się czytelnikom i słuchaczom wywodów o alternatywie. Przyjmijmy, że dziecko dostało oba prezenty naraz, a rodzic komentuje to powiedzeniem: „Dostałeś ro­wer lub tablet”. Czy byłoby to trafne określenie za­istniałego stanu rzeczy? Byłby to błąd w sztuce ko­munikacji, bo w mowie potocznej „lub” stosujemy dla wyrażenia naszej niepewności, który człon dostąpi re­alizacji, a gdy już wiemy, że realizacji dostąpił i jeden, i drugi, „lub” traci sens, jest natomiast sensowne powiedzieć „i”. Lo­gika jednak nie jest od wnikania w tajniki komunikacji, a tylko od badania, co ma wpływ na prawdziwość kon­kluzji w naszych rozumowaniach. Ma go zwrot „przy­najmniej jedno z dwojga”, zaś dla wygody utarło się wśród logików zastępować go krótkim „lub”.

W naszej mowie codziennej często używamy spójnika „lub” bez tej intencji poszerzającej w słowach „przynajmniej jedno z dwojga”. Taki sens „lub” jest nam na co dzień potrzebny, skoro tak, się przyjął.

Gdy go definiujemy przez równania zero-jedynkowe, mamy układ:

1 lub 1 = 0, 1 lub 0 = 1, 0 lub 1 = 1, 0 lub 0 = 0.

Można potoczne „lub” zdefiniować w taki sposób jak wyżej i będzie to pełnoprawny uczestnik zbioru spójników logicznych. Spójnik alterna­tywy jednakże, taki jak go określa definicja, nadal będzie potrzebny w naszym myśleniu; np. matematycy nie mogą się bez niego obejść w dowodzeniu twierdzeń, a informatycy potrzebują go do konstruowania bramek logicznych w procesorach.

Definicja implikacji: nie jest tak, że to, a nie tamto

Wśród znaczeń łacińskiego implicare mamy: wiązać, wciągać, pociagać itp. Wykorzystajmy ostatnie z tych słów. Pociąganie (czyli implikowanie) jest to stosunek zachodzący w obrębie zdania warunkowego (czyli im­plikacji): p(oprzednik) implikuje n(astępnik). Symbo­licznie zapisujemy to zdaniem p → n, a potocznie: jeśli p, to n.

Oto definicja implikacji za pomocą koniunkcji z negacją:

Definicja implikacji:
p → n = df ¬(p ˄ ¬n).

Istnieje więc ekwiwalent znaczeniowy implikacji bez użycia „jeśli”. Niech to ilustruje scenka sprzeczki. Paweł zarzuca Gawłowi niesłowność, niedotrzymanie obietnicy, że nie będzie nocą hałasował. Gaweł broni się wskazaniem na znaną otoczeniu cechę swego cha­rakteru („Ob. 1” oznacza pierwsze zdanie obrony):

Ob. 1: Jeżeli daję słowo (s), to go dotrzymuję (d).

Symbolicznie: s → d. Żeby wzmocnić retorycznie tę deklarację, Gaweł powtarza ją na inny sposób, do czego jest logicznie uprawniony na mocy definicji implikacji.

Ob. 2: Nie zdarza się, żebym dał słowo i go nie do­trzymał. Symbolicznie:
¬(s ˄ ¬d).

Wybierając formę Ob. 2, Gaweł stwarza sytuację, w której ponowienie zarzutu przez Pawła polegałoby na zaprzeczeniu tej formie, co będzie negacją negacji, a więc sprowadzeniem zarzutu do formy koniunkcji: s ˄ ¬d. W tym punkcie łatwo jest Gawłowi o ripostę: „Wymień choć jeden przypadek, kiedy tak było”. O ile się to Pawłowi nie uda, znajdzie się on na straconej
pozycji.

Jest więc powód, żeby polubić tę zgrabną postać logiczną, wzorem młodzieńca opisanego limerykiem:

Pewien młodzian zacnej nacji 
zakochany był w Negacji.
A że serca nie żałował,
Koniunkcję też adorował, 
z tak miłej rad kombinacji.


Witold Marciszewski – profesor dr hab. nauk humanistycznych w zakresie logiki. Wykładał na UW, w Collegium Civitas, Uniwersytecie w Salzburgu i in. Jego najbardziej znana książka to Logic from a Rhetorical Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulubione zajęcie: rozmowy z żoną na wszelkie tematy.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 PolskaW pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Malwina Adaszek

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy