Artykuł Filozofia języka Gawędy o języku

Wojciech Żełaniec: #10 Przedstawmy sobie pojmowanie

Okazuje się, że bardzo duże liczby, tysiącokąt Kartezjusza i „to, ponad co nic większego nie może być pomyślane”, z Dowodu Ontologicznego św. Anzelma z Canterbury, mają pewną wspólną cechę: można przedstawić je sobie tylko pojęciowo, nie wyobrażeniowo, tj. za pośrednictwem jakichś obrazów „w głowie”. Ale czy zawsze przynajmniej tak można je sobie przedstawić?

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2019 nr 4 (28), s. 36–37. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


W poprzednich gawędach mówiliśmy o grupach nominalnych, które są swego rodzaju „nazwami” tego, co za ich pośrednic­twem mamy sobie przedstawiać (jeśli mają formę taką jak np. „najwyższy szczyt Sudetów”, która to nazwy raczej nie przypomina, ale składniowo zachowuje się jak nazwa). Powróćmy teraz do przedstawień, ze szczególnym uwzględnieniem tych niezmysłowych. Przedstawiać sobie coś w tym sensie to „myśleć coś”, „mieć coś na myśli”, ale bez żadnych obrazów czy fantazji zmysłowych; w tym sensie możemy sobie zarówno przedstawić trójkąt, jak i tysiącokąt, ale ten pierwszy możemy sobie również żywo wyobrazić, tego drugiego raczej nie. Pamiętając, że wyobrażenia są też przedstawieniami, możemy za Kartezjuszem (Medytacje o pierwszej filozofii) i jego tłumaczami państwem Ajdukiewiczami nazwać takie przedstawianie sobie pojmowaniem (intelligere).

Kartezjusz (francuski klasyk filozofii nowożytnej, właściwie René Descartes, 1596–1650) sam wydawał się sądzić, że pojmować coś jest łatwiej niż wyobrażać sobie, bo do tego ostatniego potrzebny jest pewien „wysiłek ducha” (contentio animi). Ale – czy istotnie jest łatwiej? Może zależy to od tego, co się chce pojąć. Nie jest trudno pojąć coś podobnego do przedmiotów dobrze znanych, wielokrotnie widzianych, np. miasto liczące sto milionów mieszkańców. Ale w słynnym dowodzie ontologicznym (na istnienie Boga), sformułowanym po raz pierwszy przez św. Anzelma Kantuaryjskiego (z Canterbury, zwanego też Anzelmem z Aosty czy Anzelmem z Bec, 1033–1109, nie mylić z jego uczniem Anzelmem z Laon), pierwszym krokiem jest pomyślenie sobie „tego, ponad co nic większego nie może być pomyślane” („id, quo majus cogitari non potest, Proslogion”, rozdz. II). Jeśli czytam ze zrozumieniem wyrażenie „to, ponad co nic większego nie może być pomyślane”, zdaje mi się, że je rozumiem; na pewno rozumiem je językowo, podobnie jak niektóre jego innojęzyczne tłumaczenia, np. „that, than which nothing greater can be conceived” czy „cet être suprême au-dessus duquel la pensée ne peut rien concevoir”. Ale czy naprawdę potrafię taką rzecz sobie pomyśleć, pojąć? Nie jestem pewien. Z tego powodu dowód ontologiczny nigdy do mnie nie przemawiał: nie umiałem zrobić tego pierwszego kroku.

Duże „rzeczy” są może kategorią zbyt ogólną. Wróćmy zatem do naszych dużych liczb naturalnych. Jak wiadomo, największej takiej liczby nie ma, gdyż dla każdej dowolnie wielkiej liczby naturalnej istnieje od niej większa: ona sama +1. Potrafimy sobie przedstawić dodanie jedności do dowolnej liczby, ale czy naprawdę potrafimy sobie przedstawić „dowolnie wielką” liczbę?
Potrafimy (powiedzmy) pojąć liczbę 7, 70, 700, a w porywach nawet 7000. Nie musimy tu dociekać, jak to jest możliwe – może przez jakieś elementarne pojęcia (= wyniki pojmowań) jedności i pary i przez pojęcia łączone typu „dołożyć do jedności parę, a do niej jeszcze jedną parę” czy tym podobne. Są fascynujące spekulacje Platona na temat Jedni i Diady jako prazasad (zob. Późna nauka Platona Bogdana Dembińskiego), ale w naszym kontekście istotniejsza byłaby może praca Jeana Piageta i Aliny Szemińskiej La genèse du nombre chez l’enfant i inne prace wielkiego Szwajcara. Ale co z 3↑↑↑↑4 (gdzie „↑” jest strzałką Knutha)? Czy tę liczbę też potrafimy pojąć? Strzałka Knutha działa tak: 3↑4 to 34 i w ogóle, jeśli nm są liczbami naturalnymi, to nm = nm, czyli „jednostrzałkowanie” n przez m to po prostu (podnoszenie n do potęgi m, czyli) pomnożenie m-1 razy przez n tego, co wyszło na poprzednim kroku, przy czym krokiem pierwszym jest pomnożenie przez n samej tej nieszczęsnej liczby. Czemu w takim razie jest równe n↑↑m, czyli „dwustrzałkowanie” (fachowo: tetracja) n przez m? Jest to operacja definiowana dokładnie tak samo jak „jednostrzałkowanie”, z tym tylko, że zamiast „mnożenia” w powyższej definicji umieszczamy „jednostrzałkowanie”. Zatem 3↑↑4 to 3↑3↑3↑3. Pamiętając, że nm = nm i że potęgowanie jest łączne z prawej, czytamy „3↑3↑3↑3” jako „3↑(3↑(3↑3))”. Zgodnie z definicją „jednostrzałkowania” wyrażenie to oznacza liczbę 3333, czyli 3327 , czyli 376625659764846987, czyli 3 do siedmiobilionowej sześćset dwadzieścia pięć miliardowej pięćset dziewięćdziesiąt siedmiomilionowej czterysta osiemdziesiąt czterotysięcznej dziewięćset osiemdziesiątej siódmej potęgi. A ile to może być? To znaczy, jak możemy sobie tę ogromną liczbę przedstawić? Dla większości z nas zapis wykładniczy jest nieporęczny do formowania sobie przedstawień odnośnych liczb. Zapytajcie, kogo chcecie, jak wysoki byłby papierowy klocek powstały ze złożenia na pół zwykłej kartki papieru biurowego marnych pięćdziesiąt razy (musiałaby dla wygody składania mieć rozmiary kilku stadionów, ale normalną grubość, czyli około 0,1 mm). Do sufitu? Po dach wysokościowca? Wysokość ta to 250 dziesiątych części milimetra, czyli…? Jestem pewien, że niewielu waszych respondentów oszacuje to bez obliczeń tj. coś około trzydziestu odległości z Ziemi do Księżyca. A 376625659764846987 po obliczeniach? Internetowy kalkulator wielkich liczb https://defuse.ca/big-number-calculator.htm mówi nam: „Sorry, we can’t calculate numbers that big!”. I to nawet, gdy go poprosimy o przedstawienie tej liczby w zapisie szesnastkowym. Inne kalkulatory mówią „Result too big” albo starym zwyczajem po prostu EEEEEEEEEEEEEEEEEEE.

Ale powiedzmy, że przedstawiamy sobie 376625659764846987 jako wynik napisania „3×” 76625659764846986 razy i dopisania do tego „3” na sam koniec (przyjmując realistycznie 4 mm na każde „3×”, potrzebowalibyśmy taśmy długości około 80 odległości z Ziemi do Księżyca). Dobrze, ale to dopiero początek naszego przedstawiania sobie niepozornej liczby 3↑↑↑↑4. Następny etap to „trójstrzałkowanie” (pentacja), 3↑↑↑4. Czyli 3↑↑(3↑↑(3↑↑3)). Transformowanie zapisu tej liczby z zapisu strzałkowego na dziesiętny (dobrze nam znany, dzięki czemu mamy nadzieję ją sobie łatwiej przedstawić) zaczynamy od znajdującego się po skrajnie prawej stronie wyrażenia „3↑↑3” – przyjmujemy bowiem zasadę, że nie tylko jedno- ale i dowolnie wiele-strzałkowanie jest łączne od prawej. „3↑↑3” oznacza to samo, co „3↑(3↑3)”, zatem 327, czyli liczbę równą tym jakimś marnym niecałym ośmiu bilionom. To wystąpiło już w poprzedniej rundzie. Ale wtedy chodziło o liczbę 3↑(3↑(3↑3)) i dlatego chcieliśmy oszacować wartość liczby 3 podniesionej do tej nie całkiem ośmiobilionowej potęgi, i już tego było za wiele naszym kalkulatorom liczb olbrzymich. Teraz natomiast chodzi o liczbę 3↑↑327, tj. musimy oszacować wartość liczby 3 podniesionej do potęgi (3 podniesionej do potęgi (3 podniesionej do potęgi (3 podniesionej do potęgi [itd., jeszcze 7 625 597 484 983 razy, ale nie zapomnijcie dopisać na końcu jeszcze 7 625 597 484 986 nawiasów zamykających!]. Nasza liczba 3327, zbyt wielka dla kalkulatorów wielkich liczb, pojawiłaby się już na trzecim etapie tego postępowania jako wykładnik potęgi w wieży potęg zawierającej „niecałe” 8 bilionów coraz większych wykładników. Jak sobie przedstawić czy pojąć takie monstrum w jakimkolwiek, najbardziej nawet abstrakcyjnym i wolnym od wrażeń zmysłowych znaczeniu tego słowa?


Wojciech Żełaniec – filozof generalista i ­filozof społeczny, stypendysta Humboldta (Würzburg 1995–1997), kierownik Zakładu Etyki i Filozofii Społecznej w Instytucie Filozofii, Socjologii i Dziennikarstwa Wydziału Nauk Społecznych Uniwersytetu Gdańskiego (wnswz.strony.ug.edu.pl). ­Redaktor numeru ­specjalnego włoskiego czasopisma „Argumenta”, poświęconego tłu reguł konstytutywnych (https://www.argumenta.org/issue/issue‑7/). Hobby: ­czytanie i recytowanie poezji.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Rada Covalenco

Najnowszy numer można nabyć od 2 listopada w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2023 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy