Artykuł Filozofia języka Gawędy o języku

Wojciech Żełaniec: #11. Liczby i ich wielkość

Liczby
– Chcesz zagrać w „pomyśl sobie jakąś liczbę”, Brajanku? – Dobrze. – Więc pomyśl sobie jakąś liczbę. – (Chwila milczenia) Już pomyślałem. – Teraz pomnóż ją przez 3. – (Dłuższa chwila milczenia) Już pomnożyłem. – Teraz odejmij od wyniku 5. – (Chwila milczenia) Już odjąłem. – Teraz pomnóż wynik przez 4. – (Jeszcze dłuższa chwila milczenia) Już. – Teraz podziel wynik przez 3, a od reszty odejmij 2. – (Chwila milczenia) Nie mogę! – Ależ dlaczego, Brajanku? – Liczba była za duża i przy dzieleniu kończy mi się pamięć ulotna RAM, Wanesko! – No, a jaka to była liczba? – To była „taka liczba, od której większej Wanesa nie umie pomyśleć”.

Zapisz się do naszego newslettera

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj!” 2019 nr 5 (29), s. 38–39. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


W poprzed­niej gawędzie, chcąc przed­staw­ić sobie nieszkodli­wie (w zapisie ze strza­łka­mi Knutha) wyglą­da­jącą liczbę 3↑↑↑↑4, utknęliśmy na etapie przed­staw­ia­nia sobie licz­by 3↑↑327 w zapisie bezstrza­łkowym przed­staw­ial­ną (jeśli nie brać popraw­ki na dostęp­ność mate­ri­ału piśmi­en­niczego, krótkość życia ludzkiego itp.) jako „wieża potę­gowa”, czyli wyraże­nie typu 3333,w którym cyfra „3” wys­tępu­je praw­ie osiem bil­ionów razy.

Jak wiel­ka by to była licz­ba? Spróbu­jmy ją sobie jakoś przed­staw­ić, tj. jej wielkość. Ale w liczbach nie ma nic oprócz wielkoś­ci, niepraw­daż? Dlat­ego sza­cu­jąc wielkość danej licz­by, moż­na ją sobie całkiem nieźle przed­staw­ić. Nai­wnie do tego zada­nia pod­chodząc, powiedzmy tak: najwięk­szą „powszech­nie z nazwy znaną” (cho­ci­aż nazwa ta nie jest uży­wana w „poważnych” tek­stach) liczbą jest tzw. googol­plex. Rów­na jest ona 10 googol, gdzie googol (nazwa, również nieuży­wana w poważnych tek­stach, była inspiracją nazwy pewnego znanego przed­siębiorstwa infor­maty­cznego) jest liczbą równą 10100, czyli licz­bie w zwycza­jnym zapisie dziesięt­nym zapisy­waną jako jedyn­ka z setką zer. Bardziej „kanon­icznie” taką liczbę nazy­wa się dziesię­cioma seks­de­cyliar­da­mi. Googol­plex w zapisie dziesięt­nym to „1” z googolem zer. Zatem googol­plex to 10 do potę­gi dziesięćseks­de­cyliar­dowej. Porów­na­jmy googol­plexa nie z 3↑↑327, ale z liczbą „znacznie” (delikat­nie mówiąc…) mniejszą od niej, mianowicie 2↑↑5, czyli z 2↑2↑2↑2↑2, czyli z 22222. Inaczej mówiąc, wyobraźmy sobie, że nasza wieża potę­gowa ma tylko pięć pięter, nie praw­ie osiem bil­ionów, a poza tym jej budul­cem jest licz­ba 2, nie 3. W przed­staw­ie­niu dziesięt­nym taka wieży­cz­ka wynosi… tu język zaczy­na nas zawodz­ić… w jej przed­staw­ie­niu dziesięt­nym na początku jest „20 035 299 304 068”, a dalej jest 19715 innych cyfr do przecin­ka (po którym są same zera). Pod­czas gdy googol to tylko „1”, a po niej tych marnych 100 zer do przecin­ka. 2↑↑5 jest zatem tyle razy od googo­la więk­sze, że do zapisu w sys­temie dziesięt­nym tej wielokrot­noś­ci potrze­bowal­iśmy 19726 cyfr przed przecinkiem. Jak taka licz­ba ma się do googol­plexa? Dzię­ki kalku­la­torom liczb olbrzymich może­my się przekon­ać, że nie googol­plex, ale już licz­ba 10105 jest dużo więk­sza od 2↑↑5.

Ale jak pamię­tamy, licz­ba 2↑↑5 była dla nas intere­su­ją­ca tylko jako „znacznie” mniejsza od 3↑↑327, którą chce­my osza­cow­ać, porównu­jąc ją z googolem i jemu podob­ny­mi. 2↑↑5 jest „wieży­czką” potę­gową wyjętą z mon­stru­al­nej wieży 3↑↑327 i spreparowaną, by była mniejsza, przez zastąpi­e­nie trój­ki dwójką. Wyjmi­jmy więc nieco (dokład­niej: o jed­no pięterko) wyższą wieży­czkę z 3↑↑327 i spreparu­jmy ją ponown­ie, a otrzy­mamy 22↑↑5. Jak ta licz­ba ma się do googol­plexa? Ten ostat­ni to prze­cież 1010100, czyli licz­ba rów­na (jak wiemy z ele­men­tarnego kur­su potę­gowa­nia, jaki prze­byliśmy jeszcze w szkole pod­sta­wowej) licz­bie (2×5)10100, czyli licz­bie 2 10100×510100. Tę liczbę chce­my ter­az porów­nać z 22↑↑5. Więk­sza ona czy mniejsza od 22↑↑5 , a może jej rów­na? Porów­nanie ułatwia fakt, że 1010100 właśnie przed­staw­iliśmy jako iloczyn dwóch liczb pod­nie­sionych do googolowej potę­gi, z których pier­wsza ma, podob­nie jak 22↑↑5, pod­stawę równą 2. Otóż wiedząc już, że 2↑↑5 jest dużo więk­sze od 10100, domyślimy się, że 22↑↑5 będzie jeszcze „dużej” więk­sze od 210100 (taka to już natu­ra funkcji wykład­niczej, że przy wykład­niku więk­szym od 1 od pewnego momen­tu zaczy­na bard­zo szy­bko ros­nąć). Ale czy googol­plex­owi nie pomoże jego dru­gi czyn­nik, tj. 510100, tak że googol­plex w końcu okaże się więk­szy od 2↑↑5? Porusza­my się w świecie liczb mon­stru­al­nie wiel­kich (choć skońc­zonych), nie mamy wyro­bionych intu­icji (chy­ba że je mamy jako spec­jal­iś­ci od tej gałęzi matem­aty­ki), dlat­ego trud­no jest nam to ocenić na pier­wszy rzut oka.

Może­my wsza­kże – chodzi tu prze­cież o sza­cunek zgrub­ny – uciec się do następu­jącego prostego rozu­mowa­nia. 2↑↑5 jest dużo więk­sze niż 10100, przy tym 10=2×5, a zatem w grun­cie rzeczy osza­cow­ać musimy wza­jem­ny sto­sunek liczb 2k i (2×5)l, czyli (znowu ele­men­tarne prawa potę­gowa­nia) 2k i 2l×5l; przy tym, k>l (a nawet k» l), co znaczy, że dla pewnego dodat­niego m: k=l+m, dzię­ki czemu pier­wsza licz­ba do porów­na­nia daje się przed­staw­ić jako 2(l+m), co z kolei jest równe 2l×2m. Elimin­u­jąc z obu pozosta­ją­cych do porów­na­nia wyrażeń wspól­ny czyn­nik 2l, otrzy­mu­je­my 2m i 5l. Która z tych liczb jest więk­sza (jeśli nie są równe)? To zależy oczy­wiś­cie od m i od l. W naszym przy­pad­ku l było równe 10100, czyli licz­bie przed­staw­ial­nej jako jedyn­ka ze stoma zera­mi, a k było równe 2↑↑5, czyli wzmi­ankowanej wyżej licz­bie, w której zapisie dziesięt­nym jest na początku „20 035 299 304 068”, a dalej następ­nych 19715 innych cyfr do przecin­ka (którego nie ma). Jeśli od tej licz­by ode­jmiemy nasze l, czyli 10100, otrzy­mamy liczbę różniącą się od poprzed­niej na set­nym miejs­cu („3” zami­ast „4”), ale mającą tyle samo cyfr: 19729. Zatem 2m ma „nieco” więk­szy wykład­nik niż 5l; dokład­niej mówiąc, m będzie od l tyle razy więk­sze, że wielokrot­ność ta da się wyraz­ić tylko liczbą mającą w zapisie dziesięt­nym 19629 pozy­c­je. To praw­da, że pod­stawa tej „nieco” wyższej potę­gi jest też nieco (już bez cud­zysłowu iron­icznego) niższa niż pod­stawa potę­gi 5l, mianowicie 2, ale znów opier­a­jąc się na ele­men­tarnych prawach potę­gowa­nia (np. xy×z=(xy)z i jeśli y=u×v+r gdzie r<v, tj. y nie jest podzielne bez resz­ty przez v, to xy=(xv)u×xr), może­my podzielić naszą liczbę m przez 3 (dzieli się ona przez 3 z resztą 1, co moż­na sprawdz­ić na tej stron­ie: http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm), i wyko­rzys­tu­jąc podane tu właśnie prawa, przed­staw­ić nasze 2m jako (23)n×2r, gdzie n jest ilo­razem dzie­le­nia m przez 3, a r tegoż dzie­le­nia resztą. Ponieważ 23=8, otrzy­mu­je­my przed­staw­ie­nie 2m jako 8n×2r, a ta licz­ba jest już na pewno „trochę” więk­sza od 5l, czyli 510100, bo jest (pomi­ja­jąc 2r) potęgą, której i pod­stawa (8), i wykład­nik są więk­sze niż pod­stawa i wykład­nik licz­by 510100. Wykład­nik tej ostat­niej ma np. marnych 101 pozy­cji dziesięt­nych przed przecinkiem, pod­czas gdy n ma ich 19728. Swo­ją god­ną uzna­nia rolę odgry­wa oczy­wiś­cie i czyn­nik 2r, dziel­nie wspo­ma­ga­ją­cy 8n swo­ją wartoś­cią (=2, bo r=1), jak ta mucha z baj­ki rab­biego Berech­jasza ha-Nakdana (XIIXIII w.), która po jakże zno­jnym siedze­niu na rogu orzącego wołu mówi „zao­ral­iśmy to pole”.

Morał: googol­plex, najwięk­sza licz­ba „znana powszech­nie”, przy­na­jm­nej z nazwy, i to częs­to nawet tym, którzy nie wiedzą, ile właś­ci­wie zer ma septylion i jaki „-ilion” po nim następu­je, okazu­je się śmiesznie mała w porów­na­niu z 2↑↑5, która to z kolei jest zniko­ma w porów­na­niu z 3↑↑327, która z kolei jest praw­ie niczym w porów­na­niu z jakże niewin­nie wyglą­da­jącą (w zapisie ze strza­łka­mi Knutha) liczbą 3↑↑↑↑4, do przed­staw­ienia sobie (czy poję­cia) której wszys­tkie te rozważa­nia miały się przy­dać.

W tym miejs­cu jakaś zniecier­pli­wiona czytel­nicz­ka może zawołać: „dlaczegóż mamy sobie przed­staw­iać tę liczbę w jak­iś bardziej bezpośred­ni sposób niż pod tą właśnie postacią, tj. jako »3↑↑↑↑4«? Czyż Knuth nie wymyślił swo­jej notacji strza­łkowej spec­jal­nie właśnie po to i tylko po to, byśmy mogli w niej przed­staw­iać takie wielkie licz­by?”. Z pewnoś­cią; to bard­zo traf­na uwa­ga. Odniosę się do niej w następ­nej gawędzie. Na razie tylko taki szczegó­lik: jest różni­ca między „przed­staw­ian­iem” a „przed­staw­ian­iem sobie”. Cdn.


Woj­ciech Żełaniec – Filo­zof gen­er­al­ista i filo­zof społeczny, stype­ndys­ta Hum­bold­ta (Würzburg 1995–1997), kierown­ik Zakładu Ety­ki i Filo­zofii Społecznej w Insty­tu­cie Filo­zofii, Socjologii i Dzi­en­nikarst­wa Wydzi­ału Nauk Społecznych Uni­w­er­syte­tu Gdańskiego (wnswz.strony.ug.edu.pl). Redak­tor numeru spec­jal­nego włoskiego cza­sopis­ma „Argu­men­ta”, poświę­conego tłu reguł kon­sty­tu­ty­wnych (https://www.argumenta.org/issue/issue‑7/). Hob­by: czy­tanie i recy­towanie poezji.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka.

< Powrót do spisu treś­ci numeru.

Ilus­trac­ja: ger­alt

Najnowszy numer można nabyć od 3 stycznia w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2020 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

2 komentarze

Kliknij, aby skomentować

  • Licz­by chodz­cie do mnie, blisko najbliżej…
    Ciekawe, że licz­by są bytem czys­to umownym, sztucznym i tak naprawdę, wbrew pozorom, abstrak­cyjnym, a np. do niedaw­na, jeszcze do II wojen­ki świa­towej, powszech­nie i na co dzień obow­iązy­wał inny sys­tem miar, wag, dłu­goś­ci, np. kopy; czyli 6, 8, 12, 15 jak u naszych dzi­ad­ków, pradzi­ad­kow, pra pra, co poniek­tórzy lep­iej to pamię­ta­ją, ja jak przez mgłę z rynku tar­gowego, na zaku­pach, jaj­ka, ziem­ni­a­ki itd.… etc.
    Ale kogo ter­az o to pytać?!
    W USA zda­je się dotąd te miary i ich odmi­any obow­iązu­ją, jak i w UK (doty­czy to hand­lu, sportu, moto­ryza­cji, budown­ict­wa, tech­ni­ki itp.).
    Jed­nak ter­az niech sczez­na wirusy, korowiarusy! I ich (…) mutac­je!

    • Kiedyś w jed­nym ze starych nrow miesięczni­ka Delta było rów­nanie na całą stronę udowad­ni­a­jące matem­aty­cznie, że 2+2 nie rów­na się 4, ale zda­je się 5 czy 6! Oczy­wiś­cie, w którymś miejs­cu był błąd, ale dowód/równanie jed­nak było! Jako takie cha cha.
      Ciekawe, jakie sys­te­my mogą mieć inne, kos­miczne pozaziem­skie cywiliza­c­je, inne logi­ki (?!), sporo tą kwest­ią dawno temu zaj­mowała się również m.in. lit­er­atu­ra SF.

Sklep

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy