Artykuł Filozofia języka Gawędy o języku

Wojciech Żełaniec: #11. Liczby i ich wielkość

Liczby
– Chcesz zagrać w „pomyśl sobie jakąś liczbę”, Brajanku? – Dobrze. – Więc pomyśl sobie jakąś liczbę. – (Chwila milczenia) Już pomyślałem. – Teraz pomnóż ją przez 3. – (Dłuższa chwila milczenia) Już pomnożyłem. – Teraz odejmij od wyniku 5. – (Chwila milczenia) Już odjąłem. – Teraz pomnóż wynik przez 4. – (Jeszcze dłuższa chwila milczenia) Już. – Teraz podziel wynik przez 3, a od reszty odejmij 2. – (Chwila milczenia) Nie mogę! – Ależ dlaczego, Brajanku? – Liczba była za duża i przy dzieleniu kończy mi się pamięć ulotna RAM, Wanesko! – No, a jaka to była liczba? – To była „taka liczba, od której większej Wanesa nie umie pomyśleć”.

Zapisz się do naszego newslettera

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2019 nr 5 (29), s. 38–39. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


W poprzed­niej gawę­dzie, chcąc przed­sta­wić sobie nie­szko­dli­wie (w zapi­sie ze strzał­ka­mi Knu­tha) wyglą­da­ją­cą licz­bę 3↑↑↑↑4, utknę­li­śmy na eta­pie przed­sta­wia­nia sobie licz­by 3↑↑327 w zapi­sie bez­strzał­ko­wym przed­sta­wial­ną (jeśli nie brać popraw­ki na dostęp­ność mate­ria­łu piśmien­ni­cze­go, krót­kość życia ludz­kie­go itp.) jako „wie­ża potę­go­wa”, czy­li wyra­że­nie typu 3333,w któ­rym cyfra „3” wystę­pu­je pra­wie osiem bilio­nów razy.

Jak wiel­ka by to była licz­ba? Spró­buj­my ją sobie jakoś przed­sta­wić, tj. jej wiel­kość. Ale w licz­bach nie ma nic oprócz wiel­ko­ści, nie­praw­daż? Dla­te­go sza­cu­jąc wiel­kość danej licz­by, moż­na ją sobie cał­kiem nie­źle przed­sta­wić. Naiw­nie do tego zada­nia pod­cho­dząc, powiedz­my tak: naj­więk­szą „powszech­nie z nazwy zna­ną” (cho­ciaż nazwa ta nie jest uży­wa­na w „poważ­nych” tek­stach) licz­bą jest tzw. googol­plex. Rów­na jest ona 10 googol, gdzie googol (nazwa, rów­nież nie­uży­wa­na w poważ­nych tek­stach, była inspi­ra­cją nazwy pew­ne­go zna­ne­go przed­się­bior­stwa infor­ma­tycz­ne­go) jest licz­bą rów­ną 10100, czy­li licz­bie w zwy­czaj­nym zapi­sie dzie­sięt­nym zapi­sy­wa­ną jako jedyn­ka z set­ką zer. Bar­dziej „kano­nicz­nie” taką licz­bę nazy­wa się dzie­się­cio­ma seks­de­cy­liar­da­mi. Googol­plex w zapi­sie dzie­sięt­nym to „1” z googo­lem zer. Zatem googol­plex to 10 do potę­gi dzie­sięć­seks­de­cy­liar­do­wej. Porów­naj­my googol­ple­xa nie z 3↑↑327, ale z licz­bą „znacz­nie” (deli­kat­nie mówiąc…) mniej­szą od niej, mia­no­wi­cie 2↑↑5, czy­li z 2↑2↑2↑2↑2, czy­li z 22222. Ina­czej mówiąc, wyobraź­my sobie, że nasza wie­ża potę­go­wa ma tyl­ko pięć pię­ter, nie pra­wie osiem bilio­nów, a poza tym jej budul­cem jest licz­ba 2, nie 3. W przed­sta­wie­niu dzie­sięt­nym taka wie­życz­ka wyno­si… tu język zaczy­na nas zawo­dzić… w jej przed­sta­wie­niu dzie­sięt­nym na począt­ku jest „20 035 299 304 068”, a dalej jest 19715 innych cyfr do prze­cin­ka (po któ­rym są same zera). Pod­czas gdy googol to tyl­ko „1”, a po niej tych mar­nych 100 zer do prze­cin­ka. 2↑↑5 jest zatem tyle razy od googo­la więk­sze, że do zapi­su w sys­te­mie dzie­sięt­nym tej wie­lo­krot­no­ści potrze­bo­wa­li­śmy 19726 cyfr przed prze­cin­kiem. Jak taka licz­ba ma się do googol­ple­xa? Dzię­ki kal­ku­la­to­rom liczb olbrzy­mich może­my się prze­ko­nać, że nie googol­plex, ale już licz­ba 10105 jest dużo więk­sza od 2↑↑5.

Ale jak pamię­ta­my, licz­ba 2↑↑5 była dla nas inte­re­su­ją­ca tyl­ko jako „znacz­nie” mniej­sza od 3↑↑327, któ­rą chce­my osza­co­wać, porów­nu­jąc ją z googo­lem i jemu podob­ny­mi. 2↑↑5 jest „wie­życz­ką” potę­go­wą wyję­tą z mon­stru­al­nej wie­ży 3↑↑327 i spre­pa­ro­wa­ną, by była mniej­sza, przez zastą­pie­nie trój­ki dwój­ką. Wyj­mij­my więc nie­co (dokład­niej: o jed­no pię­ter­ko) wyż­szą wie­życz­kę z 3↑↑327 i spre­pa­ruj­my ją ponow­nie, a otrzy­ma­my 22↑↑5. Jak ta licz­ba ma się do googol­ple­xa? Ten ostat­ni to prze­cież 1010100, czy­li licz­ba rów­na (jak wie­my z ele­men­tar­ne­go kur­su potę­go­wa­nia, jaki prze­by­li­śmy jesz­cze w szko­le pod­sta­wo­wej) licz­bie (2×5)10100, czy­li licz­bie 2 10100×510100. Tę licz­bę chce­my teraz porów­nać z 22↑↑5. Więk­sza ona czy mniej­sza od 22↑↑5 , a może jej rów­na? Porów­na­nie uła­twia fakt, że 1010100 wła­śnie przed­sta­wi­li­śmy jako ilo­czyn dwóch liczb pod­nie­sio­nych do googo­lo­wej potę­gi, z któ­rych pierw­sza ma, podob­nie jak 22↑↑5, pod­sta­wę rów­ną 2. Otóż wie­dząc już, że 2↑↑5 jest dużo więk­sze od 10100, domy­śli­my się, że 22↑↑5 będzie jesz­cze „dużej” więk­sze od 210100 (taka to już natu­ra funk­cji wykład­ni­czej, że przy wykład­ni­ku więk­szym od 1 od pew­ne­go momen­tu zaczy­na bar­dzo szyb­ko rosnąć). Ale czy googol­ple­xo­wi nie pomo­że jego dru­gi czyn­nik, tj. 510100, tak że googol­plex w koń­cu oka­że się więk­szy od 2↑↑5? Poru­sza­my się w świe­cie liczb mon­stru­al­nie wiel­kich (choć skoń­czo­nych), nie mamy wyro­bio­nych intu­icji (chy­ba że je mamy jako spe­cja­li­ści od tej gałę­zi mate­ma­ty­ki), dla­te­go trud­no jest nam to oce­nić na pierw­szy rzut oka.

Może­my wszak­że – cho­dzi tu prze­cież o sza­cu­nek zgrub­ny – uciec się do nastę­pu­ją­ce­go pro­ste­go rozu­mo­wa­nia. 2↑↑5 jest dużo więk­sze niż 10100, przy tym 10=2×5, a zatem w grun­cie rze­czy osza­co­wać musi­my wza­jem­ny sto­su­nek liczb 2k i (2×5)l, czy­li (zno­wu ele­men­tar­ne pra­wa potę­go­wa­nia) 2k i 2l×5l; przy tym, k>l (a nawet k» l), co zna­czy, że dla pew­ne­go dodat­nie­go m: k=l+m, dzię­ki cze­mu pierw­sza licz­ba do porów­na­nia daje się przed­sta­wić jako 2(l+m), co z kolei jest rów­ne 2l×2m. Eli­mi­nu­jąc z obu pozo­sta­ją­cych do porów­na­nia wyra­żeń wspól­ny czyn­nik 2l, otrzy­mu­je­my 2m i 5l. Któ­ra z tych liczb jest więk­sza (jeśli nie są rów­ne)? To zale­ży oczy­wi­ście od m i od l. W naszym przy­pad­ku l było rów­ne 10100, czy­li licz­bie przed­sta­wial­nej jako jedyn­ka ze sto­ma zera­mi, a k było rów­ne 2↑↑5, czy­li wzmian­ko­wa­nej wyżej licz­bie, w któ­rej zapi­sie dzie­sięt­nym jest na począt­ku „20 035 299 304 068”, a dalej następ­nych 19715 innych cyfr do prze­cin­ka (któ­re­go nie ma). Jeśli od tej licz­by odej­mie­my nasze l, czy­li 10100, otrzy­ma­my licz­bę róż­nią­cą się od poprzed­niej na set­nym miej­scu („3” zamiast „4”), ale mają­cą tyle samo cyfr: 19729. Zatem 2m ma „nie­co” więk­szy wykład­nik niż 5l; dokład­niej mówiąc, m będzie od l tyle razy więk­sze, że wie­lo­krot­ność ta da się wyra­zić tyl­ko licz­bą mają­cą w zapi­sie dzie­sięt­nym 19629 pozy­cje. To praw­da, że pod­sta­wa tej „nie­co” wyż­szej potę­gi jest też nie­co (już bez cudzy­sło­wu iro­nicz­ne­go) niż­sza niż pod­sta­wa potę­gi 5l, mia­no­wi­cie 2, ale znów opie­ra­jąc się na ele­men­tar­nych pra­wach potę­go­wa­nia (np. xy×z=(xy)z i jeśli y=u×v+r gdzie r<v, tj. y nie jest podziel­ne bez resz­ty przez v, to xy=(xv)u×xr), może­my podzie­lić naszą licz­bę m przez 3 (dzie­li się ona przez 3 z resz­tą 1, co moż­na spraw­dzić na tej stro­nie: http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm), i wyko­rzy­stu­jąc poda­ne tu wła­śnie pra­wa, przed­sta­wić nasze 2m jako (23)n×2r, gdzie n jest ilo­ra­zem dzie­le­nia m przez 3, a r tegoż dzie­le­nia resz­tą. Ponie­waż 23=8, otrzy­mu­je­my przed­sta­wie­nie 2m jako 8n×2r, a ta licz­ba jest już na pew­no „tro­chę” więk­sza od 5l, czy­li 510100, bo jest (pomi­ja­jąc 2r) potę­gą, któ­rej i pod­sta­wa (8), i wykład­nik są więk­sze niż pod­sta­wa i wykład­nik licz­by 510100. Wykład­nik tej ostat­niej ma np. mar­nych 101 pozy­cji dzie­sięt­nych przed prze­cin­kiem, pod­czas gdy n ma ich 19728. Swo­ją god­ną uzna­nia rolę odgry­wa oczy­wi­ście i czyn­nik 2r, dziel­nie wspo­ma­ga­ją­cy 8n swo­ją war­to­ścią (=2, bo r=1), jak ta mucha z baj­ki rab­bie­go Bere­chja­sza ha-Nakda­na (XIIXIII w.), któ­ra po jak­że znoj­nym sie­dze­niu na rogu orzą­ce­go wołu mówi „zaora­li­śmy to pole”.

Morał: googol­plex, naj­więk­sza licz­ba „zna­na powszech­nie”, przy­najm­nej z nazwy, i to czę­sto nawet tym, któ­rzy nie wie­dzą, ile wła­ści­wie zer ma sep­ty­lion i jaki „-ilion” po nim nastę­pu­je, oka­zu­je się śmiesz­nie mała w porów­na­niu z 2↑↑5, któ­ra to z kolei jest zni­ko­ma w porów­na­niu z 3↑↑327, któ­ra z kolei jest pra­wie niczym w porów­na­niu z jak­że nie­win­nie wyglą­da­ją­cą (w zapi­sie ze strzał­ka­mi Knu­tha) licz­bą 3↑↑↑↑4, do przed­sta­wie­nia sobie (czy poję­cia) któ­rej wszyst­kie te roz­wa­ża­nia mia­ły się przydać.

W tym miej­scu jakaś znie­cier­pli­wio­na czy­tel­nicz­ka może zawo­łać: „dla­cze­góż mamy sobie przed­sta­wiać tę licz­bę w jakiś bar­dziej bez­po­śred­ni spo­sób niż pod tą wła­śnie posta­cią, tj. jako »3↑↑↑↑4«? Czyż Knuth nie wymy­ślił swo­jej nota­cji strzał­ko­wej spe­cjal­nie wła­śnie po to i tyl­ko po to, byśmy mogli w niej przed­sta­wiać takie wiel­kie licz­by?”. Z pew­no­ścią; to bar­dzo traf­na uwa­ga. Odnio­sę się do niej w następ­nej gawę­dzie. Na razie tyl­ko taki szcze­gó­lik: jest róż­ni­ca mię­dzy „przed­sta­wia­niem” a „przed­sta­wia­niem sobie”. Cdn.


Woj­ciech Żeła­niec – Filo­zof gene­ra­li­sta i filo­zof spo­łecz­ny, sty­pen­dy­sta Hum­bold­ta (Würz­burg 1995–1997), kie­row­nik Zakła­du Ety­ki i Filo­zo­fii Spo­łecz­nej w Insty­tu­cie Filo­zo­fii, Socjo­lo­gii i Dzien­ni­kar­stwa Wydzia­łu Nauk Spo­łecz­nych Uni­wer­sy­te­tu Gdań­skie­go (wnswz.strony.ug.edu.pl). Redak­tor nume­ru spe­cjal­ne­go wło­skie­go cza­so­pi­sma „Argu­men­ta”, poświę­co­ne­go tłu reguł kon­sty­tu­tyw­nych (https://www.argumenta.org/issue/issue‑7/). Hob­by: czy­ta­nie i recy­to­wa­nie poezji.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: geralt

Najnowszy numer można nabyć od 30 października w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2020 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

2 komentarze

Kliknij, aby skomentować

  • Licz­by chodz­cie do mnie, bli­sko najbliżej…
    Cie­ka­we, że licz­by są bytem czy­sto umow­nym, sztucz­nym i tak napraw­dę, wbrew pozo­rom, abs­trak­cyj­nym, a np. do nie­daw­na, jesz­cze do II wojen­ki świa­to­wej, powszech­nie i na co dzień obo­wią­zy­wał inny sys­tem miar, wag, dłu­go­ści, np. kopy; czy­li 6, 8, 12, 15 jak u naszych dziad­ków, pra­dziad­kow, pra pra, co ponie­któ­rzy lepiej to pamię­ta­ją, ja jak przez mgłę z ryn­ku tar­go­we­go, na zaku­pach, jaj­ka, ziem­nia­ki itd.… etc.
    Ale kogo teraz o to pytać?!
    W USA zda­je się dotąd te mia­ry i ich odmia­ny obo­wią­zu­ją, jak i w UK (doty­czy to han­dlu, spor­tu, moto­ry­za­cji, budow­nic­twa, tech­ni­ki itp.).
    Jed­nak teraz niech scze­zna wiru­sy, koro­wia­ru­sy! I ich (…) mutacje!

    • Kie­dyś w jed­nym ze sta­rych nrow mie­sięcz­ni­ka Del­ta było rów­na­nie na całą stro­nę udo­wad­nia­ją­ce mate­ma­tycz­nie, że 2+2 nie rów­na się 4, ale zda­je się 5 czy 6! Oczy­wi­ście, w któ­rymś miej­scu był błąd, ale dowód/równanie jed­nak było! Jako takie cha cha.
      Cie­ka­we, jakie sys­te­my mogą mieć inne, kosmicz­ne poza­ziem­skie cywi­li­za­cje, inne logi­ki (?!), spo­ro tą kwe­stią daw­no temu zaj­mo­wa­ła się rów­nież m.in. lite­ra­tu­ra SF.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy