Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2019 nr 5 (29), s. 38–39. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.
W poprzedniej gawędzie, chcąc przedstawić sobie nieszkodliwie (w zapisie ze strzałkami Knutha) wyglądającą liczbę 3↑↑↑↑4, utknęliśmy na etapie przedstawiania sobie liczby 3↑↑327 w zapisie bezstrzałkowym przedstawialną (jeśli nie brać poprawki na dostępność materiału piśmienniczego, krótkość życia ludzkiego itp.) jako „wieża potęgowa”, czyli wyrażenie typu 3333,w którym cyfra „3” występuje prawie osiem bilionów razy.
Jak wielka by to była liczba? Spróbujmy ją sobie jakoś przedstawić, tj. jej wielkość. Ale w liczbach nie ma nic oprócz wielkości, nieprawdaż? Dlatego szacując wielkość danej liczby, można ją sobie całkiem nieźle przedstawić. Naiwnie do tego zadania podchodząc, powiedzmy tak: największą „powszechnie z nazwy znaną” (chociaż nazwa ta nie jest używana w „poważnych” tekstach) liczbą jest tzw. googolplex. Równa jest ona 10 googol, gdzie googol (nazwa, również nieużywana w poważnych tekstach, była inspiracją nazwy pewnego znanego przedsiębiorstwa informatycznego) jest liczbą równą 10100, czyli liczbie w zwyczajnym zapisie dziesiętnym zapisywaną jako jedynka z setką zer. Bardziej „kanonicznie” taką liczbę nazywa się dziesięcioma seksdecyliardami. Googolplex w zapisie dziesiętnym to „1” z googolem zer. Zatem googolplex to 10 do potęgi dziesięćseksdecyliardowej. Porównajmy googolplexa nie z 3↑↑327, ale z liczbą „znacznie” (delikatnie mówiąc…) mniejszą od niej, mianowicie 2↑↑5, czyli z 2↑2↑2↑2↑2, czyli z 22222. Inaczej mówiąc, wyobraźmy sobie, że nasza wieża potęgowa ma tylko pięć pięter, nie prawie osiem bilionów, a poza tym jej budulcem jest liczba 2, nie 3. W przedstawieniu dziesiętnym taka wieżyczka wynosi… tu język zaczyna nas zawodzić… w jej przedstawieniu dziesiętnym na początku jest „20 035 299 304 068”, a dalej jest 19715 innych cyfr do przecinka (po którym są same zera). Podczas gdy googol to tylko „1”, a po niej tych marnych 100 zer do przecinka. 2↑↑5 jest zatem tyle razy od googola większe, że do zapisu w systemie dziesiętnym tej wielokrotności potrzebowaliśmy 19726 cyfr przed przecinkiem. Jak taka liczba ma się do googolplexa? Dzięki kalkulatorom liczb olbrzymich możemy się przekonać, że nie googolplex, ale już liczba 10105 jest dużo większa od 2↑↑5.
Ale jak pamiętamy, liczba 2↑↑5 była dla nas interesująca tylko jako „znacznie” mniejsza od 3↑↑327, którą chcemy oszacować, porównując ją z googolem i jemu podobnymi. 2↑↑5 jest „wieżyczką” potęgową wyjętą z monstrualnej wieży 3↑↑327 i spreparowaną, by była mniejsza, przez zastąpienie trójki dwójką. Wyjmijmy więc nieco (dokładniej: o jedno pięterko) wyższą wieżyczkę z 3↑↑327 i spreparujmy ją ponownie, a otrzymamy 22↑↑5. Jak ta liczba ma się do googolplexa? Ten ostatni to przecież 1010100, czyli liczba równa (jak wiemy z elementarnego kursu potęgowania, jaki przebyliśmy jeszcze w szkole podstawowej) liczbie (2×5)10100, czyli liczbie 2 10100×510100. Tę liczbę chcemy teraz porównać z 22↑↑5. Większa ona czy mniejsza od 22↑↑5 , a może jej równa? Porównanie ułatwia fakt, że 1010100 właśnie przedstawiliśmy jako iloczyn dwóch liczb podniesionych do googolowej potęgi, z których pierwsza ma, podobnie jak 22↑↑5, podstawę równą 2. Otóż wiedząc już, że 2↑↑5 jest dużo większe od 10100, domyślimy się, że 22↑↑5 będzie jeszcze „dużej” większe od 210100 (taka to już natura funkcji wykładniczej, że przy wykładniku większym od 1 od pewnego momentu zaczyna bardzo szybko rosnąć). Ale czy googolplexowi nie pomoże jego drugi czynnik, tj. 510100, tak że googolplex w końcu okaże się większy od 2↑↑5? Poruszamy się w świecie liczb monstrualnie wielkich (choć skończonych), nie mamy wyrobionych intuicji (chyba że je mamy jako specjaliści od tej gałęzi matematyki), dlatego trudno jest nam to ocenić na pierwszy rzut oka.
Możemy wszakże – chodzi tu przecież o szacunek zgrubny – uciec się do następującego prostego rozumowania. 2↑↑5 jest dużo większe niż 10100, przy tym 10=2×5, a zatem w gruncie rzeczy oszacować musimy wzajemny stosunek liczb 2k i (2×5)l, czyli (znowu elementarne prawa potęgowania) 2k i 2l×5l; przy tym, k>l (a nawet k» l), co znaczy, że dla pewnego dodatniego m: k=l+m, dzięki czemu pierwsza liczba do porównania daje się przedstawić jako 2(l+m), co z kolei jest równe 2l×2m. Eliminując z obu pozostających do porównania wyrażeń wspólny czynnik 2l, otrzymujemy 2m i 5l. Która z tych liczb jest większa (jeśli nie są równe)? To zależy oczywiście od m i od l. W naszym przypadku l było równe 10100, czyli liczbie przedstawialnej jako jedynka ze stoma zerami, a k było równe 2↑↑5, czyli wzmiankowanej wyżej liczbie, w której zapisie dziesiętnym jest na początku „20 035 299 304 068”, a dalej następnych 19715 innych cyfr do przecinka (którego nie ma). Jeśli od tej liczby odejmiemy nasze l, czyli 10100, otrzymamy liczbę różniącą się od poprzedniej na setnym miejscu („3” zamiast „4”), ale mającą tyle samo cyfr: 19729. Zatem 2m ma „nieco” większy wykładnik niż 5l; dokładniej mówiąc, m będzie od l tyle razy większe, że wielokrotność ta da się wyrazić tylko liczbą mającą w zapisie dziesiętnym 19629 pozycje. To prawda, że podstawa tej „nieco” wyższej potęgi jest też nieco (już bez cudzysłowu ironicznego) niższa niż podstawa potęgi 5l, mianowicie 2, ale znów opierając się na elementarnych prawach potęgowania (np. xy×z=(xy)z i jeśli y=u×v+r gdzie r<v, tj. y nie jest podzielne bez reszty przez v, to xy=(xv)u×xr), możemy podzielić naszą liczbę m przez 3 (dzieli się ona przez 3 z resztą 1, co można sprawdzić na tej stronie: http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm), i wykorzystując podane tu właśnie prawa, przedstawić nasze 2m jako (23)n×2r, gdzie n jest ilorazem dzielenia m przez 3, a r tegoż dzielenia resztą. Ponieważ 23=8, otrzymujemy przedstawienie 2m jako 8n×2r, a ta liczba jest już na pewno „trochę” większa od 5l, czyli 510100, bo jest (pomijając 2r) potęgą, której i podstawa (8), i wykładnik są większe niż podstawa i wykładnik liczby 510100. Wykładnik tej ostatniej ma np. marnych 101 pozycji dziesiętnych przed przecinkiem, podczas gdy n ma ich 19728. Swoją godną uznania rolę odgrywa oczywiście i czynnik 2r, dzielnie wspomagający 8n swoją wartością (=2, bo r=1), jak ta mucha z bajki rabbiego Berechjasza ha-Nakdana (XII–XIII w.), która po jakże znojnym siedzeniu na rogu orzącego wołu mówi „zaoraliśmy to pole”.
Morał: googolplex, największa liczba „znana powszechnie”, przynajmnej z nazwy, i to często nawet tym, którzy nie wiedzą, ile właściwie zer ma septylion i jaki „-ilion” po nim następuje, okazuje się śmiesznie mała w porównaniu z 2↑↑5, która to z kolei jest znikoma w porównaniu z 3↑↑327, która z kolei jest prawie niczym w porównaniu z jakże niewinnie wyglądającą (w zapisie ze strzałkami Knutha) liczbą 3↑↑↑↑4, do przedstawienia sobie (czy pojęcia) której wszystkie te rozważania miały się przydać.
W tym miejscu jakaś zniecierpliwiona czytelniczka może zawołać: „dlaczegóż mamy sobie przedstawiać tę liczbę w jakiś bardziej bezpośredni sposób niż pod tą właśnie postacią, tj. jako »3↑↑↑↑4«? Czyż Knuth nie wymyślił swojej notacji strzałkowej specjalnie właśnie po to i tylko po to, byśmy mogli w niej przedstawiać takie wielkie liczby?”. Z pewnością; to bardzo trafna uwaga. Odniosę się do niej w następnej gawędzie. Na razie tylko taki szczególik: jest różnica między „przedstawianiem” a „przedstawianiem sobie”. Cdn.
Wojciech Żełaniec – filozof generalista i filozof społeczny, stypendysta Humboldta (Würzburg 1995–1997), kierownik Zakładu Etyki i Filozofii Społecznej w Instytucie Filozofii, Socjologii i Dziennikarstwa Wydziału Nauk Społecznych Uniwersytetu Gdańskiego (wnswz.strony.ug.edu.pl). Redaktor numeru specjalnego włoskiego czasopisma „Argumenta”, poświęconego tłu reguł konstytutywnych (https://www.argumenta.org/issue/issue‑7/). Hobby: czytanie i recytowanie poezji.
Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
< Powrót do spisu treści numeru.
Ilustracja: geralt
Liczby chodzcie do mnie, blisko najbliżej…
Ciekawe, że liczby są bytem czysto umownym, sztucznym i tak naprawdę, wbrew pozorom, abstrakcyjnym, a np. do niedawna, jeszcze do II wojenki światowej, powszechnie i na co dzień obowiązywał inny system miar, wag, długości, np. kopy; czyli 6, 8, 12, 15 jak u naszych dziadków, pradziadkow, pra pra, co poniektórzy lepiej to pamiętają, ja jak przez mgłę z rynku targowego, na zakupach, jajka, ziemniaki itd.… etc.
Ale kogo teraz o to pytać?!
W USA zdaje się dotąd te miary i ich odmiany obowiązują, jak i w UK (dotyczy to handlu, sportu, motoryzacji, budownictwa, techniki itp.).
Jednak teraz niech sczezna wirusy, korowiarusy! I ich (…) mutacje!
Kiedyś w jednym ze starych nrow miesięcznika Delta było równanie na całą stronę udowadniające matematycznie, że 2+2 nie równa się 4, ale zdaje się 5 czy 6! Oczywiście, w którymś miejscu był błąd, ale dowód/równanie jednak było! Jako takie cha cha.
Ciekawe, jakie systemy mogą mieć inne, kosmiczne pozaziemskie cywilizacje, inne logiki (?!), sporo tą kwestią dawno temu zajmowała się również m.in. literatura SF.