Artykuł

Wojciech Żełaniec: Nieskończoność i nieskończoności

Zelaniec czarne l
„Wszystkie zwierzęta są równe, ale niektóre są równiejsze” (George Orwell).

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2021 nr 3 (39), s. 12–14. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Liczby naturalne (0, 1, 2, 3, 4…) i nieskończoność ich liczby

Wybierzmy ofiarę wśród tych, których nie podejrzewamy o znajomość działu „wyższej matematyki” zwanego teorią mnogości (zbiorów), i spytajmy ją, czy możliwe są nieskończoności większemniejsze, dodając takie np. wyjaśnienie: „Warszawa jest większa od Krakowa co do liczby ludności, bo ma milion osiemset tysięcy mieszkańców, a Kraków tylko osiemset tysięcy; ale wyobraźmy sobie dwa miasta o nieskończonej liczbie mieszkańców. Czy jedno może być większe niż drugie co do liczby ludności?”. Najczęstszą odpowiedzią naszej cierpliwej ofiary będzie coś w rodzaju: „Nie, bo z założenia oba mają nieskończenie wielu mieszkańców, nieskończoność to nieskończoność, nie może być większa czy mniejsza, jest po prostu nieskończona”.

Niektóre ludy „pierwotne” mają w swych językach jedynie kilka liczebników, po których następuje już tylko „dużo” i „bardzo dużo”. A my sami? Gdzieś koło tryliarda kończą się liczebniki ogólnie znane, dalej jest właśnie „dużo” i „bardzo dużo”, i może „nieskończenie dużo”. A ile to właściwie jest, tryliard? Albo, jeszcze lepiej, sekstyliard? (odpowiednio: jedynka z 21 zerami i jedynka z 39 zerami). Według ocen we Wszechświecie jest do 1082, czyli tysiąca tredecylionów, atomów – jak wielu Polaków zna słowo „tredecylion”? A cóż to tysiąc tredecylionów wobec nieskończoności? Jeśli miasto A ma sekstyliard mieszkańców, a miasto B ma ich tredecylion, to jest między nimi wprawdzie duża różnica, ale przy liczbie mieszkańców rosnącej w obu bez ograniczenia różnica ta się w naszym umyśle zaciera, aż wreszcie gdzieś znika. Znów odnosimy wrażenie, że nieskończoność jest jedna, po prostu nieskończona.

Tu uwaga: matematycy mówią, że coś zmierza do nieskończoności, co zapisują jako: „x→∞”, i mają tylko na myśli, że wartość zmiennej x rośnie bez górnego ograniczenia; nie ma to znaczyć, że zmienna ta przyjmie w końcu wartość nieskończoną! Słowo „nieskończoność” w tym kontekście nie oznacza żadnej „liczby nieskończonej”, lecz tylko, że x będzie dowolnie wielkie (choć skończone), jeśli odpowiednio długo poczekać.

Paradoksy nieskończoności

Wracając do tematu, zastanówmy się jeszcze nad następującą kwestią. Liczb naturalnych (0, 1, 2, 3, 4 itd.) jest nieskończenie wiele, bo gdyby była jakaś ostatnia, np. sekstyliard (1039), można by zawsze dodać do niej 1, a otrzyma się nie pusty symbol „1039 + 1”, ale liczbę (liczność) wszystkich liczb naturalnych do 1039 włącznie. A liczb naturalnych parzystych jest chyba o połowę mniej, skoro tylko co druga liczba naturalna jest parzysta. Lecz przecież i parzystych jest nieskończenie wiele, skoro do nie wiedzieć jak wielkiej z nich można zawsze dodać 2, by otrzymać jeszcze większą.

Takimi paradoksami zajmował się już Galileusz, a w wieku XIX niezwykły niemiecki matematyk, filozof i teolog ks. Bernard Bolzano z Pragi w swej książce Paradoksy nieskończoności z roku 1851. Dopiero jednak niemiec­ki matematyk Georg Cantor stworzył systematyczną teorię zbiorów („mnogości”), w której ramach rozwiązuje się takie zagadki.

Równoliczność/równa moc zbiorów

Oto jak się to robi. Dwa zbiory (np. liczb naturalnych, mieszkańców Konina czy atomów w kosmosie) mają tyle samo elementów (są równoliczne, mają tę samą moc) wtedy i tylko wtedy, gdy elementy jednego można „ponumerować” elementami drugiego, tak, by każdy element drugiego otrzymał swój „numer”, tj. jakiś element pierwszego zbioru, jemu tylko przyporządkowany, ale i tak, by każdy element pierwszego zbioru był „numerem” jednego i tylko jednego elementu drugiego. I okazuje się, że zbiór liczb naturalnych (dalej: N) jest w tym właśnie sensie równoliczny ze zbiorem liczb parzystych, gdyż: 0 numeruje siebie samo, 1 numeruje 2 i na odwrót, 2 numeruje 4 i na odwrót, 3 – 6 i na odwrót, 4 – 8 i na odwrót itd. Widać, że liczb naturalnych nie zabraknie, a każda z nich będzie „obstawiać” dokładnie jedną liczbę parzystą i będzie przez nią, i tylko przez nią, „obstawiona”.

Potwierdza to naszą pierwszą intuicję: wszystkie nieskończoności są sobie równie. Tak jednak nie jest. Okazuje się się bowiem, że moc zbioru potęgowego zbioru N [piszemy: P(N)] jest większa niż moc N. Obie te moce są nieskończone – ale ta pierwsza jest „nieskończeńsza”.

Niebezpieczny zbiór potęgowy

Czym jest ten „zbiór potęgowy” zbioru N czy w ogóle dowolnego zbioru Z? Jest to zbiór wszystkich podzbiorów Z. Pojęcie podzbioru jest intuicyjnie łatwo uchwytne, czasem jest jednak mylone z pojęciem elementu. Element Z jest czymś, co doń należy, a podzbiór – czymś, co się w Z zawiera. To zawieranie się polega dokładnie na tym (i niczym więcej), że każdy element danego podzbioru Z jest też sam elementem Z. Trochę jak w wojsku: elementem pułku jest żołnierz, podczas gdy np. kompania czy pluton się w pułku zawierają; albo w orkiestrze: zawiera się w niej sekcja instrumentów takich czy innych, np. smyczkowych, a jej elementem jest poszczególny instrument (z odnośnym instrumentalistą).

Przyjrzyjmy się przykładowi. Zbiór składa się z liczb 1 i 2 (pisze się „{1, 2}”, kolejność 1 i 2 nie gra roli). Elementy tego zbioru są dwa, a ile jest wszystkich jego podzbiorów? Cztery, czyli 22: {1}, {2}, {1,2} i ∅ (zbiór pusty, tj. niemający żadnych elementów, jest podzbiorem każdego zbioru). Prostym ćwiczeniem będzie sprawdzenie, że zbiór trzy­elementowy ma 8 podzbiorów. Zbiór n-elementowy będzie zaś ich miał 2n. Teraz staje się jasne, dlaczego taki zbiór nazywa się potęgowym i że musi on mieć moc większą od mocy {1,2}.

Ale {1,2} ma moc skończoną – co jednak ze zbiorami o mocach nieskończonych, jak N? Pewne proste rozumowanie przekona nas, że P(N) jest w rzeczy samej „bardziej nieskończony” niż N, inaczej mówiąc, że jego nieskończoność jest większa niż nieskończoność N.

Załóżmy, że już ponumerowaliśmy wszystkie elementy P(N) – czyli wszystkie podzbiory N – liczbami naturalnymi (i na odwrót). Każdy podzbiór N otrzymał swój numer, wyłącznie jemu przypisaną liczbę naturalną; ta zaś może do niego należeć lub nie. Rozważmy teraz ten podzbiór N, który składa się ze wszystkich liczb naturalnych nienależących do tych podzbiorów N, którym zostały przyporządkowane – i tylko z takich liczb; nazwijmy go X. Zgodnie z naszym założeniem, jak wszystkim elementom P(N), tak też i X-owi przypisaliśmy pewną liczbę naturalną – l. Pytanie teraz: czy l jest, czy też nie jest elementem X? Chwila refleksji uświadamia nam, że na pytanie to nie można odpowiedzieć, nie wikłając się w sprzeczność: jeśli bowiem l nie jest elementem X, to, zgodnie z definicją X, l jest elementem X; jeśli natomiast l jest elementem X, to, znów zgodnie z definicją X, l nie będzie należeć do X. Na coś takiego nie pozwala logika. Musimy odrzucić główną przesłankę tego prowadzącego do podwójnej sprzeczności rozumowania, a mianowicie że taka liczba l w ogóle istnieje.

Wniosek z tego rozumowania płynie taki, że elementów N, czyli liczb naturalnych, nie ma więc wystarczająco wiele (choć jest ich nieskończenie wiele), by można było nimi ponumerować wszystkie elementy P(N). Tych drugich jest nie tylko nieskończenie wiele, ale więcej niż liczb naturalnych.

Warto też zauważyć, że analogiczne rozumowanie odnieść można i do P(N), i wniosek będzie analogiczny: zbiór P(P(N)) też okaże się „nieskończeńszy” od P(N). Tak to można generować wciąż większe nieskończoności… w nieskończoność.

Alefy, bety i continuum: różne stopnie nieskończoności

Skoro tak, to trzeba ponazywać te różne nieskończoności w różny sposób. Nieskończoność zbioru N nazwano hebrajską literą ℵ, alef, z indeksem „0”: ℵ0, alef-zero; nieskończoność zaś P(N) – łacińską literą ce w kroju gotyckim: ?, czytaną „kontinuum”. Symbole te oznaczają liczby (zwane „kardynalnymi”), tak jak czynią to symbole „1” czy „7”, tylko że 1 i 7 są liczbami skończonymi, a ℵ0 i ? to liczby nieskończone, fachowo: pozaskończone (zob. s. 10 tego numeru).

Wiemy już, że ℵ0 < ?, ale czy jest coś pomiędzy? Istnieje inna jeszcze metoda generowania liczb pozaskończonych, nieużywająca triku zbioru potęgowego, ale korzystająca z pojęcia liczby porządkowej, czyli czegoś w rodzaju miejsca w kolejce, nawet i pozaskończonej. Dzięki tej metodzie stwierdzono, że istnieje liczba pozaskończona, która następuje zaraz po0, w tym sensie, że między nią a ℵ0 nie ma żadnych innych liczb; nazywa się ją „ℵ1”, alef-jeden, a zaraz po niej w porządku „rosnącej” nieskończoności są też i ℵ2, ℵ3, i dalsze alefy, nawet i nieskończenie wiele innych coraz to „nieskończeńszych” alefów. Przy czym nieskończoność liczby tych wszystkich alefów jest całkiem zatrważająca: nie da się jej wyrazić żadnym alefem!

Czy ? jest jednym z tych alefów, najlepiej ℵ1? Domysł, że tak, nazwano „hipotezą continuum”. Długo usiłowano jej dowieść lub ją obalić – aż w końcu (w połowie XX w.) okazało się, że jest to niemożliwe! Hipotezy continuum, ani też jej negacji, nie można dowieść, przynajmniej na gruncie przyjętych aksjomatów teorii zbiorów. Można ją też „bezkarnie” włączyć do tych aksjomatów – żadna sprzeczność z tego nie wyniknie. Na wszelki wypadek stworzono nowe nazwy dla liczb poza­skończonych wytwarzanych metodą zbioru potęgowego; posłużono się przy tym hebrajską literą bet, ℶ, tworząc ciąg betów, równoległy do ciągu alefów: ℶ0, ℶ1 = ? , ℶ2 … O tych dwu ciągach łącznie wiadomo jednak to tylko jedno: ℵ0= ℶ0.


Wojciech Żełaniec – filozof generalista i filozof społeczny, stypendysta Humboldta (Würzburg 1995–1997), kierownik Zakładu Etyki i Filozofii Społecznej w Instytucie Filozofii Wydziału Nauk Społecznych Uniwersytetu Gdańskiego (ifsid.ug.edu.pl). Redaktor numeru specjalnego włoskiego czasopisma „Argumenta” poświęconego tłu reguł konstytutywnych (https://www.argumenta.org). Hobby: czytanie i recytowanie poezji.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.
W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Paulina Belcarz

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy