Artykuł

Wojciech Żełaniec: Nieskończoność i nieskończoności

„Wszystkie zwierzęta są równe, ale niektóre są równiejsze” (George Orwell).

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 12–14. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Liczby naturalne (0, 1, 2, 3, 4…) i nieskończoność ich liczby

Wybierz­my ofia­rę wśród tych, któ­rych nie podej­rze­wa­my o zna­jo­mość dzia­łu „wyż­szej mate­ma­ty­ki” zwa­ne­go teo­rią mno­go­ści (zbio­rów), i spy­taj­my ją, czy moż­li­we są nie­skoń­czo­no­ści więk­szemniej­sze, doda­jąc takie np. wyja­śnie­nie: „War­sza­wa jest więk­sza od Kra­ko­wa co do licz­by lud­no­ści, bo ma milion osiem­set tysię­cy miesz­kań­ców, a Kra­ków tyl­ko osiem­set tysię­cy; ale wyobraź­my sobie dwa mia­sta o nie­skoń­czo­nej licz­bie miesz­kań­ców. Czy jed­no może być więk­sze niż dru­gie co do licz­by lud­no­ści?”. Naj­częst­szą odpo­wie­dzią naszej cier­pli­wej ofia­ry będzie coś w rodza­ju: „Nie, bo z zało­że­nia oba mają nie­skoń­cze­nie wie­lu miesz­kań­ców, nie­skoń­czo­ność to nie­skoń­czo­ność, nie może być więk­sza czy mniej­sza, jest po pro­stu nieskończona”.

Nie­któ­re ludy „pier­wot­ne” mają w swych języ­kach jedy­nie kil­ka liczeb­ni­ków, po któ­rych nastę­pu­je już tyl­ko „dużo” i „bar­dzo dużo”. A my sami? Gdzieś koło try­liar­da koń­czą się liczeb­ni­ki ogól­nie zna­ne, dalej jest wła­śnie „dużo” i „bar­dzo dużo”, i może „nie­skoń­cze­nie dużo”. A ile to wła­ści­wie jest, try­liard? Albo, jesz­cze lepiej, sek­sty­liard? (odpo­wied­nio: jedyn­ka z 21 zera­mi i jedyn­ka z 39 zera­mi). Według ocen we Wszech­świe­cie jest do 1082, czy­li tysią­ca tre­de­cy­lio­nów, ato­mów – jak wie­lu Pola­ków zna sło­wo „tre­de­cy­lion”? A cóż to tysiąc tre­de­cy­lio­nów wobec nie­skoń­czo­no­ści? Jeśli mia­sto A ma sek­sty­liard miesz­kań­ców, a mia­sto B ma ich tre­de­cy­lion, to jest mię­dzy nimi wpraw­dzie duża róż­ni­ca, ale przy licz­bie miesz­kań­ców rosną­cej w obu bez ogra­ni­cze­nia róż­ni­ca ta się w naszym umy­śle zacie­ra, aż wresz­cie gdzieś zni­ka. Znów odno­si­my wra­że­nie, że nie­skoń­czo­ność jest jed­na, po pro­stu nie­skoń­czo­na.

Tu uwa­ga: mate­ma­ty­cy mówią, że coś zmie­rza do nie­skoń­czo­no­ści, co zapi­su­ją jako: „x→∞”, i mają tyl­ko na myśli, że war­tość zmien­nej x rośnie bez gór­ne­go ogra­ni­cze­nia; nie ma to zna­czyć, że zmien­na ta przyj­mie w koń­cu war­tość nie­skoń­czo­ną! Sło­wo „nie­skoń­czo­ność” w tym kon­tek­ście nie ozna­cza żad­nej „licz­by nie­skoń­czo­nej”, lecz tyl­ko, że x będzie dowol­nie wiel­kie (choć skoń­czo­ne), jeśli odpo­wied­nio dłu­go poczekać.

Paradoksy nieskończoności

Wra­ca­jąc do tema­tu, zasta­nów­my się jesz­cze nad nastę­pu­ją­cą kwe­stią. Liczb natu­ral­nych (0, 1, 2, 3, 4 itd.) jest nie­skoń­cze­nie wie­le, bo gdy­by była jakaś ostat­nia, np. sek­sty­liard (1039), moż­na by zawsze dodać do niej 1, a otrzy­ma się nie pusty sym­bol „1039 + 1”, ale licz­bę (licz­ność) wszyst­kich liczb natu­ral­nych do 1039 włącz­nie. A liczb natu­ral­nych parzy­stych jest chy­ba o poło­wę mniej, sko­ro tyl­ko co dru­ga licz­ba natu­ral­na jest parzy­sta. Lecz prze­cież i parzy­stych jest nie­skoń­cze­nie wie­le, sko­ro do nie wie­dzieć jak wiel­kiej z nich moż­na zawsze dodać 2, by otrzy­mać jesz­cze większą.

Taki­mi para­dok­sa­mi zaj­mo­wał się już Gali­le­usz, a w wie­ku XIX nie­zwy­kły nie­miec­ki mate­ma­tyk, filo­zof i teo­log ks. Ber­nard Bol­za­no z Pra­gi w swej książ­ce Para­dok­sy nie­skoń­czo­no­ści z roku 1851. Dopie­ro jed­nak niemiec­ki mate­ma­tyk Georg Can­tor stwo­rzył sys­te­ma­tycz­ną teo­rię zbio­rów („mno­go­ści”), w któ­rej ramach roz­wią­zu­je się takie zagadki.

Równoliczność/równa moc zbiorów

Oto jak się to robi. Dwa zbio­ry (np. liczb natu­ral­nych, miesz­kań­ców Koni­na czy ato­mów w kosmo­sie) mają tyle samo ele­men­tów (są rów­no­licz­ne, mają tę samą moc) wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy ele­men­ty jed­ne­go moż­na „ponu­me­ro­wać” ele­men­ta­mi dru­gie­go, tak, by każ­dy ele­ment dru­gie­go otrzy­mał swój „numer”, tj. jakiś ele­ment pierw­sze­go zbio­ru, jemu tyl­ko przy­po­rząd­ko­wa­ny, ale i tak, by każ­dy ele­ment pierw­sze­go zbio­ru był „nume­rem” jed­ne­go i tyl­ko jed­ne­go ele­men­tu dru­gie­go. I oka­zu­je się, że zbiór liczb natu­ral­nych (dalej: N) jest w tym wła­śnie sen­sie rów­no­licz­ny ze zbio­rem liczb parzy­stych, gdyż: 0 nume­ru­je sie­bie samo, 1 nume­ru­je 2 i na odwrót, 2 nume­ru­je 4 i na odwrót, 3 – 6 i na odwrót, 4 – 8 i na odwrót itd. Widać, że liczb natu­ral­nych nie zabrak­nie, a każ­da z nich będzie „obsta­wiać” dokład­nie jed­ną licz­bę parzy­stą i będzie przez nią, i tyl­ko przez nią, „obsta­wio­na”.

Potwier­dza to naszą pierw­szą intu­icję: wszyst­kie nie­skoń­czo­no­ści są sobie rów­nie. Tak jed­nak nie jest. Oka­zu­je się się bowiem, że moc zbio­ru potę­go­we­go zbio­ru N [pisze­my: P(N)] jest więk­sza niż moc N. Obie te moce są nie­skoń­czo­ne – ale ta pierw­sza jest „nie­skoń­czeń­sza”.

Niebezpieczny zbiór potęgowy

Czym jest ten „zbiór potę­go­wy” zbio­ru N czy w ogó­le dowol­ne­go zbio­ru Z? Jest to zbiór wszyst­kich pod­zbio­rów Z. Poję­cie pod­zbio­ru jest intu­icyj­nie łatwo uchwyt­ne, cza­sem jest jed­nak mylo­ne z poję­ciem ele­men­tu. Ele­ment Z jest czymś, co doń nale­ży, a pod­zbiór – czymś, co się w Z zawie­ra. To zawie­ra­nie się pole­ga dokład­nie na tym (i niczym wię­cej), że każ­dy ele­ment dane­go pod­zbio­ru Z jest też sam ele­men­tem Z. Tro­chę jak w woj­sku: ele­men­tem puł­ku jest żoł­nierz, pod­czas gdy np. kom­pa­nia czy plu­ton się w puł­ku zawie­ra­ją; albo w orkie­strze: zawie­ra się w niej sek­cja instru­men­tów takich czy innych, np. smycz­ko­wych, a jej ele­men­tem jest poszcze­gól­ny instru­ment (z odno­śnym instrumentalistą).

Przyj­rzyj­my się przy­kła­do­wi. Zbiór skła­da się z liczb 1 i 2 (pisze się „{1, 2}”, kolej­ność 1 i 2 nie gra roli). Ele­men­ty tego zbio­ru są dwa, a ile jest wszyst­kich jego pod­zbio­rów? Czte­ry, czy­li 22: {1}, {2}, {1,2} i ∅ (zbiór pusty, tj. nie­ma­ją­cy żad­nych ele­men­tów, jest pod­zbio­rem każ­de­go zbio­ru). Pro­stym ćwi­cze­niem będzie spraw­dze­nie, że zbiór trzy­elementowy ma 8 pod­zbio­rów. Zbiór n-ele­men­to­wy będzie zaś ich miał 2n. Teraz sta­je się jasne, dla­cze­go taki zbiór nazy­wa się potę­go­wym i że musi on mieć moc więk­szą od mocy {1,2}.

Ale {1,2} ma moc skoń­czo­ną – co jed­nak ze zbio­ra­mi o mocach nie­skoń­czo­nych, jak N? Pew­ne pro­ste rozu­mo­wa­nie prze­ko­na nas, że P(N) jest w rze­czy samej „bar­dziej nie­skoń­czo­ny” niż N, ina­czej mówiąc, że jego nie­skoń­czo­ność jest więk­sza niż nie­skoń­czo­ność N.

Załóż­my, że już ponu­me­ro­wa­li­śmy wszyst­kie ele­men­ty P(N) – czy­li wszyst­kie pod­zbio­ry N – licz­ba­mi natu­ral­ny­mi (i na odwrót). Każ­dy pod­zbiór N otrzy­mał swój numer, wyłącz­nie jemu przy­pi­sa­ną licz­bę natu­ral­ną; ta zaś może do nie­go nale­żeć lub nie. Roz­waż­my teraz ten pod­zbiór N, któ­ry skła­da się ze wszyst­kich liczb natu­ral­nych nie­na­le­żą­cych do tych pod­zbio­rów N, któ­rym zosta­ły przy­po­rząd­ko­wa­ne – i tyl­ko z takich liczb; nazwij­my go X. Zgod­nie z naszym zało­że­niem, jak wszyst­kim ele­men­tom P(N), tak też i X-owi przy­pi­sa­li­śmy pew­ną licz­bę natu­ral­ną – l. Pyta­nie teraz: czy l jest, czy też nie jest ele­men­tem X? Chwi­la reflek­sji uświa­da­mia nam, że na pyta­nie to nie moż­na odpo­wie­dzieć, nie wikła­jąc się w sprzecz­ność: jeśli bowiem l nie jest ele­men­tem X, to, zgod­nie z defi­ni­cją X, l jest ele­men­tem X; jeśli nato­miast l jest ele­men­tem X, to, znów zgod­nie z defi­ni­cją X, l nie będzie nale­żeć do X. Na coś takie­go nie pozwa­la logi­ka. Musi­my odrzu­cić głów­ną prze­słan­kę tego pro­wa­dzą­ce­go do podwój­nej sprzecz­no­ści rozu­mo­wa­nia, a mia­no­wi­cie że taka licz­ba l w ogó­le istnieje.

Wnio­sek z tego rozu­mo­wa­nia pły­nie taki, że ele­men­tów N, czy­li liczb natu­ral­nych, nie ma więc wystar­cza­ją­co wie­le (choć jest ich nie­skoń­cze­nie wie­le), by moż­na było nimi ponu­me­ro­wać wszyst­kie ele­men­ty P(N). Tych dru­gich jest nie tyl­ko nie­skoń­cze­nie wie­le, ale wię­cej niż liczb naturalnych.

War­to też zauwa­żyć, że ana­lo­gicz­ne rozu­mo­wa­nie odnieść moż­na i do P(N), i wnio­sek będzie ana­lo­gicz­ny: zbiór P(P(N)) też oka­że się „nie­skoń­czeń­szy” od P(N). Tak to moż­na gene­ro­wać wciąż więk­sze nie­skoń­czo­no­ści… w nieskończoność.

Alefy, bety i continuum: różne stopnie nieskończoności

Sko­ro tak, to trze­ba pona­zy­wać te róż­ne nie­skoń­czo­no­ści w róż­ny spo­sób. Nie­skoń­czo­ność zbio­ru N nazwa­no hebraj­ską lite­rą ℵ, alef, z indek­sem „0”: ℵ0, alef-zero; nie­skoń­czo­ność zaś P(N) – łaciń­ską lite­rą ce w kro­ju gotyc­kim: ?, czy­ta­ną „kon­ti­nu­um”. Sym­bo­le te ozna­cza­ją licz­by (zwa­ne „kar­dy­nal­ny­mi”), tak jak czy­nią to sym­bo­le „1” czy „7”, tyl­ko że 1 i 7 są licz­ba­mi skoń­czo­ny­mi, a ℵ0 i ? to licz­by nie­skoń­czo­ne, facho­wo: poza­skoń­czo­ne (zob. s. 10 tego numeru).

Wie­my już, że ℵ0 < ?, ale czy jest coś pomię­dzy? Ist­nie­je inna jesz­cze meto­da gene­ro­wa­nia liczb poza­skoń­czo­nych, nie­uży­wa­ją­ca tri­ku zbio­ru potę­go­we­go, ale korzy­sta­ją­ca z poję­cia licz­by porząd­ko­wej, czy­li cze­goś w rodza­ju miej­sca w kolej­ce, nawet i poza­skoń­czo­nej. Dzię­ki tej meto­dzie stwier­dzo­no, że ist­nie­je licz­ba poza­skoń­czo­na, któ­ra nastę­pu­je zaraz po0, w tym sen­sie, że mię­dzy nią a ℵ0 nie ma żad­nych innych liczb; nazy­wa się ją „ℵ1”, alef-jeden, a zaraz po niej w porząd­ku „rosną­cej” nie­skoń­czo­no­ści są też i ℵ2, ℵ3, i dal­sze ale­fy, nawet i nie­skoń­cze­nie wie­le innych coraz to „nie­skoń­czeń­szych” ale­fów. Przy czym nie­skoń­czo­ność licz­by tych wszyst­kich ale­fów jest cał­kiem zatrwa­ża­ją­ca: nie da się jej wyra­zić żad­nym alefem!

Czy ? jest jed­nym z tych ale­fów, naj­le­piej ℵ1? Domysł, że tak, nazwa­no „hipo­te­zą con­ti­nu­um”. Dłu­go usi­ło­wa­no jej dowieść lub ją oba­lić – aż w koń­cu (w poło­wie XX w.) oka­za­ło się, że jest to nie­moż­li­we! Hipo­te­zy con­ti­nu­um, ani też jej nega­cji, nie moż­na dowieść, przy­naj­mniej na grun­cie przy­ję­tych aksjo­ma­tów teo­rii zbio­rów. Moż­na ją też „bez­kar­nie” włą­czyć do tych aksjo­ma­tów – żad­na sprzecz­ność z tego nie wynik­nie. Na wszel­ki wypa­dek stwo­rzo­no nowe nazwy dla liczb poza­skończonych wytwa­rza­nych meto­dą zbio­ru potę­go­we­go; posłu­żo­no się przy tym hebraj­ską lite­rą bet, ℶ, two­rząc ciąg betów, rów­no­le­gły do cią­gu ale­fów: ℶ0, ℶ1 = ? , ℶ2 … O tych dwu cią­gach łącz­nie wia­do­mo jed­nak to tyl­ko jed­no: ℵ0= ℶ0.


Woj­ciech Żeła­niec – filo­zof gene­ra­li­sta i filo­zof spo­łecz­ny, sty­pen­dy­sta Hum­bold­ta (Würz­burg 1995–1997), kie­row­nik Zakła­du Ety­ki i Filo­zo­fii Spo­łecz­nej w Insty­tu­cie Filo­zo­fii Wydzia­łu Nauk Spo­łecz­nych Uni­wer­sy­te­tu Gdań­skie­go (ifsid.ug.edu.pl). Redak­tor nume­ru spe­cjal­ne­go wło­skie­go cza­so­pi­sma „Argu­men­ta” poświę­co­ne­go tłu reguł kon­sty­tu­tyw­nych (https://www.argumenta.org). Hob­by: czy­ta­nie i recy­to­wa­nie poezji.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Pau­li­na Belcarz

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy