Artykuł Filozofia nauki Logika

Patryk Popławski: Nieskończoności Cantora

nieskonczonosci
W powszechnym mniemaniu nieskończoność jest tylko jedna – albo coś jest nieskończone, albo nie. Zazwyczaj myślimy, że nie ma wielu nieskończoności, które by się w jakimś sensie między sobą różniły. 

Błędność tego przekonania ujawnił niemiecki matematyk Georg Cantor (1845–1918), wykazując, że nieskończoności mogą mieć różną moc. To właśnie dzięki tym dowodom stał się jedną z najważniejszych postaci teorii mnogości (działu matematyki i logiki, który zajmuje się własnościami zbiorów). Przyjrzyjmy się zatem nieskończonościom, nad którymi zastanawiał się Cantor.

Jakie najważniejsze zbiory liczb rozważamy w matematyce? Mamy zbiór liczb rzeczywistych, na który składają się zbiory liczb wymiernych i niewymiernych. Część liczb wymiernych tworzy zbiór liczb całkowitych, którego podzbiorem jest zbiór liczb naturalnych. W szkole zazwyczaj byliśmy uczeni, że te zbiory są po prostu nieskończone. Jednakże, zgodnie z teorią Cantora, zbiór liczb rzeczywistych to bardziej liczebna nieskończoność niż zbiór liczb całkowitych, zaś zbiór liczb całkowitych i wymiernych to zbiory, które nie tylko są nieskończone, ale mają również tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych. O co tutaj chodzi?

Moc zbioru i jego przeliczalność

Żeby to zrozumieć, musimy wprowadzić pewne pojęcia. Przez moc zbioru będziemy rozumieć liczebność zbioru. Punktem wyjścia dla porównywania mocy zbiorów jest moc alef zero, czyli moc zbioru liczb naturalnych oraz wszystkich zbiorów, które są z tym zbiorem równoliczne, tzn. mają tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych. Drugim ważnym pojęciem jest przeliczalność. Zbiór przeliczalny to każdy zbiór, którego elementy da się ustawić w ciąg liczb czy też, inaczej mówiąc, „ponumerować” za pomocą liczb naturalnych. Jeśli zbiór jest przeliczalny i nieskończony, to jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Spójrzmy teraz na zbiór liczb całkowitych. Pamiętamy, że zbiór liczb naturalnych to N = {0, 1, 2, 3, …} (przyjmujemy tutaj wersję, zgodnie z którą zero należy do liczb naturalnych), zaś zbiór liczb całkowitych to C = {…, ‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, …}. Na pierwszy rzut oka może się komuś wydawać, że zbiór liczb całkowitych to w jakimś sensie większa nieskończoność niż zbiór liczb naturalnych. Jednakże, jak wykazuje Cantor, wcale tak nie jest i zbiory te są równoliczne, tzn. mamy do czynienia z takimi samymi nieskończonościami. Jak to wykazać? Otóż każdej liczbie naturalnej możemy przyporządkować jedną liczbę całkowitą, tzn. dla 0 mamy 0, dla 1 mamy ‑1, dla 2 mamy 1, dla 3 mamy ‑2, dla 4 mamy 2, dla 5 mamy ‑3, dla 6 mamy 3 i tak w nieskończoność. Inaczej mówiąc: możemy przeliczyć elementy zbioru liczb całkowitych za pomocą liczb naturalnych, ponumerować je (pierwszy, drugi, trzeci, czwarty…). Wtedy widać, że te zbiory mają taką samą moc i jest nią alef zero. Przykładem innego zbioru, który ma taką samą moc jak zbiór liczb naturalnych, może być zbiór liczb wymiernych czy też zbiór liczb pierwszych.

Continuum

Dlaczego jednak o zbiorze liczb rzeczywistych powiemy, że jest to większa nieskończoność? Odpowiedź jest następująca: ten zbiór jest nieprzeliczalny (nie możemy ustawić wszystkich liczb rzeczywistych w ciąg) i dlatego  zawiera więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych. Moc takiego zbioru to continuum. Przebieg dowodu, w którym Cantor wykazuje, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, można znaleźć pod hasłem dowód przekątniowy albo metoda przekątniowa.

Teoria Cantora nie zawsze była akceptowana w środowisku matematyków i na początku napotkała duży opór. I tak na przykład Leopold Kronecker do końca swojego życia próbował ją zwalczyć, zaś Henri Poincare określił teorię Cantora jako interesujący przyczynek patologiczny. Z czasem jednak pomysł Cantora zaczął zdobywać uznanie, w tym między innymi filozofa Bertranda Russella, który o tej teorii powiedział, że jest „prawdopodobnie najpiękniejszą, jaką nasz wiek poszczycić się może’’. Sam Cantor zaś, pod koniec swojego życia, zajął się mistycyzmem i rozwijał koncepcję Absolutnej Nieskończoności.

 

Warto doczytać

J.W. Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton 1990.

A. Smoluk, O nieskończoności, liczbach i analogii, „Studia i Prace WNEIZ US” 2013 t. 31, nr 1, s. 291–312.

P. Markiewicz, Georga Cantora filozofia nieskończoności, „Humanistyka i Przyrodoznawstwo” 2004 t. 10, s. 51–68.

J. Dadaczyński, Heurystyka teorii mnogości G. Cantora, „Roczniki Filozoficzne” 1997 t. 45, nr 3, s. 101–141.

D. Laskowski, Jak tego dowieść – krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego, Helion Edukacja, s. 35–38.


Patryk Popławski – Licencjat filozofii na Uniwersytecie Mikołaja Kopernika w Toruniu. Zainteresowany zagadnieniami związanymi z logiką deontyczną, semiotyką, językoznawstwem i filozofią języka. W wolnych chwilach zanurza się w uniwersum stworzonym przez DC Comics i poświęca czas ukochanym szczurom hodowlanym. E‑mail: patrycjusz220@gmail.com

 

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy