Artykuł Filozofia nauki Logika

Patryk Popławski: Nieskończoności Cantora

W powszechnym mniemaniu nieskończoność jest tylko jedna – albo coś jest nieskończone, albo nie. Zazwyczaj myślimy, że nie ma wielu nieskończoności, które by się w jakimś sensie między sobą różniły. 

Błęd­ność tego prze­ko­na­nia ujaw­nił nie­miec­ki mate­ma­tyk Georg Can­tor (1845–1918), wyka­zu­jąc, że nie­skoń­czo­no­ści mogą mieć róż­ną moc. To wła­śnie dzię­ki tym dowo­dom stał się jed­ną z naj­waż­niej­szych posta­ci teo­rii mno­go­ści (dzia­łu mate­ma­ty­ki i logi­ki, któ­ry zaj­mu­je się wła­sno­ścia­mi zbio­rów). Przyj­rzyj­my się zatem nie­skoń­czo­no­ściom, nad któ­ry­mi zasta­na­wiał się Cantor.

Jakie naj­waż­niej­sze zbio­ry liczb roz­wa­ża­my w mate­ma­ty­ce? Mamy zbiór liczb rze­czy­wi­stych, na któ­ry skła­da­ją się zbio­ry liczb wymier­nych i nie­wy­mier­nych. Część liczb wymier­nych two­rzy zbiór liczb cał­ko­wi­tych, któ­re­go pod­zbio­rem jest zbiór liczb natu­ral­nych. W szko­le zazwy­czaj byli­śmy ucze­ni, że te zbio­ry są po pro­stu nie­skoń­czo­ne. Jed­nak­że, zgod­nie z teo­rią Can­to­ra, zbiór liczb rze­czy­wi­stych to bar­dziej liczeb­na nie­skoń­czo­ność niż zbiór liczb cał­ko­wi­tych, zaś zbiór liczb cał­ko­wi­tych i wymier­nych to zbio­ry, któ­re nie tyl­ko są nie­skoń­czo­ne, ale mają rów­nież tyle samo ele­men­tów co zbiór liczb natu­ral­nych. O co tutaj chodzi?

Moc zbioru i jego przeliczalność

Żeby to zro­zu­mieć, musi­my wpro­wa­dzić pew­ne poję­cia. Przez moc zbio­ru będzie­my rozu­mieć liczeb­ność zbio­ru. Punk­tem wyj­ścia dla porów­ny­wa­nia mocy zbio­rów jest moc alef zero, czy­li moc zbio­ru liczb natu­ral­nych oraz wszyst­kich zbio­rów, któ­re są z tym zbio­rem rów­no­licz­ne, tzn. mają tyle samo ele­men­tów co zbiór liczb natu­ral­nych. Dru­gim waż­nym poję­ciem jest prze­li­czal­ność. Zbiór prze­li­czal­ny to każ­dy zbiór, któ­re­go ele­men­ty da się usta­wić w ciąg liczb czy też, ina­czej mówiąc, „ponu­me­ro­wać” za pomo­cą liczb natu­ral­nych. Jeśli zbiór jest prze­li­czal­ny i nie­skoń­czo­ny, to jest rów­no­licz­ny ze zbio­rem liczb naturalnych.

Spójrz­my teraz na zbiór liczb cał­ko­wi­tych. Pamię­ta­my, że zbiór liczb natu­ral­nych to N = {0, 1, 2, 3, …} (przyj­mu­je­my tutaj wer­sję, zgod­nie z któ­rą zero nale­ży do liczb natu­ral­nych), zaś zbiór liczb cał­ko­wi­tych to C = {…, ‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, …}. Na pierw­szy rzut oka może się komuś wyda­wać, że zbiór liczb cał­ko­wi­tych to w jakimś sen­sie więk­sza nie­skoń­czo­ność niż zbiór liczb natu­ral­nych. Jed­nak­że, jak wyka­zu­je Can­tor, wca­le tak nie jest i zbio­ry te są rów­no­licz­ne, tzn. mamy do czy­nie­nia z taki­mi samy­mi nie­skoń­czo­no­ścia­mi. Jak to wyka­zać? Otóż każ­dej licz­bie natu­ral­nej może­my przy­po­rząd­ko­wać jed­ną licz­bę cał­ko­wi­tą, tzn. dla 0 mamy 0, dla 1 mamy ‑1, dla 2 mamy 1, dla 3 mamy ‑2, dla 4 mamy 2, dla 5 mamy ‑3, dla 6 mamy 3 i tak w nie­skoń­czo­ność. Ina­czej mówiąc: może­my prze­li­czyć ele­men­ty zbio­ru liczb cał­ko­wi­tych za pomo­cą liczb natu­ral­nych, ponu­me­ro­wać je (pierw­szy, dru­gi, trze­ci, czwar­ty…). Wte­dy widać, że te zbio­ry mają taką samą moc i jest nią alef zero. Przy­kła­dem inne­go zbio­ru, któ­ry ma taką samą moc jak zbiór liczb natu­ral­nych, może być zbiór liczb wymier­nych czy też zbiór liczb pierwszych.

Continuum

Dla­cze­go jed­nak o zbio­rze liczb rze­czy­wi­stych powie­my, że jest to więk­sza nie­skoń­czo­ność? Odpo­wiedź jest nastę­pu­ją­ca: ten zbiór jest nie­prze­li­czal­ny (nie może­my usta­wić wszyst­kich liczb rze­czy­wi­stych w ciąg) i dla­te­go  zawie­ra wię­cej ele­men­tów niż zbiór liczb natu­ral­nych. Moc takie­go zbio­ru to con­ti­nu­um. Prze­bieg dowo­du, w któ­rym Can­tor wyka­zu­je, że zbiór liczb rze­czy­wi­stych jest nie­prze­li­czal­ny, moż­na zna­leźć pod hasłem dowód prze­kąt­nio­wy albo meto­da prze­kąt­nio­wa.

Teo­ria Can­to­ra nie zawsze była akcep­to­wa­na w śro­do­wi­sku mate­ma­ty­ków i na począt­ku napo­tka­ła duży opór. I tak na przy­kład Leopold Kro­nec­ker do koń­ca swo­je­go życia pró­bo­wał ją zwal­czyć, zaś Hen­ri Poin­ca­re okre­ślił teo­rię Can­to­ra jako inte­re­su­ją­cy przy­czy­nek pato­lo­gicz­ny. Z cza­sem jed­nak pomysł Can­to­ra zaczął zdo­by­wać uzna­nie, w tym mię­dzy inny­mi filo­zo­fa Ber­tran­da Rus­sel­la, któ­ry o tej teo­rii powie­dział, że jest „praw­do­po­dob­nie naj­pięk­niej­szą, jaką nasz wiek poszczy­cić się może’’. Sam Can­tor zaś, pod koniec swo­je­go życia, zajął się misty­cy­zmem i roz­wi­jał kon­cep­cję Abso­lut­nej Nieskończoności.

 

War­to doczytać

J.W. Dau­ben, Georg Can­tor: His Mathe­ma­tics and Phi­lo­so­phy of the Infi­ni­te, Prin­ce­ton 1990.

A. Smo­luk, O nie­skoń­czo­no­ści, licz­bach i ana­lo­gii, „Stu­dia i Pra­ce WNEIZ US” 2013 t. 31, nr 1, s. 291–312.

P. Mar­kie­wicz, Geo­r­ga Can­to­ra filo­zo­fia nie­skoń­czo­no­ści, „Huma­ni­sty­ka i Przy­ro­do­znaw­stwo” 2004 t. 10, s. 51–68.

J. Dada­czyń­ski, Heu­ry­sty­ka teo­rii mno­go­ści G. Can­to­ra, „Rocz­ni­ki Filo­zo­ficz­ne” 1997 t. 45, nr 3, s. 101–141.

D. Laskow­ski, Jak tego dowieść – krót­ka opo­wieść. Dowo­dy mate­ma­tycz­ne dla każ­de­go, Helion Edu­ka­cja, s. 35–38.


Patryk Popław­ski – Licen­cjat filo­zo­fii na Uni­wer­sy­te­cie Miko­ła­ja Koper­ni­ka w Toru­niu. Zain­te­re­so­wa­ny zagad­nie­nia­mi zwią­za­ny­mi z logi­ką deon­tycz­ną, semio­ty­ką, języ­ko­znaw­stwem i filo­zo­fią języ­ka. W wol­nych chwi­lach zanu­rza się w uni­wer­sum stwo­rzo­nym przez DC Comics i poświę­ca czas uko­cha­nym szczu­rom hodow­la­nym. E‑mail: patrycjusz220@gmail.com

 

Najnowszy numer można nabyć od 5 maja w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy