Artykuł Filozofia nauki Logika

Patryk Popławski: Nieskończoności Cantora

W powszechnym mniemaniu nieskończoność jest tylko jedna – albo coś jest nieskończone, albo nie. Zazwyczaj myślimy, że nie ma wielu nieskończoności, które by się w jakimś sensie między sobą różniły. 

Błęd­ność tego prze­ko­na­nia ujaw­nił nie­miec­ki mate­ma­tyk Georg Can­tor (1845–1918), wyka­zu­jąc, że nie­skoń­czo­no­ści mogą mieć róż­ną moc. To wła­śnie dzię­ki tym dowo­dom stał się jed­ną z naj­waż­niej­szych posta­ci teo­rii mno­go­ści (dzia­łu mate­ma­ty­ki i logi­ki, któ­ry zaj­mu­je się wła­sno­ścia­mi zbio­rów). Przyj­rzyj­my się zatem nie­skoń­czo­no­ściom, nad któ­ry­mi zasta­na­wiał się Cantor.

Jakie naj­waż­niej­sze zbio­ry liczb roz­wa­ża­my w mate­ma­ty­ce? Mamy zbiór liczb rze­czy­wi­stych, na któ­ry skła­da­ją się zbio­ry liczb wymier­nych i nie­wy­mier­nych. Część liczb wymier­nych two­rzy zbiór liczb cał­ko­wi­tych, któ­re­go pod­zbio­rem jest zbiór liczb natu­ral­nych. W szko­le zazwy­czaj byli­śmy ucze­ni, że te zbio­ry są po pro­stu nie­skoń­czo­ne. Jed­nak­że, zgod­nie z teo­rią Can­to­ra, zbiór liczb rze­czy­wi­stych to bar­dziej liczeb­na nie­skoń­czo­ność niż zbiór liczb cał­ko­wi­tych, zaś zbiór liczb cał­ko­wi­tych i wymier­nych to zbio­ry, któ­re nie tyl­ko są nie­skoń­czo­ne, ale mają rów­nież tyle samo ele­men­tów co zbiór liczb natu­ral­nych. O co tutaj chodzi?

Moc zbioru i jego przeliczalność

Żeby to zro­zu­mieć, musi­my wpro­wa­dzić pew­ne poję­cia. Przez moc zbio­ru będzie­my rozu­mieć liczeb­ność zbio­ru. Punk­tem wyj­ścia dla porów­ny­wa­nia mocy zbio­rów jest moc alef zero, czy­li moc zbio­ru liczb natu­ral­nych oraz wszyst­kich zbio­rów, któ­re są z tym zbio­rem rów­no­licz­ne, tzn. mają tyle samo ele­men­tów co zbiór liczb natu­ral­nych. Dru­gim waż­nym poję­ciem jest prze­li­czal­ność. Zbiór prze­li­czal­ny to każ­dy zbiór, któ­re­go ele­men­ty da się usta­wić w ciąg liczb czy też, ina­czej mówiąc, „ponu­me­ro­wać” za pomo­cą liczb natu­ral­nych. Jeśli zbiór jest prze­li­czal­ny i nie­skoń­czo­ny, to jest rów­no­licz­ny ze zbio­rem liczb naturalnych.

Spójrz­my teraz na zbiór liczb cał­ko­wi­tych. Pamię­ta­my, że zbiór liczb natu­ral­nych to N = {0, 1, 2, 3, …} (przyj­mu­je­my tutaj wer­sję, zgod­nie z któ­rą zero nale­ży do liczb natu­ral­nych), zaś zbiór liczb cał­ko­wi­tych to C = {…, ‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, …}. Na pierw­szy rzut oka może się komuś wyda­wać, że zbiór liczb cał­ko­wi­tych to w jakimś sen­sie więk­sza nie­skoń­czo­ność niż zbiór liczb natu­ral­nych. Jed­nak­że, jak wyka­zu­je Can­tor, wca­le tak nie jest i zbio­ry te są rów­no­licz­ne, tzn. mamy do czy­nie­nia z taki­mi samy­mi nie­skoń­czo­no­ścia­mi. Jak to wyka­zać? Otóż każ­dej licz­bie natu­ral­nej może­my przy­po­rząd­ko­wać jed­ną licz­bę cał­ko­wi­tą, tzn. dla 0 mamy 0, dla 1 mamy ‑1, dla 2 mamy 1, dla 3 mamy ‑2, dla 4 mamy 2, dla 5 mamy ‑3, dla 6 mamy 3 i tak w nie­skoń­czo­ność. Ina­czej mówiąc: może­my prze­li­czyć ele­men­ty zbio­ru liczb cał­ko­wi­tych za pomo­cą liczb natu­ral­nych, ponu­me­ro­wać je (pierw­szy, dru­gi, trze­ci, czwar­ty…). Wte­dy widać, że te zbio­ry mają taką samą moc i jest nią alef zero. Przy­kła­dem inne­go zbio­ru, któ­ry ma taką samą moc jak zbiór liczb natu­ral­nych, może być zbiór liczb wymier­nych czy też zbiór liczb pierwszych.

Continuum

Dla­cze­go jed­nak o zbio­rze liczb rze­czy­wi­stych powie­my, że jest to więk­sza nie­skoń­czo­ność? Odpo­wiedź jest nastę­pu­ją­ca: ten zbiór jest nie­prze­li­czal­ny (nie może­my usta­wić wszyst­kich liczb rze­czy­wi­stych w ciąg) i dla­te­go  zawie­ra wię­cej ele­men­tów niż zbiór liczb natu­ral­nych. Moc takie­go zbio­ru to con­ti­nu­um. Prze­bieg dowo­du, w któ­rym Can­tor wyka­zu­je, że zbiór liczb rze­czy­wi­stych jest nie­prze­li­czal­ny, moż­na zna­leźć pod hasłem dowód prze­kąt­nio­wy albo meto­da prze­kąt­nio­wa.

Teo­ria Can­to­ra nie zawsze była akcep­to­wa­na w śro­do­wi­sku mate­ma­ty­ków i na począt­ku napo­tka­ła duży opór. I tak na przy­kład Leopold Kro­nec­ker do koń­ca swo­je­go życia pró­bo­wał ją zwal­czyć, zaś Hen­ri Poin­ca­re okre­ślił teo­rię Can­to­ra jako inte­re­su­ją­cy przy­czy­nek pato­lo­gicz­ny. Z cza­sem jed­nak pomysł Can­to­ra zaczął zdo­by­wać uzna­nie, w tym mię­dzy inny­mi filo­zo­fa Ber­tran­da Rus­sel­la, któ­ry o tej teo­rii powie­dział, że jest „praw­do­po­dob­nie naj­pięk­niej­szą, jaką nasz wiek poszczy­cić się może’’. Sam Can­tor zaś, pod koniec swo­je­go życia, zajął się misty­cy­zmem i roz­wi­jał kon­cep­cję Abso­lut­nej Nieskończoności.

 

War­to doczytać

J.W. Dau­ben, Georg Can­tor: His Mathe­ma­tics and Phi­lo­so­phy of the Infi­ni­te, Prin­ce­ton 1990.

A. Smo­luk, O nie­skoń­czo­no­ści, licz­bach i ana­lo­gii, „Stu­dia i Pra­ce WNEIZ US” 2013 t. 31, nr 1, s. 291–312.

P. Mar­kie­wicz, Geo­r­ga Can­to­ra filo­zo­fia nie­skoń­czo­no­ści, „Huma­ni­sty­ka i Przy­ro­do­znaw­stwo” 2004 t. 10, s. 51–68.

J. Dada­czyń­ski, Heu­ry­sty­ka teo­rii mno­go­ści G. Can­to­ra, „Rocz­ni­ki Filo­zo­ficz­ne” 1997 t. 45, nr 3, s. 101–141.

D. Laskow­ski, Jak tego dowieść – krót­ka opo­wieść. Dowo­dy mate­ma­tycz­ne dla każ­de­go, Helion Edu­ka­cja, s. 35–38.


Patryk Popław­ski – Licen­cjat filo­zo­fii na Uni­wer­sy­te­cie Miko­ła­ja Koper­ni­ka w Toru­niu. Zain­te­re­so­wa­ny zagad­nie­nia­mi zwią­za­ny­mi z logi­ką deon­tycz­ną, semio­ty­ką, języ­ko­znaw­stwem i filo­zo­fią języ­ka. W wol­nych chwi­lach zanu­rza się w uni­wer­sum stwo­rzo­nym przez DC Comics i poświę­ca czas uko­cha­nym szczu­rom hodow­la­nym. E‑mail: patrycjusz220@gmail.com

 

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy