Artykuł Predatoryzacja logiki

Rafał Urbaniak: Predatoryzacja logiki cz. 3

Użyjemy rachunku zdań, by rozwiązać zagadkę morderstwa Predatora na odległej asteroidzie, powoli zmierzając w kierunku problematyki okresów warunkowych.

Zapisz się do naszego newslettera

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2015 nr 5, s. 24–26. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


 Ostrzeżenie: niniejszy tekst stanowi kontynuację serii artykułów opublikowanych w „Filozofuj!” 2015, numery od 1 do 3. W przypadku niezrozumienia poszczególnych symboli, sięgnij do poprzednich części niniejszej serii.

1. Znowu zmiana przydziału

Tym razem zosta­je­my przy­dzie­le­ni do gru­py nad­zo­ru­ją­cej oko­licz­ną kolo­nię kar­ną Pre­da­to­rów. Któ­re­goś pięk­ne­go poran­ka, spa­ce­ru­jąc sobie bez­tro­sko w oto­cze­niu sil­nej ochro­ny po głów­nym pla­cu kolo­nii, znaj­du­je­my odgry­zio­ną, prze­żu­tą i wyplu­tą gło­wę jed­ne­go z Pre­da­to­rów. Nasz nie­pod­wa­żal­ny talent logicz­ny pozwa­la nam bły­ska­wicz­nie wywnio­sko­wać, że być może nale­ży spraw­dzić, czy żad­ne­go Pre­da­to­ra nie bra­ku­je w obo­zo­wym klu­bie miło­śni­ków bie­rek pod­wod­nych, w któ­rym obec­nie wszyst­kie Pre­da­to­ry powin­ny prze­by­wać, ćwi­cząc przed nad­cho­dzą­cy­mi zawodami.

Szyb­ko dowia­du­je­my się, że rze­czy­wi­ście bra­ku­je Pre­da­to­ra o imie­niu Zby­szek. Dłuż­sze bada­nia odci­sku zębów ze zna­le­zio­nej gło­wy (lekarz kil­ka razy mylił się w licze­niu kłów) pozwa­la­ją usta­lić, że zna­le­zio­na gło­wa nale­ża­ła do Zbyszka.

Dal­sze bada­nia czte­rech pozo­sta­łych przy życiu Pre­da­to­rów (nikt nie powie­dział, że to była duża kolo­nia kar­na) pozwa­la­ją zawę­zić krąg podej­rza­nych do trzech z nich – jeden w ramach pro­te­stu prze­ciw­ko pol­skiej kse­no­fo­bii już daw­no powy­ry­wał sobie zęby, więc gło­wy prze­żuć nie mógł.

Z pozo­sta­łych trzech każ­dy miał motyw. Zby­szek był fun­da­cjo­na­li­stą epi­ste­mo­lo­gicz­nym, a każ­dy z trzech podej­rza­nych był rela­ty­wi­stą poznaw­czym. Wia­do­mo nato­miast, że Pre­da­to­ry tego typu kwe­stie trak­tu­ją cał­kiem poważ­nie – jakiś czas temu wygna­ły dość duży kon­tyn­gent Pre­da­to­rów o nasta­wie­niu fun­da­cjo­na­li­stycz­nym na Zie­mię. Bie­rze­my się więc za prze­słu­chi­wa­nie podej­rza­nych: Ada­ma Wycze­sa­ne­go, Bdzi­go­sta Nie­lep­sze­go oraz Czę­sto­wo­ja Paskudnego.

Adam Wycze­sa­ny powia­da: Jestem nie­win­ny. Co wię­cej, Bdzi­gost trzy­mał się ze Zbysz­kiem, a Czę­sto­wój był na Zbysz­ka zły, bo ten go sys­te­ma­tycz­nie ogry­wał w bier­ki podwodne.

Bdzi­gost Nie­lep­szy zezna­je: Jestem nie­win­ny. Nawet Zbysz­ka nie zna­łem za bar­dzo, a tak w ogó­le to przez cały dzień, w któ­rym został zamor­do­wa­ny, gra­łem w bier­ki ze straż­ni­kiem o imie­niu Arnold. (Arnol­da o stan rze­czy zapy­tać nie może­my, bo w mię­dzy­cza­sie wysła­ny został na jakąś misję do Ame­ry­ki Środkowej).

Wresz­cie Czę­sto­wój Paskud­ny mówi: Jestem nie­win­ny. Ponad­to zarów­no Adam, jak i Bdzi­gost sie­dzie­li ze Zbysz­kiem w jed­nym akwa­rium i gra­li z nim w bier­ki w dzień morderstwa.

Zakła­da­jąc, że tyl­ko jeden Pre­da­tor ma powód kła­mać (ten win­ny), a pozo­sta­łe mówią praw­dę – czy potra­fi­my usta­lić, któ­ry z nich zagryzł Zbyszka?

Zada­nie dla czy­tel­ni­ka: ze sto­pe­rem, spró­buj roz­wią­zać ten pro­blem w pięć minut.

2. Formalizacja

Szczę­ście w nie­szczę­ściu, ukończyłaś(eś) stu­dia licen­cjac­kie z filo­zo­fii na Uni­wer­sy­te­cie Gdań­skim (jakimś cudem w koń­cu dostałaś(eś) zaszczyt­ną pra­cę nad­zor­cy Pre­da­to­rów na jakiejś odlud­nej aste­ro­idzie). Pośród zaś wie­lu poży­tecz­nych rze­czy, któ­rych moż­na było nauczyć się na tych stu­diach, była logi­ka for­mal­na, któ­rą teraz, tak jak zazwy­czaj łopa­tę do prze­rzu­ca­nia pre­da­tor­skich odcho­dów, bie­rzesz do ręki.

Pierw­szym kro­kiem do sys­te­ma­tycz­ne­go roz­wią­za­nia spra­wy jest for­ma­li­za­cja pro­ble­mu: przed­sta­wie­nie posia­da­nych infor­ma­cji skró­to­wo za pomo­cą czy­tel­nych for­muł. Niech A repre­zen­tu­je zezna­nia Ada­ma, B zezna­nia Bdzi­go­sta, C zezna­nia Czę­sto­wo­ja. Ponad­to skróć­my ich imio­na do a, b i c (a Zbysz­ka do z).

A A1
A2
A3
¬Win­ny (a)
Trzy­ma (b, z)
Zły (c, z)
B B1
B2
B3
¬Win­ny (b)
¬Trzy­ma (b, z)
Ali­bi (b)
C C1
C2
¬Win­ny ©
¬Ali­bi (b)

A1 mówi, że Adam jest nie­win­ny; A2, że Bdzi­gost trzy­mał ze Zbysz­kiem; A3, że Czę­sto­wój był na Zbysz­ka zły. B1 powia­da, że Bdzi­gost jest nie­win­ny; B2, że nie trzy­mał się ze Zbysz­kiem; a B3 dostar­cza Bdzi­go­sto­wi ali­bi. C1 z kolei gło­si, że nie­win­ny jest Czę­sto­wój, a C2 pod­wa­ża ali­bi Bdzigosta.

Łącz­nie zezna­nia te może­my repre­zen­to­wać za pomo­cą poje­dyn­czych liter:

A ↔ A1 ˄ A2 ˄ A3

B ↔ B1 ˄ B2 ˄ B3

C ↔ C1 ˄ C2

Zda­nie A jest więc rów­no­waż­ne koniunk­cji A1‑3 (tj. „A1A2, i A3”), zda­nie B jest rów­no­waż­ne koniunk­cji B1‑3, a zda­nie C jest rów­no­waż­ne koniunk­cji C1‑2.

Wie­my, że nie jest tak, że wszy­scy naraz mówią prawdę:

(1) ¬(A ˄ B ˄ C),

oraz że co naj­mniej dwa Pre­da­to­ry mówią prawdę:

(2) (A ˄ B) ˅ (A ˄ C) ˅ (B ˄ C).

(Zwróć­my uwa­gę: powy­żej napi­sa­li­śmy tyl­ko, że zacho­dzi co naj­mniej jed­na z opcji: A i B albo A i C, albo B i C).

3. Rozumowanie

Krok pierw­szy nasze­go rozu­mo­wa­nia pole­ga na zauwa­że­niu, że A2 razem z B2 poka­zu­ją, że A i B nie mogą zara­zem być praw­dzi­we i nie mogą być zara­zem fał­szy­we. To zna­czy, że A jest praw­dzi­we wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy fał­szy­we jest B:

(3) A ↔ ¬B

Do ana­lo­gicz­ne­go wnio­sku docho­dzi­my, gdy roz­wa­ży­my B3C2:

(4) B ↔ ¬C

Roz­waż­my teraz wszyst­kie moż­li­we sytu­acje (1 repre­zen­tu­je praw­dzi­wość, 0 repre­zen­tu­je fał­szy­wość). Jako że roz­wa­ża­my tak napraw­dę trzy zda­nia: A, B, C, a każ­de może (przy­naj­mniej na pierw­szym eta­pie rozu­mo­wa­nia) być praw­dzi­we lub fał­szy­we, zaczy­na­my z ośmio­ma moż­li­wo­ścia­mi. Nie przej­muj­my się chwi­lo­wo resz­tą tabeli.

A B C    
Opcja 1 1 1 1
Opcja 2 1 1 0
Opcja 3 1 0 1
Opcja 4 1 0 0
Opcja 5 0 1 1
Opcja 6 0 1 0
Opcja 7 0 0 1
Opcja 8 0 0 0

Wie­my już, że uwzględ­nić może­my tyl­ko te opcje, przy któ­rych (3) i (4) są oba praw­dzi­we. Wpisz­my je więc do tabe­li i przy oka­zji wylicz­my, kie­dy praw­dzi­we są zda­nia ¬B i ¬C. Do tego celu wystar­czy odwró­cić war­to­ści zdań B i C.

A B C A ↔ ¬  B B ↔  ¬ C
Opcja 1 1 1 1 0 0
Opcja 2 1 1 0 0 1
Opcja 3 1 0 1 1 0
Opcja 4 1 0 0 1 1
Opcja 5 0 1 1 0 0
Opcja 6 0 1 0 0 1
Opcja 7 0 0 1 1 0
Opcja 8 0 0 0 1 1

Może­my teraz poli­czyć war­tość całych rów­no­waż­no­ści. Dla pierw­szej wystar­czy porów­nać A z ¬B i wpi­sać 1, jeże­li są takie same, a 0 w prze­ciw­nym wypad­ku. Podob­nie dla dru­giej rów­no­waż­no­ści porów­nu­je­my B z ¬C.

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 1 1 1 1 0 0 0 0
Opcja 2 1 1 0 0 0 1 1
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0
Opcja 4 1 0 0 1 1 0 1
Opcja 5 0 1 1 1 0 0 0
Opcja 6 0 1 0 1 0 1 1
Opcja 7 0 0 1 0 1 1 0
Opcja 8 0 0 0 0 1 0 1

Ponie­waż pierw­sza rów­no­waż­ność ma być praw­dzi­wa, odpa­da­ją wszyst­kie opcje, w któ­rych jest fał­szy­wa (tj. opcje 1, 2, 7 i 8). Praw­dzi­wość dru­giej rów­no­waż­no­ści wymu­sza na nas wyklu­cze­nie opcji 1, 4, 5 i 8. Zosta­ją więc tyl­ko opcje 3 i 6:

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0
Opcja 6 0 1 0 1 0 1 1

Przy­po­mi­na­my sobie jed­nak, że praw­dą ma być rów­nież (2), któ­re powia­da, że co naj­mniej dwa z roz­wa­ża­nych zdań są praw­dzi­we. To zaś wyklu­cza opcję 6, w któ­rej zarów­no A, jak i C są fał­szy­we. Zosta­je­my z opcją 3:

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0

To zaś zna­czy, że Adam i Czę­sto­wój są nie­win­ni, a bied­ne­go Zbysz­ka zagryzł Bdzi­gost, bo to wła­śnie on jest jedy­nym Pre­da­to­rem, któ­ry kłamie.

4. Kolejne wyzwanie

Jakiś czas po uro­czy­ście świę­to­wa­nej egze­ku­cji Bdzi­go­sta wyko­na­nej poprzez dłu­go­trwa­łe czy­ta­nie mu Hegla na głos, zaczę­li­śmy podej­rze­wać, że Czę­sto­wój coś pla­nu­je – być może dla­te­go, że zaczął nie­wia­ry­god­nie dobrze grać w bier­ki pod­wod­ne, a być może dla­te­go, że zbyt czę­sto wypo­ży­czał z biblio­te­ki Sum­mę teo­lo­gii św. Toma­sza z Akwi­nu. Tak czy siak, posta­no­wi­li­śmy do nie­go zadzwo­nić i zapy­tać, co pora­bia. Powie­dział: Jeże­li nie gram w bier­ki pod­wod­ne, oglą­dam roz­gryw­ki w bier­ki w tele­wi­zji. Jeże­li nie oglą­dam bie­rek w tele­wi­zji, czy­tam o bierkach.

Załóż­my, że okres warun­ko­wy jeże­li A, to B inter­pre­tu­je­my jako tzw. impli­ka­cję mate­rial­ną A → B, któ­ra fał­szy­wa jest wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy praw­dzi­we jest A, a fał­szy­we B (a praw­dzi­wa we wszyst­kich pozo­sta­łych przy­pad­kach). Wywnio­skuj­my, co pora­bia Częstowój.

Do roz­wią­za­nia tej zagad­ki oraz dal­sze­go roz­wa­że­nia pro­ble­ma­ty­ki okre­sów warun­ko­wych, któ­rą ten przy­kład dopie­ro otwie­ra, przej­dzie­my w kolej­nym numerze.


Rafał Urba­niak – Jest logi­kiem i filo­zo­fem. Ukoń­czył stu­dia magi­ster­skie w Gdań­sku, dok­to­rat w Cal­ga­ry, habi­li­ta­cję w War­sza­wie. Logi­ka go fascy­nu­je i chce się tą odro­bi­ną zro­zu­mie­nia logi­ki, jaką posia­da, podzielić.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­skaW peł­nej wer­sji gra­ficz­nej moż­na go prze­czy­tać > tutaj.

< Powrót do spi­su treści

Najnowszy numer można nabyć od 30 października w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2020 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy