Artykuł Predatoryzacja logiki

Rafał Urbaniak: Predatoryzacja logiki cz. 3

Użyjemy rachunku zdań, by rozwiązać zagadkę morderstwa Predatora na odległej asteroidzie, powoli zmierzając w kierunku problematyki okresów warunkowych.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2015 nr 5, s. 24–26. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


 Ostrzeżenie: niniejszy tekst stanowi kontynuację serii artykułów opublikowanych w „Filozofuj!” 2015, numery od 1 do 3. W przypadku niezrozumienia poszczególnych symboli, sięgnij do poprzednich części niniejszej serii.

1. Znowu zmiana przydziału

Tym razem zosta­je­my przy­dzie­le­ni do gru­py nad­zo­ru­ją­cej oko­licz­ną kolo­nię kar­ną Pre­da­to­rów. Któ­re­goś pięk­ne­go poran­ka, spa­ce­ru­jąc sobie bez­tro­sko w oto­cze­niu sil­nej ochro­ny po głów­nym pla­cu kolo­nii, znaj­du­je­my odgry­zio­ną, prze­żu­tą i wyplu­tą gło­wę jed­ne­go z Pre­da­to­rów. Nasz nie­pod­wa­żal­ny talent logicz­ny pozwa­la nam bły­ska­wicz­nie wywnio­sko­wać, że być może nale­ży spraw­dzić, czy żad­ne­go Pre­da­to­ra nie bra­ku­je w obo­zo­wym klu­bie miło­śni­ków bie­rek pod­wod­nych, w któ­rym obec­nie wszyst­kie Pre­da­to­ry powin­ny prze­by­wać, ćwi­cząc przed nad­cho­dzą­cy­mi zawodami.

Szyb­ko dowia­du­je­my się, że rze­czy­wi­ście bra­ku­je Pre­da­to­ra o imie­niu Zby­szek. Dłuż­sze bada­nia odci­sku zębów ze zna­le­zio­nej gło­wy (lekarz kil­ka razy mylił się w licze­niu kłów) pozwa­la­ją usta­lić, że zna­le­zio­na gło­wa nale­ża­ła do Zbyszka.

Dal­sze bada­nia czte­rech pozo­sta­łych przy życiu Pre­da­to­rów (nikt nie powie­dział, że to była duża kolo­nia kar­na) pozwa­la­ją zawę­zić krąg podej­rza­nych do trzech z nich – jeden w ramach pro­te­stu prze­ciw­ko pol­skiej kse­no­fo­bii już daw­no powy­ry­wał sobie zęby, więc gło­wy prze­żuć nie mógł.

Z pozo­sta­łych trzech każ­dy miał motyw. Zby­szek był fun­da­cjo­na­li­stą epi­ste­mo­lo­gicz­nym, a każ­dy z trzech podej­rza­nych był rela­ty­wi­stą poznaw­czym. Wia­do­mo nato­miast, że Pre­da­to­ry tego typu kwe­stie trak­tu­ją cał­kiem poważ­nie – jakiś czas temu wygna­ły dość duży kon­tyn­gent Pre­da­to­rów o nasta­wie­niu fun­da­cjo­na­li­stycz­nym na Zie­mię. Bie­rze­my się więc za prze­słu­chi­wa­nie podej­rza­nych: Ada­ma Wycze­sa­ne­go, Bdzi­go­sta Nie­lep­sze­go oraz Czę­sto­wo­ja Paskudnego.

Adam Wycze­sa­ny powia­da: Jestem nie­win­ny. Co wię­cej, Bdzi­gost trzy­mał się ze Zbysz­kiem, a Czę­sto­wój był na Zbysz­ka zły, bo ten go sys­te­ma­tycz­nie ogry­wał w bier­ki podwodne.

Bdzi­gost Nie­lep­szy zezna­je: Jestem nie­win­ny. Nawet Zbysz­ka nie zna­łem za bar­dzo, a tak w ogó­le to przez cały dzień, w któ­rym został zamor­do­wa­ny, gra­łem w bier­ki ze straż­ni­kiem o imie­niu Arnold. (Arnol­da o stan rze­czy zapy­tać nie może­my, bo w mię­dzy­cza­sie wysła­ny został na jakąś misję do Ame­ry­ki Środkowej).

Wresz­cie Czę­sto­wój Paskud­ny mówi: Jestem nie­win­ny. Ponad­to zarów­no Adam, jak i Bdzi­gost sie­dzie­li ze Zbysz­kiem w jed­nym akwa­rium i gra­li z nim w bier­ki w dzień morderstwa.

Zakła­da­jąc, że tyl­ko jeden Pre­da­tor ma powód kła­mać (ten win­ny), a pozo­sta­łe mówią praw­dę – czy potra­fi­my usta­lić, któ­ry z nich zagryzł Zbyszka?

Zada­nie dla czy­tel­ni­ka: ze sto­pe­rem, spró­buj roz­wią­zać ten pro­blem w pięć minut.

2. Formalizacja

Szczę­ście w nie­szczę­ściu, ukończyłaś(eś) stu­dia licen­cjac­kie z filo­zo­fii na Uni­wer­sy­te­cie Gdań­skim (jakimś cudem w koń­cu dostałaś(eś) zaszczyt­ną pra­cę nad­zor­cy Pre­da­to­rów na jakiejś odlud­nej aste­ro­idzie). Pośród zaś wie­lu poży­tecz­nych rze­czy, któ­rych moż­na było nauczyć się na tych stu­diach, była logi­ka for­mal­na, któ­rą teraz, tak jak zazwy­czaj łopa­tę do prze­rzu­ca­nia pre­da­tor­skich odcho­dów, bie­rzesz do ręki.

Pierw­szym kro­kiem do sys­te­ma­tycz­ne­go roz­wią­za­nia spra­wy jest for­ma­li­za­cja pro­ble­mu: przed­sta­wie­nie posia­da­nych infor­ma­cji skró­to­wo za pomo­cą czy­tel­nych for­muł. Niech A repre­zen­tu­je zezna­nia Ada­ma, B zezna­nia Bdzi­go­sta, C zezna­nia Czę­sto­wo­ja. Ponad­to skróć­my ich imio­na do a, b i c (a Zbysz­ka do z).

A A1
A2
A3
¬Win­ny (a)
Trzy­ma (b, z)
Zły (c, z)
B B1
B2
B3
¬Win­ny (b)
¬Trzy­ma (b, z)
Ali­bi (b)
C C1
C2
¬Win­ny ©
¬Ali­bi (b)

A1 mówi, że Adam jest nie­win­ny; A2, że Bdzi­gost trzy­mał ze Zbysz­kiem; A3, że Czę­sto­wój był na Zbysz­ka zły. B1 powia­da, że Bdzi­gost jest nie­win­ny; B2, że nie trzy­mał się ze Zbysz­kiem; a B3 dostar­cza Bdzi­go­sto­wi ali­bi. C1 z kolei gło­si, że nie­win­ny jest Czę­sto­wój, a C2 pod­wa­ża ali­bi Bdzigosta.

Łącz­nie zezna­nia te może­my repre­zen­to­wać za pomo­cą poje­dyn­czych liter:

A ↔ A1 ˄ A2 ˄ A3

B ↔ B1 ˄ B2 ˄ B3

C ↔ C1 ˄ C2

Zda­nie A jest więc rów­no­waż­ne koniunk­cji A1‑3 (tj. „A1A2, i A3”), zda­nie B jest rów­no­waż­ne koniunk­cji B1‑3, a zda­nie C jest rów­no­waż­ne koniunk­cji C1‑2.

Wie­my, że nie jest tak, że wszy­scy naraz mówią prawdę:

(1) ¬(A ˄ B ˄ C),

oraz że co naj­mniej dwa Pre­da­to­ry mówią prawdę:

(2) (A ˄ B) ˅ (A ˄ C) ˅ (B ˄ C).

(Zwróć­my uwa­gę: powy­żej napi­sa­li­śmy tyl­ko, że zacho­dzi co naj­mniej jed­na z opcji: A i B albo A i C, albo B i C).

3. Rozumowanie

Krok pierw­szy nasze­go rozu­mo­wa­nia pole­ga na zauwa­że­niu, że A2 razem z B2 poka­zu­ją, że A i B nie mogą zara­zem być praw­dzi­we i nie mogą być zara­zem fał­szy­we. To zna­czy, że A jest praw­dzi­we wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy fał­szy­we jest B:

(3) A ↔ ¬B

Do ana­lo­gicz­ne­go wnio­sku docho­dzi­my, gdy roz­wa­ży­my B3C2:

(4) B ↔ ¬C

Roz­waż­my teraz wszyst­kie moż­li­we sytu­acje (1 repre­zen­tu­je praw­dzi­wość, 0 repre­zen­tu­je fał­szy­wość). Jako że roz­wa­ża­my tak napraw­dę trzy zda­nia: A, B, C, a każ­de może (przy­naj­mniej na pierw­szym eta­pie rozu­mo­wa­nia) być praw­dzi­we lub fał­szy­we, zaczy­na­my z ośmio­ma moż­li­wo­ścia­mi. Nie przej­muj­my się chwi­lo­wo resz­tą tabeli.

A B C    
Opcja 1 1 1 1
Opcja 2 1 1 0
Opcja 3 1 0 1
Opcja 4 1 0 0
Opcja 5 0 1 1
Opcja 6 0 1 0
Opcja 7 0 0 1
Opcja 8 0 0 0

Wie­my już, że uwzględ­nić może­my tyl­ko te opcje, przy któ­rych (3) i (4) są oba praw­dzi­we. Wpisz­my je więc do tabe­li i przy oka­zji wylicz­my, kie­dy praw­dzi­we są zda­nia ¬B i ¬C. Do tego celu wystar­czy odwró­cić war­to­ści zdań B i C.

A B C A ↔ ¬  B B ↔  ¬ C
Opcja 1 1 1 1 0 0
Opcja 2 1 1 0 0 1
Opcja 3 1 0 1 1 0
Opcja 4 1 0 0 1 1
Opcja 5 0 1 1 0 0
Opcja 6 0 1 0 0 1
Opcja 7 0 0 1 1 0
Opcja 8 0 0 0 1 1

Może­my teraz poli­czyć war­tość całych rów­no­waż­no­ści. Dla pierw­szej wystar­czy porów­nać A z ¬B i wpi­sać 1, jeże­li są takie same, a 0 w prze­ciw­nym wypad­ku. Podob­nie dla dru­giej rów­no­waż­no­ści porów­nu­je­my B z ¬C.

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 1 1 1 1 0 0 0 0
Opcja 2 1 1 0 0 0 1 1
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0
Opcja 4 1 0 0 1 1 0 1
Opcja 5 0 1 1 1 0 0 0
Opcja 6 0 1 0 1 0 1 1
Opcja 7 0 0 1 0 1 1 0
Opcja 8 0 0 0 0 1 0 1

Ponie­waż pierw­sza rów­no­waż­ność ma być praw­dzi­wa, odpa­da­ją wszyst­kie opcje, w któ­rych jest fał­szy­wa (tj. opcje 1, 2, 7 i 8). Praw­dzi­wość dru­giej rów­no­waż­no­ści wymu­sza na nas wyklu­cze­nie opcji 1, 4, 5 i 8. Zosta­ją więc tyl­ko opcje 3 i 6:

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0
Opcja 6 0 1 0 1 0 1 1

Przy­po­mi­na­my sobie jed­nak, że praw­dą ma być rów­nież (2), któ­re powia­da, że co naj­mniej dwa z roz­wa­ża­nych zdań są praw­dzi­we. To zaś wyklu­cza opcję 6, w któ­rej zarów­no A, jak i C są fał­szy­we. Zosta­je­my z opcją 3:

A B C A   ¬ B B  ↔  ¬ C
Opcja 3 1 0 1 1 1 1 0

To zaś zna­czy, że Adam i Czę­sto­wój są nie­win­ni, a bied­ne­go Zbysz­ka zagryzł Bdzi­gost, bo to wła­śnie on jest jedy­nym Pre­da­to­rem, któ­ry kłamie.

4. Kolejne wyzwanie

Jakiś czas po uro­czy­ście świę­to­wa­nej egze­ku­cji Bdzi­go­sta wyko­na­nej poprzez dłu­go­trwa­łe czy­ta­nie mu Hegla na głos, zaczę­li­śmy podej­rze­wać, że Czę­sto­wój coś pla­nu­je – być może dla­te­go, że zaczął nie­wia­ry­god­nie dobrze grać w bier­ki pod­wod­ne, a być może dla­te­go, że zbyt czę­sto wypo­ży­czał z biblio­te­ki Sum­mę teo­lo­gii św. Toma­sza z Akwi­nu. Tak czy siak, posta­no­wi­li­śmy do nie­go zadzwo­nić i zapy­tać, co pora­bia. Powie­dział: Jeże­li nie gram w bier­ki pod­wod­ne, oglą­dam roz­gryw­ki w bier­ki w tele­wi­zji. Jeże­li nie oglą­dam bie­rek w tele­wi­zji, czy­tam o bierkach.

Załóż­my, że okres warun­ko­wy jeże­li A, to B inter­pre­tu­je­my jako tzw. impli­ka­cję mate­rial­ną A → B, któ­ra fał­szy­wa jest wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy praw­dzi­we jest A, a fał­szy­we B (a praw­dzi­wa we wszyst­kich pozo­sta­łych przy­pad­kach). Wywnio­skuj­my, co pora­bia Częstowój.

Do roz­wią­za­nia tej zagad­ki oraz dal­sze­go roz­wa­że­nia pro­ble­ma­ty­ki okre­sów warun­ko­wych, któ­rą ten przy­kład dopie­ro otwie­ra, przej­dzie­my w kolej­nym numerze.


Rafał Urba­niak – Jest logi­kiem i filo­zo­fem. Ukoń­czył stu­dia magi­ster­skie w Gdań­sku, dok­to­rat w Cal­ga­ry, habi­li­ta­cję w War­sza­wie. Logi­ka go fascy­nu­je i chce się tą odro­bi­ną zro­zu­mie­nia logi­ki, jaką posia­da, podzielić.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­skaW peł­nej wer­sji gra­ficz­nej moż­na go prze­czy­tać > tutaj.

< Powrót do spi­su treści

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy