Artykuł Logika Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Czy w matematyce pojawiają się elementy empiryczne?

Pojawienie się dowodów komputerowych skłania do postawienia w nowej formie pytania dotyczącego empirycznych składowych wiedzy matematycznej. Czy można twierdzić, że w dowodach matematycznych pojawiają się elementy empiryczne?

Tekst ukazał się w „Filozofuj!” 2019 nr 2 (26), s. 22–24. W pełnej wersji graficznej jest dostępny w pliku PDF.


Zgodnie z powszechnym poglądem na naturę matematyki stanowi ona działalność czysto rozumową. Czyż matematyk nie pracuje najciężej właśnie wtedy, kiedy ma zamknięte oczy lub pustym wzrokiem wpatruje się w punkt na ścianie? Stara się odciąć od świata zewnętrznego, zanurzyć we własnych myślach – i tam poszukiwać odpowiedzi na nurtujące go pytania.

Z drugiej strony matematyka jest nieocenionym narzędziem nauk empirycznych i wiele koncepcji oraz pojęć matematycznych powstało na potrzeby tych nauk (najczęściej fizyki). Mamy tu niewątpliwie do czynienia z empiryczną inspiracją – lecz czy tylko? Może źródłem wiedzy matematycznej jest – ostatecznie – doświadczenie?

Pytania te stanowią odzwierciedlenie głębokiego sporu między racjonalizmem a empiryzmem. Pewien aspekt tego sporu dotyczy istoty dowodów matematycznych. Nie ulega wątpliwości, że dowód matematyczny stanowi niejako „destylat czystej myśli” – jest to najdoskonalszy sposób uzasadniania prawdziwości tez w oparciu o przesłanki. Tak na matematykę patrzył na przykład Kartezjusz, zdaniem którego fundamentem naszego poznania jest intelektualna zdolność do ujmowania podstawowych prawd w oparciu o kryterium oczywistości, „jasności i wyraźności widzenia”. Tak dochodzimy do poznania podstawowych prawd. Podobnie – to akty intelektualne są podstawą rozumowań matematycznych: musimy być bowiem zdolni do intuicyjnego postrzegania prawomocności i oczywistości danego kroku w dowodzie.

Dwa poglądy na naturę dowodu matematycznego

Zgodnie ze stanowiskiem Kartezjusza o prawomocności danej argumentacji świadczyć muszą analizy o charakterze treściowym, a nie formalnym (tj. mamy stały ogląd intelektualny przedmiotu naszych rozważań). Historycznie ten pogląd jest pierwotny i przez długi czas dominował w nauce. Jednak z biegiem czasu, wraz z rozwojem matematyki (a zwłaszcza logiki formalnej), coraz większe znaczenie i wpływ zaczął zyskiwać inny sposób myślenia o procesie uzasadniania w matematyce, zgodnie z którym kryterium poprawności dowodu jest wyznaczane przez jego zgodność z określonymi formalnie regułami. I rzeczywiście, znana z elementarnych kursów logiki definicja dowodu jest sformułowana w czysto formalny sposób, oderwany od tego, czy podmiot rozumie sens przeprowadzanych przez siebie operacji.

Zgodnie z tym drugim podejściem dowód matematyczny można traktować jako konstrukt czysto formalny. Jednak dowody znane z praktyki matematycznej takie nie są – pojawia się więc problem formalizacji dowodów matematycznych i ściśle z nim związany problem mechanizacji rozumowań. Pamiętamy o marzeniu Gottfrieda Wilhelma Leibniza, który sądził, że argumenty będzie można przedstawiać w formie tak precyzyjnej, iż w pewnym momencie oponenci zasiądą do stołu z hasłem Calculemus!, czyli „Porachujmy!”… Trudno powiedzieć, jak dalece możliwa jest formalizacja rozumowań (czy można osiągnąć istotny postęp na przykład w wypadku argumentacji prawniczych), nie ulega jednak wątpliwości, że w znacznym stopniu może ona mieć miejsce w matematyce. Dotykamy więc problemu obecności komputerów w matematyce – i to nie tylko w zastosowaniach praktycznych, gdy komputery prowadzą obliczenia, symulacje, sterują urządzeniami etc., ale również w bardzo głębokim sensie: komputery wspierają matematyków w zdobywaniu wiedzy matematycznej.

Jak pokolorować mapę?

Chyba najbardziej znanym i najszerzej dyskutowanym w literaturze filozoficznej przykładem dowodu wspomaganego przez komputer jest dowód twierdzenia o czterech barwach (dalej używam skrótu 4CT – od Four-Color Theorem). Twierdzenie jest bardzo proste: mówi, że każdą (normalną) mapę na płaszczyźnie można pokolorować czterema kolorami tak, aby sąsiednie państwa miały różne kolory (zakładamy, że państwa są „normalne” – w jednym kawałku, nie mają „wypustek” etc.). Problem został sformułowany już w roku 1852, jednak rozwiązanie przyszło dopiero w roku 1976, kiedy to Kenneth Appel, Wolfgang Haken i John A. Koch podali dowód – z użyciem komputera. Kluczowy etap polegał na sprawdzeniu dużej liczby przypadków szczególnych, co nie było możliwe do wykonania „ręcznie”. W oryginalnej wersji dowodu czas pracy komputera wynosił 1200 godzin. Oczywiście, obecnie ten czas jest skrócony (a algorytm uproszczony), ale liczba operacji prowadzonych przez komputer jest nadal gigantyczna.

Dowód wzbudził pewne wątpliwości, pojawiło się pytanie, czy faktycznie można o nim myśleć jako o pełnoprawnym dowodzie matematycznym. Być może należy uznać, że komputerowy dowód 4CT stanowi nowy rodzaj dowodu, zaś 4CT – nowy typ wiedzy o charakterze (przynajmniej częściowo) empirycznym? W dyskusji pojawiają się różne stanowiska. Można je roboczo sklasyfikować w trzech grupach (aby ich istota była lepiej widoczna, nieco je tutaj przejaskrawiam):

(1) Można uznać, że odwołanie się do wyniku eksperymentu fizycznego, jakim jest działanie pewnego urządzenia elektronicznego w określonym miejscu i czasie, jest przy dowodzeniu twierdzeń matematycznych niedopuszczalne. Matematyka jest bowiem nauką aprioryczną, dotyczy – mówiąc swobodnie – królestwa abstrakcyjnych, pozaczasowych bytów. Co więcej, odwołanie się do wyniku komputerowego eksperymentu pozbawia uzasadniane w ten sposób tezy waloru pewności: nie możemy przecież mieć absolutnego zaufania co do działania samego komputera, nie jesteśmy też w stanie prześledzić krok po kroku przebiegu obliczenia. O tym, co ów komputer robi, wiemy przecież jedynie na podstawie zawodnych teorii empirycznych, których epistemologiczny status istotnie różni się od statusu matematyki. Z tego punktu widzenia zaufanie do komputera jest zaufaniem do przysłowiowej czarnej skrzynki: wierzymy, że robi coś, co jest dla nas użyteczne – ale pewności nie mamy.

(2) Można jednak twierdzić, że użycie komputera w dowodzie matematycznym nie różni się co do zasady od użycia kartki i ołówka i nie stanowi żadnego novum. Przecież nawet kiedy posługujemy się kartką i ołówkiem, to czynimy pewne założenia o charakterze empirycznym (np. takie, że kartka sama nie dopisuje ani nie unicestwia żadnych symboli). Skoro więc dopuszczamy użycie fizycznych pomocy, takich jak kartka i ołówek (lub liczydło), to dlaczego mielibyśmy kwestionować użycie bardziej złożonych pomocy (takich jak komputer)?

(3) Matematycy często zajmują stanowisko pośrednie: 4CT zostało udowodnione, ale pozostał pewien niedosyt. Obliczeniowy dowód z użyciem komputera jest mało elegancki, nie wskazuje głębokich przyczyn, dla których 4CT zachodzi. Dopiero dowód klasyczny dałby nam poczucie zrozumienia, a nie jedynie „przeliczenia” problemu. Ale ostatecznie 4CT jest twierdzeniem, a nie tylko hipotezą.

Kto ma rację? Oczywiście nikt nie kwestionuje zasadności użycia komputerów w badaniach naukowych (czy w technice) – spór wokół statusu dowodów komputerowych ma charakter filozoficzny, a nie praktyczny. Odbijają się w nim w wyraźny sposób stanowiska dotyczące natury wiedzy matematycznej.

Science fiction…?

Na koniec pozwólmy sobie na pewną spekulację. Od wielu lat rozwija się teoria obliczeń kwantowych – wielu badaczy sądzi, że możliwe będzie stworzenie komputera kwantowego, działającego nieporównywalnie szybciej niż komputery klasyczne. Nikt nie wie, czy faktycznie jest to możliwe, ale gdyby tak było, to pojawienie się komputerów kwantowych wprowadziłoby nową jakość do naszej dyskusji. Jaki byłby status tak uzyskanej wiedzy – czy taki sam jak 4CT? Czy powinniśmy uznać komputer kwantowy po prostu za następny element w ciągu: kartka, liczydło, komputer, komputer kwantowy? Zauważmy, że zwykły komputer można byłoby zrobić z drewna i napędzać wodą (choć baaardzo spowolniłoby to jego pracę), zaś żeby śledzić działanie takiego wodnego komputera nie są już konieczne wyrafinowane teorie fizyczne. Komputer jest bowiem – pod względem sposobu działania – urządzeniem mechanicznym. Rozważanie podobnego myślowego eksperymentu w stosunku do komputera kwantowego nie miałoby sensu z uwagi na brak dostępu do obliczenia w trakcie jego trwania – każde zatrzymanie obliczenia prowadziłoby do redukcji stanu i w efekcie do zniszczenia owego obliczenia. Musimy czekać, aż cały proces się zakończy, nie mamy nawet wglądu w etapy pośrednie (co teoretycznie jest możliwe w wypadku zwykłego komputera). Wydaje się zatem, że w tym przypadku zapośredniczenie w teorii empirycznej jest głębsze niż w przypadku zwykłego komputera.

Choć na razie nie ma komputerów kwantowych o znaczącej mocy obliczeniowej, to istnieją te oparte na mikroprocesorach. I są używane przy dowodzeniu twierdzeń. Sądzę, że fakt ten stanowi ciekawy przyczynek do dyskusji dotyczącej empirycznych aspektów matematyki.


Krzysztof Wójtowicz – ukończył studia matematyczne na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz studia doktoranckie w Instytucie Filozofii UW, gdzie uzyskał stopień doktora (1998), doktora habilitowanego (2004) i profesora nauk humanistycznych (2013). Zajmuje się filozofią matematyki. Jego dorobek naukowy obejmuje cztery pozycje książkowe oraz około 90 artykułów.

Tekst jest dostępny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Polska.

< Powrót do spisu treści numeru.

Ilustracja: Małgorzata Uglik

Najnowszy numer można nabyć od 1 lipca w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2022 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

2 komentarze

Kliknij, aby skomentować

  • Ciekawe, ale jeśli matematyka ma być czysto aprioryczna i potraktujemy komputer jako jeszcze jeden umysł się nią zajmujący to nie ma tu sprzeczności. Nikt nie mówi, że matematyk musi być człowiekiem. Wręcz przeciwnie, zakładamy przecież, że język matematyki jest tak uniwersalny, że mógłby służyć do kontaktu z obcymi cywilizacjami.

    • I system rozwalony. Tylko po co zaraz umysł? Wystarczy, że uznamy, że urządzenie manipuluje abstrakcjami.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy