Artykuł Logika Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Czy w matematyce pojawiają się elementy empiryczne?

Pojawienie się dowodów komputerowych skłania do postawienia w nowej formie pytania dotyczącego empirycznych składowych wiedzy matematycznej. Czy można twierdzić, że w dowodach matematycznych pojawiają się elementy empiryczne?

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2019 nr 2 (26), s. 22–24. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


Zgod­nie z powszech­nym poglą­dem na naturę matem­aty­ki stanowi ona dzi­ałal­ność czys­to rozu­mową. Czyż matem­atyk nie pracu­je naj­ciężej właśnie wtedy, kiedy ma zamknięte oczy lub pustym wzrok­iem wpa­tru­je się w punkt na ścian­ie? Stara się odciąć od świa­ta zewnętrznego, zanurzyć we włas­nych myślach – i tam poszuki­wać odpowiedzi na nur­tu­jące go pyta­nia.

Z drugiej strony matem­aty­ka jest nieoce­nionym narzędziem nauk empirycznych i wiele kon­cepcji oraz pojęć matem­aty­cznych pow­stało na potrze­by tych nauk (najczęś­ciej fizy­ki). Mamy tu niewąt­pli­wie do czynienia z empiryczną inspiracją – lecz czy tylko? Może źródłem wiedzy matem­aty­cznej jest – ostate­cznie – doświad­cze­nie?

Pyta­nia te stanow­ią odzwier­ciedle­nie głębok­iego sporu między racjon­al­izmem a empiryzmem. Pewien aspekt tego sporu doty­czy isto­ty dowodów matem­aty­cznych. Nie ule­ga wąt­pli­woś­ci, że dowód matem­aty­czny stanowi nie­jako „desty­lat czys­tej myśli” – jest to naj­doskon­al­szy sposób uza­sad­ni­a­nia prawdzi­woś­ci tez w opar­ciu o przesłan­ki. Tak na matem­atykę patrzył na przykład Kartezjusz, zdaniem którego fun­da­mentem naszego poz­na­nia jest intelek­tu­al­na zdol­ność do ujmowa­nia pod­sta­wowych prawd w opar­ciu o kry­teri­um oczy­wis­toś­ci, „jas­noś­ci i wyraźnoś­ci widzenia”. Tak dochodz­imy do poz­na­nia pod­sta­wowych prawd. Podob­nie – to akty intelek­tu­alne są pod­stawą rozu­mowań matem­aty­cznych: musimy być bowiem zdol­ni do intu­icyjnego postrze­ga­nia pra­wom­oc­noś­ci i oczy­wis­toś­ci danego kroku w dowodzie.

Dwa poglądy na naturę dowodu matematycznego

Zgod­nie ze stanowiskiem Kartezjusza o pra­wom­oc­noś­ci danej argu­men­tacji świad­czyć muszą anal­izy o charak­terze treś­ciowym, a nie for­mal­nym (tj. mamy stały ogląd intelek­tu­al­ny przed­mio­tu naszych rozważań). His­to­rycznie ten pogląd jest pier­wot­ny i przez dłu­gi czas domi­nował w nauce. Jed­nak z biegiem cza­su, wraz z roz­wo­jem matem­aty­ki (a zwłaszcza logi­ki for­mal­nej), coraz więk­sze znacze­nie i wpływ zaczął zyski­wać inny sposób myśle­nia o pro­ce­sie uza­sad­ni­a­nia w matem­atyce, zgod­nie z którym kry­teri­um poprawnoś­ci dowodu jest wyz­naczane przez jego zgod­ność z określony­mi for­mal­nie reguła­mi. I rzeczy­wiś­cie, znana z ele­men­tarnych kursów logi­ki definic­ja dowodu jest sfor­mułowana w czys­to for­mal­ny sposób, oder­wany od tego, czy pod­miot rozu­mie sens przeprowadzanych przez siebie oper­acji.

Zgod­nie z tym drugim pode­jś­ciem dowód matem­aty­czny moż­na trak­tować jako kon­strukt czys­to for­mal­ny. Jed­nak dowody znane z prak­ty­ki matem­aty­cznej takie nie są – pojaw­ia się więc prob­lem for­mal­iza­cji dowodów matem­aty­cznych i ściśle z nim związany prob­lem mech­a­niza­cji rozu­mowań. Pamię­tamy o marze­niu Got­tfrie­da Wil­hel­ma Leib­niza, który sądz­ił, że argu­men­ty będzie moż­na przed­staw­iać w formie tak pre­cyzyjnej, iż w pewnym momen­cie opo­nen­ci zasiądą do stołu z hasłem Cal­cule­mus!, czyli „Pora­chu­jmy!”… Trud­no powiedzieć, jak dalece możli­wa jest for­mal­iza­c­ja rozu­mowań (czy moż­na osiągnąć istot­ny postęp na przykład w wypad­ku argu­men­tacji prawniczych), nie ule­ga jed­nak wąt­pli­woś­ci, że w znacznym stop­niu może ona mieć miejsce w matem­atyce. Dotykamy więc prob­le­mu obec­noś­ci kom­put­erów w matem­atyce – i to nie tylko w zas­tosowa­ni­ach prak­ty­cznych, gdy kom­put­ery prowadzą obliczenia, symu­lac­je, steru­ją urządzeni­a­mi etc., ale również w bard­zo głębokim sen­sie: kom­put­ery wspier­a­ją matem­atyków w zdoby­wa­niu wiedzy matem­aty­cznej.

Jak pokolorować mapę?

Chy­ba najbardziej znanym i najsz­erzej dysku­towanym w lit­er­aturze filo­zoficznej przykła­dem dowodu wspo­ma­ganego przez kom­put­er jest dowód twierdzenia o czterech barwach (dalej uży­wam skró­tu 4CT – od Four-Col­or The­o­rem). Twierdze­nie jest bard­zo proste: mówi, że każdą (nor­mal­ną) mapę na płaszczyźnie moż­na pokolorować cztere­ma kolora­mi tak, aby sąsied­nie państ­wa miały różne kolory (zakładamy, że państ­wa są „nor­malne” – w jed­nym kawałku, nie mają „wypustek” etc.). Prob­lem został sfor­mułowany już w roku 1852, jed­nak rozwiązanie przyszło dopiero w roku 1976, kiedy to Ken­neth Appel, Wolf­gang Hak­en i John A. Koch podali dowód – z uży­ciem kom­put­era. Kluc­zowy etap pole­gał na sprawdze­niu dużej licz­by przy­pad­ków szczegól­nych, co nie było możli­we do wyko­na­nia „ręcznie”. W ory­gi­nal­nej wer­sji dowodu czas pra­cy kom­put­era wynosił 1200 godzin. Oczy­wiś­cie, obec­nie ten czas jest skró­cony (a algo­rytm uproszc­zony), ale licz­ba oper­acji prowad­zonych przez kom­put­er jest nadal gigan­ty­cz­na.

Dowód wzbudz­ił pewne wąt­pli­woś­ci, pojaw­iło się pytanie, czy fak­ty­cznie moż­na o nim myśleć jako o pełno­prawnym dowodzie matem­aty­cznym. Być może należy uznać, że kom­put­erowy dowód 4CT stanowi nowy rodzaj dowodu, zaś 4CT – nowy typ wiedzy o charak­terze (przy­na­jm­niej częś­ciowo) empirycznym? W dyskusji pojaw­ia­ją się różne stanowiska. Moż­na je roboc­zo sklasy­fikować w trzech gru­pach (aby ich isto­ta była lep­iej widocz­na, nieco je tutaj prze­jaskraw­iam):

(1) Moż­na uznać, że odwołanie się do wyniku ekspery­men­tu fizy­cznego, jakim jest dzi­ałanie pewnego urządzenia elek­tron­icznego w określonym miejs­cu i cza­sie, jest przy dowodze­niu twierdzeń matem­aty­cznych niedo­puszczalne. Matem­aty­ka jest bowiem nauką apri­o­ryczną, doty­czy – mówiąc swo­bod­nie – królest­wa abstrak­cyjnych, poza­cza­sowych bytów. Co więcej, odwołanie się do wyniku kom­put­erowego ekspery­men­tu pozbaw­ia uza­sad­ni­ane w ten sposób tezy waloru pewnoś­ci: nie może­my prze­cież mieć abso­lut­nego zau­fa­nia co do dzi­ała­nia samego kom­put­era, nie jesteśmy też w stanie prześledz­ić krok po kroku prze­biegu obliczenia. O tym, co ów kom­put­er robi, wiemy prze­cież jedynie na pod­staw­ie zawod­nych teorii empirycznych, których epis­te­mo­log­iczny sta­tus istot­nie różni się od sta­tusu matem­aty­ki. Z tego punk­tu widzenia zau­fanie do kom­put­era jest zau­faniem do przysłowiowej czarnej skrzyn­ki: wierzymy, że robi coś, co jest dla nas użyteczne – ale pewnoś­ci nie mamy.

(2) Moż­na jed­nak twierdz­ić, że uży­cie kom­put­era w dowodzie matem­aty­cznym nie różni się co do zasady od uży­cia kart­ki i ołówka i nie stanowi żad­nego novum. Prze­cież nawet kiedy posługu­je­my się kartką i ołówkiem, to czyn­imy pewne założe­nia o charak­terze empirycznym (np. takie, że kart­ka sama nie dopisu­je ani nie unices­t­wia żad­nych sym­boli). Sko­ro więc dopuszcza­my uży­cie fizy­cznych pomo­cy, takich jak kart­ka i ołówek (lub liczy­dło), to dlaczego mielibyśmy kwes­t­ionować uży­cie bardziej złożonych pomo­cy (takich jak kom­put­er)?

(3) Matem­aty­cy częs­to zaj­mu­ją stanowisko pośred­nie: 4CT zostało udowod­nione, ale pozostał pewien niedosyt. Obliczeniowy dowód z uży­ciem kom­put­era jest mało ele­ganc­ki, nie wskazu­je głębo­kich przy­czyn, dla których 4CT zachodzi. Dopiero dowód klasy­czny dał­by nam poczu­cie zrozu­mienia, a nie jedynie „przeliczenia” prob­le­mu. Ale ostate­cznie 4CT jest twierdze­niem, a nie tylko hipotezą.

Kto ma rację? Oczy­wiś­cie nikt nie kwes­t­ionu­je zasad­noś­ci uży­cia kom­put­erów w bada­ni­ach naukowych (czy w tech­nice) – spór wokół sta­tusu dowodów kom­put­erowych ma charak­ter filo­zoficzny, a nie prak­ty­czny. Odbi­ja­ją się w nim w wyraźny sposób stanowiska doty­czące natu­ry wiedzy matem­aty­cznej.

Science fiction…?

Na koniec pozwólmy sobie na pewną speku­lację. Od wielu lat rozwi­ja się teo­ria obliczeń kwan­towych – wielu badaczy sądzi, że możli­we będzie stworze­nie kom­put­era kwan­towego, dzi­ała­jącego nieporówny­wal­nie szy­b­ciej niż kom­put­ery klasy­czne. Nikt nie wie, czy fak­ty­cznie jest to możli­we, ale gdy­by tak było, to pojaw­ie­nie się kom­put­erów kwan­towych wprowadz­iło­by nową jakość do naszej dyskusji. Jaki był­by sta­tus tak uzyskanej wiedzy – czy taki sam jak 4CT? Czy powin­niśmy uznać kom­put­er kwan­towy po pros­tu za następ­ny ele­ment w ciągu: kart­ka, liczy­dło, kom­put­er, kom­put­er kwan­towy? Zauważmy, że zwykły kom­put­er moż­na było­by zro­bić z drew­na i napędzać wodą (choć baaard­zo spowol­niło­by to jego pracę), zaś żeby śledz­ić dzi­ałanie takiego wod­nego kom­put­era nie są już konieczne wyrafi­nowane teorie fizy­czne. Kom­put­er jest bowiem – pod wzglę­dem sposobu dzi­ała­nia – urządze­niem mechan­icznym. Rozważanie podob­ne­go myślowego ekspery­men­tu w sto­sunku do kom­put­era kwan­towego nie miało­by sen­su z uwa­gi na brak dostępu do obliczenia w trak­cie jego trwa­nia – każde zatrzy­manie obliczenia prowadz­iło­by do redukcji stanu i w efek­cie do zniszczenia owego obliczenia. Musimy czekać, aż cały pro­ces się zakończy, nie mamy nawet wglą­du w etapy pośred­nie (co teo­re­ty­cznie jest możli­we w wypad­ku zwykłego kom­put­era). Wyda­je się zatem, że w tym przy­pad­ku zapośred­nicze­nie w teorii empirycznej jest głęb­sze niż w przy­pad­ku zwykłego kom­put­era.

Choć na razie nie ma kom­put­erów kwan­towych o znaczącej mocy obliczeniowej, to ist­nieją te oparte na mikro­pro­ce­so­rach. I są uży­wane przy dowodze­niu twierdzeń. Sądzę, że fakt ten stanowi ciekawy przy­czynek do dyskusji doty­czącej empirycznych aspek­tów matem­aty­ki.


Krzysztof Wój­tow­icz – Ukończył stu­dia matem­aty­czne na Wydziale Matem­aty­ki, Infor­maty­ki i Mechani­ki UW oraz stu­dia dok­toranck­ie w Insty­tu­cie Filo­zofii UW, gdzie uzyskał stopień dok­to­ra (1998), dok­to­ra habil­i­towanego (2004) i pro­fe­so­ra nauk human­isty­cznych (2013). Zaj­mu­je się filo­zofią matem­aty­ki. Jego dorobek naukowy obe­j­mu­je cztery pozy­c­je książkowe oraz około 90 artykułów.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka.

< Powrót do spisu treś­ci numeru.

Ilus­trac­ja: Mał­gorza­ta Uglik

Najnowszy numer można nabyć od 3 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2020 można zamówić > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „tutaj”.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

2 komentarze

Kliknij, aby skomentować

  • Ciekawe, ale jeśli matem­aty­ka ma być czys­to apri­o­rycz­na i potrak­tu­je­my kom­put­er jako jeszcze jeden umysł się nią zaj­mu­ją­cy to nie ma tu sprzecznoś­ci. Nikt nie mówi, że matem­atyk musi być człowiekiem. Wręcz prze­ci­wnie, zakładamy prze­cież, że język matem­aty­ki jest tak uni­w­er­sal­ny, że mógł­by służyć do kon­tak­tu z obcy­mi cywiliza­c­ja­mi.

    • I sys­tem rozwalony. Tylko po co zaraz umysł? Wystar­czy, że uznamy, że urządze­nie manip­u­lu­je abstrakc­ja­mi.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy