Artykuł Logika Ontologia

Krzysztof Wójtowicz: Czy w matematyce pojawiają się elementy empiryczne?

Pojawienie się dowodów komputerowych skłania do postawienia w nowej formie pytania dotyczącego empirycznych składowych wiedzy matematycznej. Czy można twierdzić, że w dowodach matematycznych pojawiają się elementy empiryczne?

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2019 nr 2 (26), s. 22–24. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Zgod­nie z powszech­nym poglą­dem na natu­rę mate­ma­ty­ki sta­no­wi ona dzia­łal­ność czy­sto rozu­mo­wą. Czyż mate­ma­tyk nie pra­cu­je naj­cię­żej wła­śnie wte­dy, kie­dy ma zamknię­te oczy lub pustym wzro­kiem wpa­tru­je się w punkt na ścia­nie? Sta­ra się odciąć od świa­ta zewnętrz­ne­go, zanu­rzyć we wła­snych myślach – i tam poszu­ki­wać odpo­wie­dzi na nur­tu­ją­ce go pytania.

Z dru­giej stro­ny mate­ma­ty­ka jest nie­oce­nio­nym narzę­dziem nauk empi­rycz­nych i wie­le kon­cep­cji oraz pojęć mate­ma­tycz­nych powsta­ło na potrze­by tych nauk (naj­czę­ściej fizy­ki). Mamy tu nie­wąt­pli­wie do czy­nie­nia z empi­rycz­ną inspi­ra­cją – lecz czy tyl­ko? Może źró­dłem wie­dzy mate­ma­tycz­nej jest – osta­tecz­nie – doświadczenie?

Pyta­nia te sta­no­wią odzwier­cie­dle­nie głę­bo­kie­go spo­ru mię­dzy racjo­na­li­zmem a empi­ry­zmem. Pewien aspekt tego spo­ru doty­czy isto­ty dowo­dów mate­ma­tycz­nych. Nie ule­ga wąt­pli­wo­ści, że dowód mate­ma­tycz­ny sta­no­wi nie­ja­ko „desty­lat czy­stej myśli” – jest to naj­do­sko­nal­szy spo­sób uza­sad­nia­nia praw­dzi­wo­ści tez w opar­ciu o prze­słan­ki. Tak na mate­ma­ty­kę patrzył na przy­kład Kar­te­zjusz, zda­niem któ­re­go fun­da­men­tem nasze­go pozna­nia jest inte­lek­tu­al­na zdol­ność do ujmo­wa­nia pod­sta­wo­wych prawd w opar­ciu o kry­te­rium oczy­wi­sto­ści, „jasno­ści i wyraź­no­ści widze­nia”. Tak docho­dzi­my do pozna­nia pod­sta­wo­wych prawd. Podob­nie – to akty inte­lek­tu­al­ne są pod­sta­wą rozu­mo­wań mate­ma­tycz­nych: musi­my być bowiem zdol­ni do intu­icyj­ne­go postrze­ga­nia pra­wo­moc­no­ści i oczy­wi­sto­ści dane­go kro­ku w dowodzie.

Dwa poglądy na naturę dowodu matematycznego

Zgod­nie ze sta­no­wi­skiem Kar­te­zju­sza o pra­wo­moc­no­ści danej argu­men­ta­cji świad­czyć muszą ana­li­zy o cha­rak­te­rze tre­ścio­wym, a nie for­mal­nym (tj. mamy sta­ły ogląd inte­lek­tu­al­ny przed­mio­tu naszych roz­wa­żań). Histo­rycz­nie ten pogląd jest pier­wot­ny i przez dłu­gi czas domi­no­wał w nauce. Jed­nak z bie­giem cza­su, wraz z roz­wo­jem mate­ma­ty­ki (a zwłasz­cza logi­ki for­mal­nej), coraz więk­sze zna­cze­nie i wpływ zaczął zyski­wać inny spo­sób myśle­nia o pro­ce­sie uza­sad­nia­nia w mate­ma­ty­ce, zgod­nie z któ­rym kry­te­rium popraw­no­ści dowo­du jest wyzna­cza­ne przez jego zgod­ność z okre­ślo­ny­mi for­mal­nie regu­ła­mi. I rze­czy­wi­ście, zna­na z ele­men­tar­nych kur­sów logi­ki defi­ni­cja dowo­du jest sfor­mu­ło­wa­na w czy­sto for­mal­ny spo­sób, ode­rwa­ny od tego, czy pod­miot rozu­mie sens prze­pro­wa­dza­nych przez sie­bie operacji.

Zgod­nie z tym dru­gim podej­ściem dowód mate­ma­tycz­ny moż­na trak­to­wać jako kon­strukt czy­sto for­mal­ny. Jed­nak dowo­dy zna­ne z prak­ty­ki mate­ma­tycz­nej takie nie są – poja­wia się więc pro­blem for­ma­li­za­cji dowo­dów mate­ma­tycz­nych i ści­śle z nim zwią­za­ny pro­blem mecha­ni­za­cji rozu­mo­wań. Pamię­ta­my o marze­niu Got­t­frie­da Wil­hel­ma Leib­ni­za, któ­ry sądził, że argu­men­ty będzie moż­na przed­sta­wiać w for­mie tak pre­cy­zyj­nej, iż w pew­nym momen­cie opo­nen­ci zasią­dą do sto­łu z hasłem Cal­cu­le­mus!, czy­li „Pora­chuj­my!”… Trud­no powie­dzieć, jak dale­ce moż­li­wa jest for­ma­li­za­cja rozu­mo­wań (czy moż­na osią­gnąć istot­ny postęp na przy­kład w wypad­ku argu­men­ta­cji praw­ni­czych), nie ule­ga jed­nak wąt­pli­wo­ści, że w znacz­nym stop­niu może ona mieć miej­sce w mate­ma­ty­ce. Doty­ka­my więc pro­ble­mu obec­no­ści kom­pu­te­rów w mate­ma­ty­ce – i to nie tyl­ko w zasto­so­wa­niach prak­tycz­nych, gdy kom­pu­te­ry pro­wa­dzą obli­cze­nia, symu­la­cje, ste­ru­ją urzą­dze­nia­mi etc., ale rów­nież w bar­dzo głę­bo­kim sen­sie: kom­pu­te­ry wspie­ra­ją mate­ma­ty­ków w zdo­by­wa­niu wie­dzy matematycznej.

Jak pokolorować mapę?

Chy­ba naj­bar­dziej zna­nym i naj­sze­rzej dys­ku­to­wa­nym w lite­ra­tu­rze filo­zo­ficz­nej przy­kła­dem dowo­du wspo­ma­ga­ne­go przez kom­pu­ter jest dowód twier­dze­nia o czte­rech bar­wach (dalej uży­wam skró­tu 4CT – od Four-Color The­orem). Twier­dze­nie jest bar­dzo pro­ste: mówi, że każ­dą (nor­mal­ną) mapę na płasz­czyź­nie moż­na poko­lo­ro­wać czte­re­ma kolo­ra­mi tak, aby sąsied­nie pań­stwa mia­ły róż­ne kolo­ry (zakła­da­my, że pań­stwa są „nor­mal­ne” – w jed­nym kawał­ku, nie mają „wypu­stek” etc.). Pro­blem został sfor­mu­ło­wa­ny już w roku 1852, jed­nak roz­wią­za­nie przy­szło dopie­ro w roku 1976, kie­dy to Ken­neth Appel, Wol­fgang Haken i John A. Koch poda­li dowód – z uży­ciem kom­pu­te­ra. Klu­czo­wy etap pole­gał na spraw­dze­niu dużej licz­by przy­pad­ków szcze­gól­nych, co nie było moż­li­we do wyko­na­nia „ręcz­nie”. W ory­gi­nal­nej wer­sji dowo­du czas pra­cy kom­pu­te­ra wyno­sił 1200 godzin. Oczy­wi­ście, obec­nie ten czas jest skró­co­ny (a algo­rytm uprosz­czo­ny), ale licz­ba ope­ra­cji pro­wa­dzo­nych przez kom­pu­ter jest nadal gigantyczna.

Dowód wzbu­dził pew­ne wąt­pli­wo­ści, poja­wi­ło się pyta­nie, czy fak­tycz­nie moż­na o nim myśleć jako o peł­no­praw­nym dowo­dzie mate­ma­tycz­nym. Być może nale­ży uznać, że kom­pu­te­ro­wy dowód 4CT sta­no­wi nowy rodzaj dowo­du, zaś 4CT – nowy typ wie­dzy o cha­rak­te­rze (przy­naj­mniej czę­ścio­wo) empi­rycz­nym? W dys­ku­sji poja­wia­ją się róż­ne sta­no­wi­ska. Moż­na je robo­czo skla­sy­fi­ko­wać w trzech gru­pach (aby ich isto­ta była lepiej widocz­na, nie­co je tutaj przejaskrawiam):

(1) Moż­na uznać, że odwo­ła­nie się do wyni­ku eks­pe­ry­men­tu fizycz­ne­go, jakim jest dzia­ła­nie pew­ne­go urzą­dze­nia elek­tro­nicz­ne­go w okre­ślo­nym miej­scu i cza­sie, jest przy dowo­dze­niu twier­dzeń mate­ma­tycz­nych nie­do­pusz­czal­ne. Mate­ma­ty­ka jest bowiem nauką aprio­rycz­ną, doty­czy – mówiąc swo­bod­nie – kró­le­stwa abs­trak­cyj­nych, poza­cza­so­wych bytów. Co wię­cej, odwo­ła­nie się do wyni­ku kom­pu­te­ro­we­go eks­pe­ry­men­tu pozba­wia uza­sad­nia­ne w ten spo­sób tezy walo­ru pew­no­ści: nie może­my prze­cież mieć abso­lut­ne­go zaufa­nia co do dzia­ła­nia same­go kom­pu­te­ra, nie jeste­śmy też w sta­nie prze­śle­dzić krok po kro­ku prze­bie­gu obli­cze­nia. O tym, co ów kom­pu­ter robi, wie­my prze­cież jedy­nie na pod­sta­wie zawod­nych teo­rii empi­rycz­nych, któ­rych epi­ste­mo­lo­gicz­ny sta­tus istot­nie róż­ni się od sta­tu­su mate­ma­ty­ki. Z tego punk­tu widze­nia zaufa­nie do kom­pu­te­ra jest zaufa­niem do przy­sło­wio­wej czar­nej skrzyn­ki: wie­rzy­my, że robi coś, co jest dla nas uży­tecz­ne – ale pew­no­ści nie mamy.

(2) Moż­na jed­nak twier­dzić, że uży­cie kom­pu­te­ra w dowo­dzie mate­ma­tycz­nym nie róż­ni się co do zasa­dy od uży­cia kart­ki i ołów­ka i nie sta­no­wi żad­ne­go novum. Prze­cież nawet kie­dy posłu­gu­je­my się kart­ką i ołów­kiem, to czy­ni­my pew­ne zało­że­nia o cha­rak­te­rze empi­rycz­nym (np. takie, że kart­ka sama nie dopi­su­je ani nie uni­ce­stwia żad­nych sym­bo­li). Sko­ro więc dopusz­cza­my uży­cie fizycz­nych pomo­cy, takich jak kart­ka i ołó­wek (lub liczy­dło), to dla­cze­go mie­li­by­śmy kwe­stio­no­wać uży­cie bar­dziej zło­żo­nych pomo­cy (takich jak komputer)?

(3) Mate­ma­ty­cy czę­sto zaj­mu­ją sta­no­wi­sko pośred­nie: 4CT zosta­ło udo­wod­nio­ne, ale pozo­stał pewien nie­do­syt. Obli­cze­nio­wy dowód z uży­ciem kom­pu­te­ra jest mało ele­ganc­ki, nie wska­zu­je głę­bo­kich przy­czyn, dla któ­rych 4CT zacho­dzi. Dopie­ro dowód kla­sycz­ny dał­by nam poczu­cie zro­zu­mie­nia, a nie jedy­nie „prze­li­cze­nia” pro­ble­mu. Ale osta­tecz­nie 4CT jest twier­dze­niem, a nie tyl­ko hipotezą.

Kto ma rację? Oczy­wi­ście nikt nie kwe­stio­nu­je zasad­no­ści uży­cia kom­pu­te­rów w bada­niach nauko­wych (czy w tech­ni­ce) – spór wokół sta­tu­su dowo­dów kom­pu­te­ro­wych ma cha­rak­ter filo­zo­ficz­ny, a nie prak­tycz­ny. Odbi­ja­ją się w nim w wyraź­ny spo­sób sta­no­wi­ska doty­czą­ce natu­ry wie­dzy matematycznej.

Science fiction…?

Na koniec pozwól­my sobie na pew­ną spe­ku­la­cję. Od wie­lu lat roz­wi­ja się teo­ria obli­czeń kwan­to­wych – wie­lu bada­czy sądzi, że moż­li­we będzie stwo­rze­nie kom­pu­te­ra kwan­to­we­go, dzia­ła­ją­ce­go nie­po­rów­ny­wal­nie szyb­ciej niż kom­pu­te­ry kla­sycz­ne. Nikt nie wie, czy fak­tycz­nie jest to moż­li­we, ale gdy­by tak było, to poja­wie­nie się kom­pu­te­rów kwan­to­wych wpro­wa­dzi­ło­by nową jakość do naszej dys­ku­sji. Jaki był­by sta­tus tak uzy­ska­nej wie­dzy – czy taki sam jak 4CT? Czy powin­ni­śmy uznać kom­pu­ter kwan­to­wy po pro­stu za następ­ny ele­ment w cią­gu: kart­ka, liczy­dło, kom­pu­ter, kom­pu­ter kwan­to­wy? Zauważ­my, że zwy­kły kom­pu­ter moż­na było­by zro­bić z drew­na i napę­dzać wodą (choć baaar­dzo spo­wol­ni­ło­by to jego pra­cę), zaś żeby śle­dzić dzia­ła­nie takie­go wod­ne­go kom­pu­te­ra nie są już koniecz­ne wyra­fi­no­wa­ne teo­rie fizycz­ne. Kom­pu­ter jest bowiem – pod wzglę­dem spo­so­bu dzia­ła­nia – urzą­dze­niem mecha­nicz­nym. Roz­wa­ża­nie podob­ne­go myślo­we­go eks­pe­ry­men­tu w sto­sun­ku do kom­pu­te­ra kwan­to­we­go nie mia­ło­by sen­su z uwa­gi na brak dostę­pu do obli­cze­nia w trak­cie jego trwa­nia – każ­de zatrzy­ma­nie obli­cze­nia pro­wa­dzi­ło­by do reduk­cji sta­nu i w efek­cie do znisz­cze­nia owe­go obli­cze­nia. Musi­my cze­kać, aż cały pro­ces się zakoń­czy, nie mamy nawet wglą­du w eta­py pośred­nie (co teo­re­tycz­nie jest moż­li­we w wypad­ku zwy­kłe­go kom­pu­te­ra). Wyda­je się zatem, że w tym przy­pad­ku zapo­śred­ni­cze­nie w teo­rii empi­rycz­nej jest głęb­sze niż w przy­pad­ku zwy­kłe­go komputera.

Choć na razie nie ma kom­pu­te­rów kwan­to­wych o zna­czą­cej mocy obli­cze­nio­wej, to ist­nie­ją te opar­te na mikro­pro­ce­so­rach. I są uży­wa­ne przy dowo­dze­niu twier­dzeń. Sądzę, że fakt ten sta­no­wi cie­ka­wy przy­czy­nek do dys­ku­sji doty­czą­cej empi­rycz­nych aspek­tów matematyki.


Krzysz­tof Wój­to­wicz – Ukoń­czył stu­dia mate­ma­tycz­ne na Wydzia­le Mate­ma­ty­ki, Infor­ma­ty­ki i Mecha­ni­ki UW oraz stu­dia dok­to­ranc­kie w Insty­tu­cie Filo­zo­fii UW, gdzie uzy­skał sto­pień dok­to­ra (1998), dok­to­ra habi­li­to­wa­ne­go (2004) i pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych (2013). Zaj­mu­je się filo­zo­fią mate­ma­ty­ki. Jego doro­bek nauko­wy obej­mu­je czte­ry pozy­cje książ­ko­we oraz oko­ło 90 artykułów.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Mał­go­rza­ta Uglik

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

2 komentarze

Kliknij, aby skomentować

  • Cie­ka­we, ale jeśli mate­ma­ty­ka ma być czy­sto aprio­rycz­na i potrak­tu­je­my kom­pu­ter jako jesz­cze jeden umysł się nią zaj­mu­ją­cy to nie ma tu sprzecz­no­ści. Nikt nie mówi, że mate­ma­tyk musi być czło­wie­kiem. Wręcz prze­ciw­nie, zakła­da­my prze­cież, że język mate­ma­ty­ki jest tak uni­wer­sal­ny, że mógł­by słu­żyć do kon­tak­tu z obcy­mi cywilizacjami.

    • I sys­tem roz­wa­lo­ny. Tyl­ko po co zaraz umysł? Wystar­czy, że uzna­my, że urzą­dze­nie mani­pu­lu­je abstrakcjami.

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy