Artykuł Filozofia matematyki

Krzysztof Wójtowicz: Tajemnicze pojęcie nieskończoności

Pojęcie nieskończoności pojawia się w wielu kontekstach – w matematyce, fizyce, filozofii, teologii, literaturze, sztuce. Jest pojęciem tajemniczym, do pewnego stopnia nieuchwytnym – a kiedy próbujemy sobie z nim poradzić, często popadamy w pojęciowe trudności czy paradoksy.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj!” 2021 nr 3 (39), s. 6–8. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Para­dok­sy Zeno­na zna­ne są (lub powin­ny być zna­ne) wszyst­kim oso­bom mają­cym stycz­ność z filo­zo­fią. Czy wystrze­lo­na z łuku strza­ła dotrze do odle­głe­go o 100 m celu? Naj­pierw musi poko­nać poło­wę dro­gi. Potem poło­wę tej poło­wy – a potem poło­wę pozo­sta­łe­go dystan­su… i tak dalej. Tak więc zanim strza­ła dotrze do celu, musi poko­nać nie­skoń­cze­nie wie­le odcin­ków – a to chy­ba zaj­mie jej nie­skoń­cze­nie wie­le cza­su…? Dzi­siaj nie mamy żad­nych trud­no­ści ze zro­zu­mie­niem źró­dła owe­go para­dok­su: po pro­stu suma nie­skoń­czo­ne­go sze­re­gu może być skoń­czo­na (Zenon nie miał odpo­wied­nie­go apa­ra­tu poję­cio­we­go, aby ten fakt wyra­zić). Z punk­tu widze­nia mate­ma­ty­ki nie ma tutaj żad­nej zagad­ki – mimo to jed­nak poja­wia się uczu­cie nie­do­sy­tu. Czy mate­ma­tycz­na for­ma­li­za­cja rze­czy­wi­ście ujmu­je wszyst­kie waż­ne aspek­ty sprawy?

Roz­waż­my bar­dziej współ­cze­sny przy­kład, tzw. lam­py Thomp­so­na. Wyobraź­my sobie, że jest godzi­na 12.00, lam­pa jest włą­czo­na, i że od tej chwi­li aż do godzi­ny 13.00 doko­nu­je­my pew­nych manew­rów z lam­pą. O 12.30 ją wyłą­cza­my. O 12.45 włą­cza­my ponow­nie (zosta­ło 15 min do 13.00). O 12.52 i 30 s wyłą­cza­my… i tak dalej: zawsze, kie­dy minie poło­wa cza­su od ostat­niej czyn­no­ści, zmie­nia­my stan lam­py. Oczy­wi­ście im bli­żej 13.00, tym czę­ściej musi­my się­gać do prze­łącz­ni­ka. Pyta­nie brzmi: czy o 13.00 lam­pa będzie włą­czo­na czy wyłą­czo­na? Zaś „meta­pytanie” brzmi: czy to pyta­nie ma sens?

Nieskończoność potencjalna i aktualna

Poję­cie nie­skoń­czo­no­ści oczy­wi­ście ma swo­ją mate­ma­tycz­ną repre­zen­ta­cję i – mówiąc z pew­ną prze­sa­dą – cie­ka­wa mate­ma­ty­ka zaczy­na się dopie­ro tam, gdzie w jakiś spo­sób wkra­cza nie­skoń­czo­ność. Jest nawet popu­lar­na książ­ka o tytu­le Oswa­ja­nie nie­skoń­czo­no­ści, któ­ra mate­ma­ty­kę wła­śnie tak przedstawia.

Co to zna­czy, że jakiś zbiór obiek­tów jest nie­skoń­czo­ny? Jed­nym z naj­prost­szych obiek­tów mate­ma­tycz­nych są licz­by natu­ral­ne: 0, 1, 2, 3… Oczy­wi­ście wie­my, że nie ist­nie­je naj­więk­sza licz­ba natu­ral­na: jak dużej licz­by N byśmy nie mie­li, może­my pomy­śleć licz­bę N + 1, czy­li o jeden więk­szą. A więc zbiór liczb natu­ral­nych jest na pew­no poten­cjal­nie nie­skoń­czo­ny: zawsze moż­na go powięk­szyć, dodać nowy ele­ment. Podob­na intu­icja towa­rzy­szy myśle­niu o pro­stej: jak dłu­gie­go kawał­ka pro­stej byśmy nie mie­li, zawsze może­my „dokle­ić” do nie­go jesz­cze dodat­ko­wy metr.

Poję­cie poten­cjal­nej ver­sus aktu­al­nej nie­skoń­czo­no­ści zna­ne jest od daw­na. Ujmu­jąc je intu­icyj­nie, powie­my, że zbiór poten­cjal­nie nie­skoń­czo­ny to taki zbiór, któ­ry moż­na powięk­szać i powięk­szać, a ten nigdy się nie prze­peł­ni. Jed­nak to zna­czy też, że nigdy nie będzie­my go być może mieć „w cało­ści naraz” – na tym wła­śnie pole­ga owa poten­cjal­ność. Bar­dziej ambit­ne zada­nie to bada­nie zbio­rów aktu­al­nie nie­skoń­czo­nych – czy­li takich, któ­re trak­tu­je­my jako dane już w całości.

Równoliczność zbiorów nieskończonych

Pomyśl­my o zbio­rze liczb natu­ral­nych: 0, 1, 2, 3, 4… – i o zbio­rze liczb parzy­stych: 0, 2, 4, 6, 8… Każ­de dziec­ko powie, że liczb natu­ral­nych jest dwa razy wię­cej niż parzy­stych. Rze­czy­wi­ście – jeśli z liczb natu­ral­nych wyrzu­ci­my co dru­gą (czy­li 50% – tu mate­ma­ty­ków prze­pra­szam za oczy­wi­ste nad­uży­cie poję­cia 50%…), to zosta­ną aku­rat licz­by parzy­ste. Czy­li parzy­stych jest dokład­nie poło­wa. A licz­by podziel­ne przez czte­ry: 0, 4, 8, 12, 16…? Wyda­je się ich jesz­cze o poło­wę mniej.

Takie intu­icje są tro­chę zawod­ne w wypad­ku zbio­rów nie­skoń­czo­nych. Poja­wia się pyta­nie, jak porów­ny­wać zbio­ry nie­skoń­czo­ne – i co to wła­ści­wie zna­czy, że dwa zbio­ry nie­skoń­czo­ne są tak samo licz­ne. Dobrym mode­lem mate­ma­ty­ka bada­ją­ce­go zbio­ry nie­skoń­czo­ne jest dziec­ko skła­da­ją­ce skar­pet­ki w pary. Nie musi umieć liczyć – nie musi stwier­dzać, że jest ich np. po 17 albo po 244. Wystar­czy, jeśli pogru­pu­je je w pary: każ­dej pra­wej skar­pet­ce odpo­wia­da dokład­nie jed­na lewa (i vice ver­sa). Jeśli uda się każ­de­mu ele­men­to­wi zbio­ru A przy­pi­sać dokład­nie jeden ele­ment zbio­ru B – w taki spo­sób, że każ­dy ele­ment zbio­ru B zosta­nie „tra­fio­ny”, to powie­my, że zbio­ry A i B są rów­no­licz­ne. Tech­nicz­nie powie­my, że ist­nie­je bijek­cja ze zbio­ru na zbiór B.

Łatwo teraz zoba­czyć, że zbiór liczb natu­ral­nych i zbiór liczb parzy­stych mają tyle samo ele­men­tów. Przy­po­rząd­ko­wa­nie każ­dej licz­bie natu­ral­nej dokład­nie jed­nej licz­by parzy­stej jest bar­dzo pro­ste: licz­bie n przy­pi­su­je­my licz­bę 2n. Obra­zu­je to tabelka:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Na podob­nej zasa­dzie może­my usta­lić rów­no­licz­ność zbio­ru liczb natu­ral­nych 0, 1, 2, 3… i cał­ko­wi­tych… Owe zbio­ry są prze­li­czal­ne: może­my je „ponu­me­ro­wać” licz­ba­mi naturalnymi.

Roz­waż­my nie­co trud­niej­szy przy­kład: nie­skoń­czo­ną kart­kę w krat­kę. Przy­pu­ść­my, że peten­ci, któ­rzy chcą się dostać do urzę­du, zgro­ma­dzi­li się w nie­skoń­czo­nej pocze­kal­ni, gdzie jest nie­skoń­cze­nie wie­le nie­skoń­czo­nych rzę­dów krze­seł. Czy moż­na ich usta­wić w kolej­kę – tzn. każ­dej oso­bie wrę­czyć kolej­ny numer? Oka­zu­je się, że tak – bile­ter musi po pro­stu wybrać spryt­ny spo­sób krą­że­nia po owej pocze­kal­ni tak, aby w skoń­czo­nym cza­sie dotrzeć do każ­dej oso­by (przy­jem­ność zapro­jek­to­wa­nia tra­sy – jest ich bar­dzo wie­le – pozo­sta­wia­my Czytelnikom).

Zbiór liczb natu­ral­nych, parzy­stych i „nie­skoń­czo­na pocze­kal­nia” pozor­nie róż­ni­ły się roz­mia­rem, ale oka­za­ło się, że są tak samo licz­ne. Być może wszyst­kie zbio­ry nie­skoń­czo­ne są takie same? Inny­mi sło­wy: czy jest jed­na nie­skoń­czo­ność (czy raczej: jeden „roz­miar” nie­skoń­czo­no­ści), czy też może jest ich więcej?

Odpo­wiedź mate­ma­ty­ka jest pro­sta: zbio­ry nie­skoń­czo­ne wystę­pu­ją w róż­nych roz­mia­rach. Łatwo udo­wod­nić, że dla każ­de­go zbio­ru nie­skoń­czo­ne­go (nie­za­leż­nie od roz­mia­ru) moż­na wska­zać zbiór od nie­go więk­szy (zob. wię­cej na ten temat na s. 14 tego nume­ru). Jest więc nie­skoń­cze­nie wie­le nie­skoń­czo­no­ści… Ile? To już sub­tel­ny pro­blem, nawet samo jego sfor­mu­ło­wa­nie wyma­ga pod­ję­cia pew­nych decy­zji doty­czą­cych tego, jak ma wyglą­dać teo­ria, któ­ra owe nie­skoń­czo­no­ści będzie badać.

Pewnik wyboru

Na koniec wspo­mnij­my o pew­nym filo­zo­ficz­nie cie­ka­wym aksjo­ma­cie teo­rii mno­go­ści, tzw. pew­ni­ku wybo­ru. Gło­si on, że jeśli mamy jakąś rodzi­nę zbio­rów, to ist­nie­je taki zbiór, któ­ry z każ­dym ze zbio­rów tej rodzi­ny ma jeden ele­ment wspól­ny. Obra­zo­wo: jeśli mamy duży worek (rodzi­na zbio­rów), w któ­rym są małe worecz­ki (zbio­ry) – np. zawie­ra­ją­ce jakieś dro­bia­zgi, to moż­na stwo­rzyć taki zbiór, któ­ry będzie zawie­rał jeden dro­biazg z każ­de­go z worecz­ków. Jest oczy­wi­ste, że tak wła­śnie jest: po pro­stu z każ­de­go z owych małych worecz­ków z duże­go wora wycią­ga­my po jed­nym dro­bia­zgu – i goto­we! W czym problem?

Oczy­wi­ście ewen­tu­al­ny pro­blem tkwi w tym, że intu­icje ze świa­ta skoń­czo­ne­go (małe worecz­ki w dużym wor­ku) nie prze­no­szą się tak łatwo do świa­ta nie­skoń­czo­ne­go. Pew­nik wybo­ru gło­si, że dla każ­dej rodzi­ny nie­pustych zbio­rów ist­nie­je selek­tor – czy­li zbiór, któ­ry „wybie­ra” z każ­de­go zbio­ru owej rodzi­ny jeden ele­ment. Nie widać tu nic groź­ne­go. Oka­zu­je się jed­nak, że korzy­sta­jąc z owe­go pew­ni­ka, może­my udo­wod­nić zaska­ku­ją­ce twier­dze­nie Bana­cha-Tar­skie­go o para­dok­sal­nym roz­kła­dzie kuli: otóż kulę moż­na podzie­lić na kil­ka kawał­ków w taki spo­sób, aby zło­żyć z nich dwie kule, każ­dą wiel­ko­ści kuli wyj­ścio­wej. Wyglą­da na to, że wystar­czy zdo­być malut­ką kul­kę ze zło­ta – i sta­nie­my się bar­dzo bogaci!

Twier­dze­nie kłó­ci się z naszy­mi intu­icja­mi – co wyni­ka m.in. stąd, że owe „kawał­ki kuli” nijak się nie mają do kawał­ków jabł­ka kro­jo­ne­go nożem. Zde­fi­nio­wa­ne są w bar­dzo tech­nicz­ny i nie­kon­struk­tyw­ny spo­sób. Twier­dze­nie jest dziw­ne – więc może lepiej pozbyć się tego pew­ni­ka wybo­ru, któ­ry pro­wa­dzi do takich dzi­wactw? Jed­nak wów­czas ogrom­nie zubo­ży­li­by­śmy mate­ma­ty­kę – sze­re­gu waż­nych twier­dzeń nie dało­by się udo­wod­nić. Pew­nik wybo­ru jest więc przyj­mo­wa­ny dość powszechnie.

Nie­skoń­czo­ność to poję­cie tajem­ni­cze – i nawet jego mate­ma­tycz­na, for­mal­na repre­zen­ta­cja pro­wa­dzi do bar­dzo cie­ka­wych zagad­nień. A czy mate­ma­ty­ka dobrze ujmu­je isto­tę nie­skoń­czo­no­ści – to już inne pytanie.


Krzysz­tof Wój­to­wicz – ukoń­czył stu­dia mate­ma­tycz­ne na Wydzia­le Mate­ma­ty­ki, Infor­ma­ty­ki i Mecha­ni­ki UW oraz stu­dia dok­to­ranc­kie w Insty­tu­cie Filo­zo­fii UW, gdzie uzy­skał sto­pień dok­to­ra (1998), dok­to­ra habi­li­to­wa­ne­go (2004) i pro­fe­so­ra nauk huma­ni­stycz­nych (2013). Zaj­mu­je się filo­zo­fią mate­ma­ty­ki. Jego doro­bek nauko­wy obej­mu­je czte­ry pozy­cje książ­ko­we oraz oko­ło 90 artykułów.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści numeru.

Ilu­stra­cja: Flo­ria­nen vinsi’Siegereith

Najnowszy numer można nabyć od 1 września w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. tutaj.

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2021 można zamówić > tutaj.

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Skomentuj

Kliknij, aby skomentować

55 podróży filozoficznych okładka

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy