Zagadki logiczne #23: Zachować, czy zamienić pudełko?

Podczas następnej wizyty czarnoksiężnik obiecał, że przedstawi Kasi i Michałowi naprawdę kontrintuicyjną zagadkę.

– Chciałbym zaprezentować pewien problem z teorii prawdopodobieństwa, który wzbudza liczne kontrowersje – zaczął czarnoksiężnik. – Wiele osób podaje błędną odpowiedź; co gorsza, żadne argumenty nie są w stanie ich przekonać, że się mylą. Czy to by was interesowało?

– Oczywiście – odpowiedzieli Kasia i Michał.

– Doskonale. Problem jest następujący. Mamy trzy zamknięte pudełka: A, B i C. Jedno z nich zawiera wartościowy fant, a dwa pozostałe są puste. Wybieracie losowo jedno z nich – załóżmy, że jest to A. Jednak zanim je otworzycie, żeby sprawdzić, czy jest w nim nagroda, ja otwieram jedno z dwóch pozostałych pudełek – powiedzmy, pudełko B; okazuje się, że jest ono puste. Wtedy masz do wyboru albo zatrzymać pudełko A, albo zmienić wybór na pudełko C. Pytanie brzmi: czy – z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa – jest rozsądniej zachować pudełko A, czy zmienić wybór na pudełko C?

Po krótkim zastanowieniu Kasia odpowiedziała:

– Nie ma żadnej różnicy. Kiedy wybieram pudełko A, szansa, że wygram fant, jest jak jeden do trzech. Gdy jednak się okazuje, że pudełko B jest puste, to tym samym moje szanse wygranej wynoszą jeden do dwóch. Oznacza to, że w tej chwili prawdopodobieństwo, że fant jest w pudełku A, jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że fant jest w pudełku C. Z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa nie ma zatem żadnej różnicy.

– Tak – uśmiechnął się czarnoksiężnik – tak właśnie widzi to większość ludzi. Niestety, mylą się. Zdecydowanie rozsądniej jest dokonać zamiany; w ten sposób zwiększysz szanse wygranej z jednej trzeciej do dwóch trzecich.

– Nie mogę się z tym zgodzić! – zaprotestowała Kasia. – Jak to możliwe? Przecież zgodzi się pan chyba z tym, że początkowo szanse, że fant jest w danym pudełku, są jak jeden do trzech?

– Oczywiście – odparł czarnoksiężnik.

– A więc, skoro wiemy, że fant nie znajduje się w pudełku B, oznacza to, że z równym prawdopodobieństwem jest w pudełku A lub C. Czyż nie jest to oczywiste?

– Nie, wcale nie jest to oczywiste – odparł czarnoksiężnik. – Co więcej, po prostu nie jest to prawda!