Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #10. Moc ekspresyjna teorii kwantyfikatorów

Chodzi mi o to, aby język giętki powiedział wszystko, co pomyśli głowa. Juliusz Słowacki, Beniowski

Najnowszy numer: Nowy człowiek?

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2017 można zamówić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 23 listopada w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „TUTAJ”.

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 4 (16), s. 26–27. W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku  PDF.


§1. Trzon nowoczes­nej logi­ki to teo­ria zdań oraz teo­ria kwan­ty­fika­torów – w skró­cie TK – zwana też logiką predykatów.

W poprzed­nich odcinkach kwan­ty­fika­to­ry po­jawiały się i były krótko wyjaś­ni­ane w miarę, jak wyma­gało tego rozważane zagad­nie­nie, ale nie w sposób sys­tem­aty­czny. Pora zająć się TK dokład­niej, naw­iązu­jąc do marzeń poe­ty o takiej giętkoś­ci języ­ka, żeby mógł on sprostać bogactwu i sub­tel­noś­ci myśli. Nazy­wamy taką elasty­czność mocą ekspresyjną.

Moc ekspresyj­na języ­ka TK jest tak duża, że gdy uzu­pełn­imy go poję­ciem zbioru, to da się w nim wyraz­ić cała matem­aty­ka, a reguły rozu­mowa­nia mają rozległe zas­tosowanie we wszys­t­kich dziedz­i­nach myśli. Uzysku­je­my ją, biorąc za pod­stawę teorię zdań i dołącza­jąc do zmi­en­nych zdan­iowych i spójników zdan­iowych nowe kat­e­gorie. Są to zmi­enne indy­wid­uowe, nad­to predykaty oraz kwan­ty­fika­to­ry (o których mowa dalej).

Co to są zmi­enne indy­wid­uowe? Twór­cy nowo­czesnej logi­ki zauważyli, jak wielkie znacze­nie dla giętkoś­ci języ­ka może mieć niepo­zorne słówko „coś”, gdy się doceni i rozbudu­je tkwią­cy w nim potenc­jał. W pol­szczyźnie trud­no z tego potenc­jału korzys­tać, bo trze­ba by móc odróż­ni­ać wiele cosiów, mieć od tego słowa liczbę mnogą i odmieni­ać je przez przy­padki. Język TK jest wol­ny od tych kwestii, będąc bu­dowany na takiej pozy­cyjnej zasadzie jak notac­ja aryt­metyczna.

Gdy jakieś zdanie orze­ka o iluś rzeczach, np. że coś porusza coś, a to porusza jeszcze inne coś, to skład­nia TK na każde coś dys­ponu­je innym ozna­czeniem, uwal­ni­a­jąc się tym samym od plą­taniny powtórzeń. Mówimy: x porusza y oraz y porusza z.

W tej gra­matyce cały ładunek nie­sionej przez zda­nie infor­ma­cji zaw­iera się w orzecze­niu, które log­i­cy nazy­wa­ją (z łacińs­ka) predykatem. Nato­mi­ast taki gra­matyczny pod­miot jak enig­maty­czne x nic nie mówi o właś­ci­woś­ci­ach rozważanych rzeczy.

Istot­ną cechą TK jest to, że jej for­muły nabier­a­ją sen­su, a więc wiado­mo, o czym mówią, dopiero wtedy, gdy się dokład­nie określi zbiór obe­j­mu­ją­cy indy­wid­ua, do których chce­my odnosić zmi­enne (z tej właśnie ra­cji zwane indy­wid­uowy­mi). Taki zbiór nazy­wamy uni­w­er­sum teorii. Np. uni­w­er­sum pod­sta­wowego dzi­ału aryt­mety­ki stanowi zbiór liczb nat­u­ral­nych, uni­w­er­sum zoologii – zbiór zwierząt itd.

For­muła x + y = 5 ma sens wtedy, gdy zmi­enne odnoszą się do liczb nat­u­ral­nych; przy jed­nych pod­stawieniach jest prawdzi­wa, przy innych fałszy­wa, ale zawsze sen­sow­na. Pow­stanie jed­nak niedorzeczność np. wtedy, gdy za x pod­staw­ić „ciało”, a za y – „dusza”.

Jedne zda­nia zapisanej w języku TK teorii orzeka­ją jakąś włas­ność o wszys­t­kich indy­wid­u­ach z danego uni­w­er­sum. Inne mówią tylko tyle, że ist­nieje w nim co najm­niej jed­no indy­widu­um o danej włas­noś­ci, nie przesądza­jąc, czy wszys­tkie i jak wiele. Te pierw­sze są uni­w­er­salne (inaczej: ogólne), te drugie egzy­stencjalne (inaczej: szczegółowe). To nie wycz­er­pu­je wszys­t­kich form zdan­iowych TK; ist­nieją kon­strukc­je bardziej złożone, ale tu poprzes­taniemy na najprost­szych.

O tym, czy dane zdanie jest uni­w­er­salne, czy egzy­stencjalne, powiadamia kwan­ty­fika­tor. W pier­wszym przy­pad­ku jest to kwan­ty­fika­tor uni­w­er­sal­ny ∀x, co czy­tamy „dla każdego x (jest tak a tak)”. W drugim przy­pad­ku – kwan­ty­fika­tor egzys­tenc­jal­ny ∃x, co czy­tamy: „ist­nieje x (takie, że to a to)”. Weźmy przykłady z uni­w­er­sum zoologii (wyraże­nie zaz­nac­zone na różowo jest predykatem orzekanym o x).

∀x (x ma sys­tem pozyski­wa­nia energii).
∃x (x pozysku­je energię, żywiąc się plank­tonem).

§2. Wygod­nie jest mieć do dys­pozy­cji oba kwantyfi­katory. Trze­ba jed­nak pamię­tać, że każdy może wy­razić to wszys­tko, co dru­gi, o ile się go ­wesprze od­powiednim kon­tek­stem. Tak więc mocy ekspresyj­nej nie ubędzie, gdy poprzes­taniemy na tym lub tam­tym, ubędzie nato­mi­ast wygody w wysłowie­niu; nie chcąc z niej rezyg­nować, korzys­tamy z obu. Wspar­cie, o którym mowa, pole­ga na wys­tępowa­niu kwan­ty­fika­to­ra łącznie z negacją.
Przyjrzyjmy się temu na przykładzie kwan­ty­fika­to­ra uni­w­er­sal­nego zacz­erp­nię­tym z poezji lirycznej, co przy okazji zaświad­cza, że liryczność może iść w pa­rze z logiką. Tak oto wieszcz wyz­nawał Maryli swe uczu­cia za pomocą kwan­ty­fika­to­ra uni­w­er­sal­nego:

Na każdym miejs­cu i o każdej dobie,
Gdziem z tobą płakał, gdziem się z tobą baw­ił,
Wszędziezawsze będę ja przy tobie,
Bom wszędzie cząstkę mej duszy zostaw­ił.

Dla prze­jrzys­toś­ci, choć ze stratą dla poe­t­y­ck­oś­ci, uprośćmy treść tej stro­fy do dwóch zdań.

1. Każde miejsce naszych spotkań wspom­i­nam z tęs­knotą.

2. Każdy czas naszych spotkań wspom­i­nam z tęs­knotą.

Jak widać, ten krót­ki tekst potrze­bu­je dwóch uni­w­er­sów: jed­nym jest zbiór miejsc spotkań, a drugim – zbiór cza­sów spotkań. Moż­na sprowadz­ić te uni­w­er­sa do jed­nego, ale wtedy pow­stały­by wyraże­nia bardziej złożone, a w tym momen­cie staw­iamy na uproszcze­nia.

Treść zdań 1 i 2 da się wyraz­ić kwan­ty­fika­torem egzy­stencjalnym otoc­zonym przez negac­je.

1*. nie ist­nieje miejsce naszych spotkań, którego nie wspom­i­nam z tęs­knotą.

2*. nie ist­nieje czas naszych spotkań, którego nie wspo­minam z tęs­knotą.

Z tego przykładu łat­wo odczy­tać ogól­ną regułę zastępowa­nia kwan­ty­fika­torów. Nie zmieni się treś­ci zda­nia, gdy kwan­ty­fika­tor uni­w­er­sal­ny zastąpi się egzys­tenc­jal­nym otoc­zonym przez wyraże­nia przeczące.

Mamy też regułę zastępowa­nia w kierunku prze­ciwnym. Nie zmieni się treś­ci zda­nia, gdy kwantyfi­kator egzys­tenc­jal­ny zastąpi się uni­w­er­sal­nym oto­czonym przez wyraże­nia przeczące.
Na przykład: „ist­nieją ludzie dobrzy” to tyle, co: „niepraw­da, że każdy jest niedo­bry”.

Pod­sumu­jmy te anal­izy zapisem w języku TK, przyj­mu­jąc P w roli dowol­nego predykatu. Sym­bol ↔ tworzy for­mułę, która nazy­wa się równoważnoś­cią i cechu­je się tym, że każ­da jej strona wyni­ka z drugiej.

∀xP(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)
∃xP(x) ↔ ¬∀x ¬P(x)

Niech te dwa ele­ganck­ie wzo­ry będą puen­tą rozważań, a jaki jest z nich pożytek dla naszego myśle­nia o świecie, będziemy rozważać w następ­nej tego cyk­lu
odsłonie.


Witold Mar­ciszews­ki – Pro­fe­sor dr hab. nauk human­isty­cznych w zakre­sie logi­ki. Wykładał na UW, w Col­legium Civ­i­tas, Uni­w­er­syte­cie w Salzbur­gu i in. Jego najbardziej znana książ­ka to Log­ic from a Rhetor­i­cal Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bione zaję­cie: roz­mowy z żoną na wszelkie tem­aty.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­ka.
W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.

 < Powrót do spisu treś­ci numeru

Fot.: © okalinichenko

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy