Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #10. Moc ekspresyjna teorii kwantyfikatorów

Chodzi mi o to, aby język giętki powiedział wszystko, co pomyśli głowa. Juliusz Słowacki, Beniowski

Najnowszy numer: Edukacja moralna

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Nume­ry dru­ko­wa­ne moż­na zamó­wić onli­ne > tutaj. Pre­nu­me­ra­tę na rok 2017 moż­na zamó­wić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 2 października w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobro­wol­nie WESPRZEĆ naszą ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą, klik­nij „TUTAJ”.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 4 (16), s. 26–27. W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku  PDF.


§1. Trzon nowo­cze­snej logi­ki to teo­ria zdań oraz teo­ria kwan­ty­fi­ka­to­rów – w skró­cie TK – zwa­na też logi­ką predykatów.

W poprzed­nich odcin­kach kwan­ty­fi­ka­to­ry po­jawiały się i były krót­ko wyja­śnia­ne w mia­rę, jak wyma­ga­ło tego roz­wa­ża­ne zagad­nie­nie, ale nie w spo­sób sys­te­ma­tycz­ny. Pora zająć się TK dokład­niej, nawią­zu­jąc do marzeń poety o takiej gięt­ko­ści języ­ka, żeby mógł on spro­stać bogac­twu i sub­tel­no­ści myśli. Nazy­wa­my taką ela­stycz­ność mocą eks­pre­syj­ną.

Moc eks­pre­syj­na języ­ka TK jest tak duża, że gdy uzu­peł­ni­my go poję­ciem zbio­ru, to da się w nim wyra­zić cała mate­ma­ty­ka, a regu­ły rozu­mo­wa­nia mają roz­le­głe zasto­so­wa­nie we wszyst­kich dzie­dzi­nach myśli. Uzy­sku­je­my ją, bio­rąc za pod­sta­wę teo­rię zdań i dołą­cza­jąc do zmien­nych zda­nio­wych i spój­ni­ków zda­nio­wych nowe kate­go­rie. Są to zmien­ne indy­wi­du­owe, nad­to pre­dy­ka­ty oraz kwan­ty­fi­ka­to­ry (o któ­rych mowa dalej).

Co to są zmien­ne indy­wi­du­owe? Twór­cy nowo­czesnej logi­ki zauwa­ży­li, jak wiel­kie zna­cze­nie dla gięt­ko­ści języ­ka może mieć nie­po­zor­ne słów­ko „coś”, gdy się doce­ni i roz­bu­du­je tkwią­cy w nim poten­cjał. W pol­sz­czyź­nie trud­no z tego poten­cja­łu korzy­stać, bo trze­ba by móc odróż­niać wie­le cosiów, mieć od tego sło­wa licz­bę mno­gą i odmie­niać je przez przy­padki. Język TK jest wol­ny od tych kwe­stii, będąc bu­dowany na takiej pozy­cyj­nej zasa­dzie jak nota­cja arytmetyczna.

Gdy jakieś zda­nie orze­ka o iluś rze­czach, np. że coś poru­sza coś, a to poru­sza jesz­cze inne coś, to skład­nia TK na każ­de coś dys­po­nu­je innym ozna­czeniem, uwal­nia­jąc się tym samym od plą­ta­ni­ny powtó­rzeń. Mówi­my: x poru­sza y oraz y poru­sza z.

W tej gra­ma­ty­ce cały ładu­nek nie­sio­nej przez zda­nie infor­ma­cji zawie­ra się w orze­cze­niu, któ­re logi­cy nazy­wa­ją (z łaciń­ska) pre­dy­ka­tem. Nato­miast taki gra­matyczny pod­miot jak enig­ma­tycz­ne x nic nie mówi o wła­ści­wo­ściach roz­wa­ża­nych rzeczy.

Istot­ną cechą TK jest to, że jej for­mu­ły nabie­ra­ją sen­su, a więc wia­do­mo, o czym mówią, dopie­ro wte­dy, gdy się dokład­nie okre­śli zbiór obej­mu­ją­cy indy­wi­dua, do któ­rych chce­my odno­sić zmien­ne (z tej wła­śnie ra­cji zwa­ne indy­wi­du­owy­mi). Taki zbiór nazy­wa­my uni­wer­sum teo­rii. Np. uni­wer­sum pod­sta­wo­we­go dzia­łu aryt­me­ty­ki sta­no­wi zbiór liczb natu­ral­nych, uni­wer­sum zoo­lo­gii – zbiór zwie­rząt itd.

For­mu­ła x + y = 5 ma sens wte­dy, gdy zmien­ne odno­szą się do liczb natu­ral­nych; przy jed­nych pod­stawieniach jest praw­dzi­wa, przy innych fał­szy­wa, ale zawsze sen­sow­na. Powsta­nie jed­nak nie­do­rzecz­ność np. wte­dy, gdy za x pod­sta­wić „cia­ło”, a za y – „dusza”.

Jed­ne zda­nia zapi­sa­nej w języ­ku TK teo­rii orze­ka­ją jakąś wła­sność o wszyst­kich indy­wi­du­ach z dane­go uni­wer­sum. Inne mówią tyl­ko tyle, że ist­nie­je w nim co naj­mniej jed­no indy­wi­du­um o danej wła­sno­ści, nie prze­są­dza­jąc, czy wszyst­kie i jak wie­le. Te pierw­sze są uni­wer­sal­ne (ina­czej: ogól­ne), te dru­gie egzy­stencjalne (ina­czej: szcze­gó­ło­we). To nie wyczer­pu­je wszyst­kich form zda­nio­wych TK; ist­nie­ją kon­struk­cje bar­dziej zło­żo­ne, ale tu poprze­sta­nie­my na najprostszych.

O tym, czy dane zda­nie jest uni­wer­sal­ne, czy egzy­stencjalne, powia­da­mia kwan­ty­fi­ka­tor. W pierw­szym przy­pad­ku jest to kwan­ty­fi­ka­tor uni­wer­sal­ny ∀x, co czy­ta­my „dla każ­de­go x (jest tak a tak)”. W dru­gim przy­pad­ku – kwan­ty­fi­ka­tor egzy­sten­cjal­ny ∃x, co czy­tamy: „ist­nie­je x (takie, że to a to)”. Weź­my przy­kła­dy z uni­wer­sum zoo­lo­gii (wyra­że­nie zazna­czo­ne na różo­wo jest pre­dy­ka­tem orze­ka­nym o x).

∀x (x ma sys­tem pozy­ski­wa­nia ener­gii).
∃x (x pozy­sku­je ener­gię, żywiąc się plank­to­nem).

§2. Wygod­nie jest mieć do dys­po­zy­cji oba kwantyfi­katory. Trze­ba jed­nak pamię­tać, że każ­dy może wy­razić to wszyst­ko, co dru­gi, o ile się go ­wes­prze od­powiednim kon­tek­stem. Tak więc mocy ekspresyj­nej nie ubę­dzie, gdy poprze­sta­nie­my na tym lub tam­tym, ubę­dzie nato­miast wygo­dy w wysło­wie­niu; nie chcąc z niej rezy­gno­wać, korzy­sta­my z obu. Wspar­cie, o któ­rym mowa, pole­ga na wystę­po­wa­niu kwan­ty­fi­ka­to­ra łącz­nie z negacją.
Przyj­rzyj­my się temu na przy­kła­dzie kwan­ty­fi­ka­to­ra uni­wer­sal­ne­go zaczerp­nię­tym z poezji lirycz­nej, co przy oka­zji zaświad­cza, że lirycz­ność może iść w pa­rze z logi­ką. Tak oto wieszcz wyzna­wał Mary­li swe uczu­cia za pomo­cą kwan­ty­fi­ka­to­ra uniwersalnego:

Na każ­dym miej­scu i o każ­dej dobie,
Gdziem z tobą pła­kał, gdziem się z tobą bawił,
Wszę­dziezawsze będę ja przy tobie,
Bom wszę­dzie cząst­kę mej duszy zostawił.

Dla przej­rzy­sto­ści, choć ze stra­tą dla poetyc­ko­ści, upro­ść­my treść tej stro­fy do dwóch zdań.

1. Każ­de miej­sce naszych spo­tkań wspo­mi­nam z tęsknotą.

2. Każ­dy czas naszych spo­tkań wspo­mi­nam z tęsknotą.

Jak widać, ten krót­ki tekst potrze­bu­je dwóch uni­wer­sów: jed­nym jest zbiór miejsc spo­tkań, a dru­gim – zbiór cza­sów spo­tkań. Moż­na spro­wa­dzić te uni­wer­sa do jed­ne­go, ale wte­dy powsta­ły­by wyra­że­nia bar­dziej zło­żo­ne, a w tym momen­cie sta­wia­my na uproszczenia.

Treść zdań 1 i 2 da się wyra­zić kwan­ty­fi­ka­to­rem egzy­stencjalnym oto­czo­nym przez negacje.

1*. nie ist­nie­je miej­sce naszych spo­tkań, któ­re­go nie wspo­mi­nam z tęsknotą.

2*. nie ist­nie­je czas naszych spo­tkań, któ­re­go nie wspo­minam z tęsknotą.

Z tego przy­kła­du łatwo odczy­tać ogól­ną regu­łę zastę­po­wa­nia kwan­ty­fi­ka­to­rów. Nie zmie­ni się tre­ści zda­nia, gdy kwan­ty­fi­ka­tor uni­wer­sal­ny zastą­pi się egzy­sten­cjal­nym oto­czo­nym przez wyra­że­nia przeczące.

Mamy też regu­łę zastę­po­wa­nia w kie­run­ku prze­ciwnym. Nie zmie­ni się tre­ści zda­nia, gdy kwantyfi­kator egzy­sten­cjal­ny zastą­pi się uni­wer­sal­nym oto­czonym przez wyra­że­nia przeczące.
Na przy­kład: „ist­nie­ją ludzie dobrzy” to tyle, co: „nie­praw­da, że każ­dy jest niedobry”.

Pod­su­muj­my te ana­li­zy zapi­sem w języ­ku TK, przyj­mu­jąc P w roli dowol­ne­go pre­dy­ka­tu. Sym­bol ↔ two­rzy for­mu­łę, któ­ra nazy­wa się rów­no­waż­no­ścią i cechu­je się tym, że każ­da jej stro­na wyni­ka z drugiej.

∀xP(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)
∃xP(x) ↔ ¬∀x ¬P(x)

Niech te dwa ele­ganc­kie wzo­ry będą puen­tą roz­wa­żań, a jaki jest z nich poży­tek dla nasze­go myśle­nia o świe­cie, będzie­my roz­wa­żać w następ­nej tego cyklu
odsłonie.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tematy.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­ska.
W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

 < Powrót do spi­su tre­ści nume­ru

Fot.: © okalinichenko

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Reklama

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wes­przeć tę ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakład­ki WSPARCIE na naszej stro­nie, kli­ka­jąc poniż­szy link. Klik: Chcę wes­przeć „Filo­zo­fuj!”

Polecamy