Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #9. Współpraca koniunkcji z negacją w definiowaniu innych operatorów

Szkic ten nawiązuje do przytoczonej w poprzednim odcinku „przypowieści”, która mówiła o stosunku bieguna magnetycznego do geogra­ficznego na północy. Magnetyczny nie pokrywa się z geo­graficznym, a jednak wiarygodnie wskazuje, jak się na niego kie­rować. Operatory logiki symbolicznej niuansami znaczeniowymi różnią się od ich odpowiedników w języku polskim. A przecież wiarygodnie wskazują na treść i moc logiczną tych drugich. Rozważmy ów stosu­nek w przypadku alternatywy i implikacji.

Najnowszy numer: Nowy człowiek?

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Numery drukowane można zamówić online > tutaj. Prenumeratę na rok 2017 można zamówić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 23 listopada w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobrowolnie WESPRZEĆ naszą inicjatywę dowolną kwotą, kliknij „TUTAJ”.

Tekst ukazał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 3 (15), s. 26–27.  W pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.


Definicja alternatywy:
co najmniej jedno z…

Oper­a­tor alter­naty­wy p ˅ q może­my defin­iować na dwa sposo­by. W jed­nym poda­je się układ rów­nań zero-jedynkowych; mówią one, jaka ma być wartość log­icz­na zdań skład­owych, żeby zdanie złożone (p lub q) miało wartość log­iczną prawdy; tak postępowal­iśmy w przy­pad­ku negacji i koni­unkcji (#7 i #8). Podob­nie będzie ter­az z alter­naty­wą.

Alter­naty­wa: p ˅ q, tj. co najm­niej jed­no z dwo­j­ga: p lub q.

Definic­ja przez układ rów­nań:
1 ˅ 1 = 1, 1 ˅ 0 = 1, 0 ˅ 1 = 1, 0 ˅ 0 = 0.

Przykład. Zdanie „Pada deszcz lub świeci słońce” jest prawdzi­we przy trzech kom­bi­nac­jach 0 i 1, mianowi­cie gdy zachodzą obie sytu­acje lub zachodzi przy­na­jm­niej jed­na z nich (obo­jęt­nie która). Fałszy­we jest wtedy i tylko wtedy, gdy żad­na sytu­ac­ja nie speł­nia zdań skład­owych, czyli gdy oba mają wartość 0.

Dru­gi sposób defin­iowa­nia pole­ga na tym, że trak­tujemy sym­bole negacji i koni­unkcji jako zrozu­mi­ałe dzię­ki wcześniejsze­mu obdarze­niu ich sensem przez układy rów­nań zero-jedynkowych. Sym­bol alter­naty­wy nato­mi­ast, dotąd niewys­tępu­ją­cy i niezdefin­iowany, uczyn­imy zrozu­miałym przez zdefin­iowanie go za pomocą ter­minów już obec­nych w języku.

Intu­icję prowadzącą do tej definicji mamy zako­dowaną w regułach znaczeniowych języ­ka pol­skiego. Jeśli rodz­ic powie dziecku „Dosta­niesz na gwiazd­kę ro­wer lub tablet”, to dziecko, ufa­jąc rodz­i­cowi, jest spo­kojne, że nie będzie tak, że nie dostanie ani jed­nego, ani drugiego. Jest to więc przy­padek, w którym reali­zuje się ten ogól­ny schemat:

Definic­ja alter­naty­wy:
p ˅ q = df ¬(¬p ˄ ¬q).

Pora na pytanie, które niezmi­en­nie nasuwa się czytel­nikom i słuchac­zom wywodów o alter­naty­wie. Przyjmi­jmy, że dziecko dostało oba prezen­ty naraz, a rodz­ic komen­tu­je to powiedze­niem: „Dostałeś ro­wer lub tablet”. Czy było­by to trafne określe­nie za­istniałego stanu rzeczy? Był­by to błąd w sztuce ko­munikacji, bo w mowie potocznej „lub” sto­su­je­my dla wyraże­nia naszej niepewnoś­ci, który człon dostąpi re­alizacji, a gdy już wiemy, że real­iza­cji dostąpił i jeden, i dru­gi, „lub” traci sens, jest nato­mi­ast sen­sowne powiedzieć „i”. Lo­gika jed­nak nie jest od wnika­nia w tajni­ki komu­nikacji, a tylko od bada­nia, co ma wpływ na prawdzi­wość kon­kluzji w naszych rozu­mowa­ni­ach. Ma go zwrot „przy­najmniej jed­no z dwo­j­ga”, zaś dla wygody utarło się wśród logików zastępować go krótkim „lub”.

W naszej mowie codzi­en­nej częs­to uży­wamy spójni­ka „lub” bez tej intencji posz­erza­jącej w słowach „przy­na­jm­niej jed­no z dwo­j­ga”. Taki sens „lub” jest nam na co dzień potrzeb­ny, sko­ro tak, się przyjął.

Gdy go defini­u­je­my przez rów­na­nia zero-jedynkowe, mamy układ:

1 lub 1 = 0, 1 lub 0 = 1, 0 lub 1 = 1, 0 lub 0 = 0.

Moż­na potoczne „lub” zdefin­iować w taki sposób jak wyżej i będzie to pełno­prawny uczest­nik zbioru spójników log­icznych. Spójnik alterna­tywy jed­nakże, taki jak go określa definic­ja, nadal będzie potrzeb­ny w naszym myśle­niu; np. matem­aty­cy nie mogą się bez niego obe­jść w dowodze­niu twierdzeń, a infor­maty­cy potrze­bu­ją go do kon­struowa­nia bramek log­icznych w pro­ce­so­rach.

Definicja implikacji: nie jest tak, że to, a nie tamto

Wśród znaczeń łacińskiego impli­care mamy: wiązać, wcią­gać, poci­a­gać itp. Wyko­rzys­ta­jmy ostat­nie z tych słów. Pocią­ganie (czyli imp­likowanie) jest to sto­sunek zachodzą­cy w obrę­bie zda­nia warunk­owego (czyli im­plikacji): p(oprzednik) imp­liku­je n(astępnik). Symbo­licznie zapisu­je­my to zdaniem p → n, a potocznie: jeśli p, to n.

Oto definic­ja imp­likacji za pomocą koni­unkcji z negacją:

Definic­ja imp­likacji:
p → n = df ¬(p ˄ ¬n).

Ist­nieje więc ekwi­wa­lent znaczeniowy imp­likacji bez uży­cia „jeśli”. Niech to ilus­tru­je scen­ka sprzecz­ki. Paweł zarzu­ca Gawłowi niesłowność, niedotrzy­manie obiet­ni­cy, że nie będzie nocą hała­sował. Gaweł broni się wskazaniem na znaną otocze­niu cechę swego cha­rakteru („Ob. 1” oznacza pier­wsze zdanie obrony):

Ob. 1: Jeżeli daję słowo (s), to go dotrzy­mu­ję (d).

Sym­bol­icznie: s → d. Żeby wzmoc­nić reto­rycznie tę deklarację, Gaweł pow­tarza ją na inny sposób, do czego jest log­icznie uprawniony na mocy definicji imp­likacji.

Ob. 2: Nie zdarza się, żebym dał słowo i go nie do­trzymał. Sym­bol­icznie:
¬(s ˄ ¬d).

Wybier­a­jąc for­mę Ob. 2, Gaweł stwarza sytu­ację, w której ponowie­nie zarzu­tu przez Pawła pole­gało­by na zaprzecze­niu tej formie, co będzie negacją negacji, a więc sprowadze­niem zarzu­tu do formy koni­unkcji: s ˄ ¬d. W tym punkcie łat­wo jest Gawłowi o ripostę: „Wymień choć jeden przy­padek, kiedy tak było”. O ile się to Pawłowi nie uda, zna­jdzie się on na stra­conej
pozy­cji.

Jest więc powód, żeby pol­u­bić tę zgrab­ną postać log­iczną, wzorem młodzień­ca opisanego limerykiem:

Pewien młodz­ian zac­nej nacji
zakochany był w Negacji.
A że ser­ca nie żałował,
Koni­unkcję też adorował,
z tak miłej rad kom­bi­nacji.


Witold Mar­ciszews­ki – Pro­fe­sor dr hab. nauk human­isty­cznych w zakre­sie logi­ki. Wykładał na UW, w Col­legium Civ­i­tas, Uni­w­er­syte­cie w Salzbur­gu i in. Jego najbardziej znana książ­ka to Log­ic from a Rhetor­i­cal Point of View (Wyd. de Gruyter). Prowadzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bione zaję­cie: roz­mowy z żoną na wszelkie tem­aty.

Tekst jest dostęp­ny na licencji: Uznanie autorstwa-Na tych samych warunk­ach 3.0 Pol­s­kaW pełnej wer­sji graficznej jest dostęp­ny w pliku PDF.

< Powrót do spisu treś­ci numeru.

Ilus­trac­ja: Mal­wina Adaszek

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wesprzeć tę inicjatywę dowolną kwotą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakładki „WSPARCIE” na naszej stronie, klikając poniższy link. Klik: Chcę wesprzeć „Filozofuj!”

Polecamy