Artykuł Logika

Witold Marciszewski: #9. Współpraca koniunkcji z negacją w definiowaniu innych operatorów

Szkic ten nawiązuje do przytoczonej w poprzednim odcinku „przypowieści”, która mówiła o stosunku bieguna magnetycznego do geogra­ficznego na północy. Magnetyczny nie pokrywa się z geo­graficznym, a jednak wiarygodnie wskazuje, jak się na niego kie­rować. Operatory logiki symbolicznej niuansami znaczeniowymi różnią się od ich odpowiedników w języku polskim. A przecież wiarygodnie wskazują na treść i moc logiczną tych drugich. Rozważmy ów stosu­nek w przypadku alternatywy i implikacji.

Najnowszy numer: Edukacja moralna

Zapisz się do newslettera:

---

Filozofuj z nami w social media

Nume­ry dru­ko­wa­ne moż­na zamó­wić onli­ne > tutaj. Pre­nu­me­ra­tę na rok 2017 moż­na zamó­wić > tutaj.

Magazyn można też nabyć od 2 października w salonikach prasowych wielu sieci. Szczegóły zob. > tutaj.

Aby dobro­wol­nie WESPRZEĆ naszą ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą, klik­nij „TUTAJ”.

Tekst uka­zał się w „Filo­zo­fuj” 2017 nr 3 (15), s. 26–27.  W peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.


Definicja alternatywy:
co najmniej jedno z…

Ope­ra­tor alter­na­ty­wy p ˅ q może­my defi­nio­wać na dwa spo­so­by. W jed­nym poda­je się układ rów­nań zero-jedyn­ko­wych; mówią one, jaka ma być war­tość logicz­na zdań skła­do­wych, żeby zda­nie zło­żo­ne (p lub q) mia­ło war­tość logicz­ną praw­dy; tak postę­po­wa­li­śmy w przy­pad­ku nega­cji i koniunk­cji (#7 i #8). Podob­nie będzie teraz z alternatywą.

Alter­na­ty­wa: p ˅ q, tj. co naj­mniej jed­no z dwoj­ga: p lub q.

Defi­ni­cja przez układ równań:
1 ˅ 1 = 1, 1 ˅ 0 = 1, 0 ˅ 1 = 1, 0 ˅ 0 = 0.

Przy­kład. Zda­nie „Pada deszcz lub świe­ci słoń­ce” jest praw­dzi­we przy trzech kom­bi­na­cjach 0 i 1, mianowi­cie gdy zacho­dzą obie sytu­acje lub zacho­dzi przy­naj­mniej jed­na z nich (obo­jęt­nie któ­ra). Fał­szy­we jest wte­dy i tyl­ko wte­dy, gdy żad­na sytu­acja nie speł­nia zdań skła­do­wych, czy­li gdy oba mają war­tość 0.

Dru­gi spo­sób defi­nio­wa­nia pole­ga na tym, że trak­tujemy sym­bo­le nega­cji i koniunk­cji jako zro­zu­mia­łe dzię­ki wcze­śniej­sze­mu obda­rze­niu ich sen­sem przez ukła­dy rów­nań zero-jedyn­ko­wych. Sym­bol alter­na­ty­wy nato­miast, dotąd nie­wy­stę­pu­ją­cy i nie­zde­fi­nio­wa­ny, uczy­ni­my zrozu­miałym przez zde­fi­nio­wa­nie go za pomo­cą ter­mi­nów już obec­nych w języku.

Intu­icję pro­wa­dzą­cą do tej defi­ni­cji mamy zako­dowaną w regu­łach zna­cze­nio­wych języ­ka pol­skie­go. Jeśli rodzic powie dziec­ku „Dosta­niesz na gwiazd­kę ro­wer lub tablet”, to dziec­ko, ufa­jąc rodzi­co­wi, jest spo­kojne, że nie będzie tak, że nie dosta­nie ani jed­ne­go, ani dru­gie­go. Jest to więc przy­pa­dek, w któ­rym reali­zuje się ten ogól­ny schemat:

Defi­ni­cja alternatywy:
p ˅ q = df ¬(¬p ˄ ¬q).

Pora na pyta­nie, któ­re nie­zmien­nie nasu­wa się czy­tel­ni­kom i słu­cha­czom wywo­dów o alter­na­ty­wie. Przyj­mij­my, że dziec­ko dosta­ło oba pre­zen­ty naraz, a rodzic komen­tu­je to powie­dze­niem: „Dosta­łeś ro­wer lub tablet”. Czy było­by to traf­ne okre­śle­nie za­istniałego sta­nu rze­czy? Był­by to błąd w sztu­ce ko­munikacji, bo w mowie potocz­nej „lub” sto­su­je­my dla wyra­że­nia naszej nie­pew­no­ści, któ­ry człon dostą­pi re­alizacji, a gdy już wie­my, że reali­za­cji dostą­pił i jeden, i dru­gi, „lub” tra­ci sens, jest nato­miast sen­sow­ne powie­dzieć „i”. Lo­gika jed­nak nie jest od wni­ka­nia w taj­ni­ki komu­ni­ka­cji, a tyl­ko od bada­nia, co ma wpływ na praw­dzi­wość kon­kluzji w naszych rozu­mo­wa­niach. Ma go zwrot „przy­najmniej jed­no z dwoj­ga”, zaś dla wygo­dy utar­ło się wśród logi­ków zastę­po­wać go krót­kim „lub”.

W naszej mowie codzien­nej czę­sto uży­wa­my spój­ni­ka „lub” bez tej inten­cji posze­rza­ją­cej w sło­wach „przy­naj­mniej jed­no z dwoj­ga”. Taki sens „lub” jest nam na co dzień potrzeb­ny, sko­ro tak, się przyjął.

Gdy go defi­niu­je­my przez rów­na­nia zero-jedyn­ko­we, mamy układ:

1 lub 1 = 0, 1 lub 0 = 1, 0 lub 1 = 1, 0 lub 0 = 0.

Moż­na potocz­ne „lub” zde­fi­nio­wać w taki spo­sób jak wyżej i będzie to peł­no­praw­ny uczest­nik zbio­ru spój­ni­ków logicz­nych. Spój­nik alterna­tywy jed­nak­że, taki jak go okre­śla defi­ni­cja, nadal będzie potrzeb­ny w naszym myśle­niu; np. mate­ma­ty­cy nie mogą się bez nie­go obejść w dowo­dze­niu twier­dzeń, a infor­ma­ty­cy potrze­bu­ją go do kon­stru­owa­nia bra­mek logicz­nych w procesorach.

Definicja implikacji: nie jest tak, że to, a nie tamto

Wśród zna­czeń łaciń­skie­go impli­ca­re mamy: wią­zać, wcią­gać, pocia­gać itp. Wyko­rzy­staj­my ostat­nie z tych słów. Pocią­ga­nie (czy­li impli­ko­wa­nie) jest to sto­su­nek zacho­dzą­cy w obrę­bie zda­nia warun­ko­we­go (czy­li im­plikacji): p(oprzednik) impli­ku­je n(astępnik). Symbo­licznie zapi­su­je­my to zda­niem p → n, a potocz­nie: jeśli p, to n.

Oto defi­ni­cja impli­ka­cji za pomo­cą koniunk­cji z negacją:

Defi­ni­cja implikacji:
p → n = df ¬(p ˄ ¬n).

Ist­nie­je więc ekwi­wa­lent zna­cze­nio­wy impli­ka­cji bez uży­cia „jeśli”. Niech to ilu­stru­je scen­ka sprzecz­ki. Paweł zarzu­ca Gaw­ło­wi nie­słow­ność, nie­do­trzy­ma­nie obiet­ni­cy, że nie będzie nocą hała­so­wał. Gaweł bro­ni się wska­za­niem na zna­ną oto­cze­niu cechę swe­go cha­rakteru („Ob. 1” ozna­cza pierw­sze zda­nie obrony):

Ob. 1: Jeże­li daję sło­wo (s), to go dotrzy­mu­ję (d).

Sym­bo­licz­nie: s → d. Żeby wzmoc­nić reto­rycz­nie tę dekla­ra­cję, Gaweł powta­rza ją na inny spo­sób, do cze­go jest logicz­nie upraw­nio­ny na mocy defi­ni­cji implikacji.

Ob. 2: Nie zda­rza się, żebym dał sło­wo i go nie do­trzymał. Symbolicznie:
¬(s ˄ ¬d).

Wybie­ra­jąc for­mę Ob. 2, Gaweł stwa­rza sytu­ację, w któ­rej pono­wie­nie zarzu­tu przez Paw­ła pole­ga­ło­by na zaprze­cze­niu tej for­mie, co będzie nega­cją nega­cji, a więc spro­wa­dze­niem zarzu­tu do for­my koniunk­cji: s ˄ ¬d. W tym punk­cie łatwo jest Gaw­ło­wi o ripo­stę: „Wymień choć jeden przy­pa­dek, kie­dy tak było”. O ile się to Paw­ło­wi nie uda, znaj­dzie się on na straconej
pozycji.

Jest więc powód, żeby polu­bić tę zgrab­ną postać logicz­ną, wzo­rem mło­dzień­ca opi­sa­ne­go limerykiem:

Pewien mło­dzian zacnej nacji 
zako­cha­ny był w Negacji.
A że ser­ca nie żałował,
Koniunk­cję też adorował, 
z tak miłej rad kombinacji.


Witold Mar­ci­szew­ski – Pro­fe­sor dr hab. nauk huma­ni­stycz­nych w zakre­sie logi­ki. Wykła­dał na UW, w Col­le­gium Civi­tas, Uni­wer­sy­te­cie w Sal­zbur­gu i in. Jego naj­bar­dziej zna­na książ­ka to Logic from a Rhe­to­ri­cal Point of View (Wyd. de Gruy­ter). Pro­wa­dzi blog: marciszewski.eu. Ulu­bio­ne zaję­cie: roz­mo­wy z żoną na wszel­kie tematy.

Tekst jest dostęp­ny na licen­cji: Uzna­nie autor­stwa-Na tych samych warun­kach 3.0 Pol­skaW peł­nej wer­sji gra­ficz­nej jest dostęp­ny w pli­ku PDF.

< Powrót do spi­su tre­ści nume­ru.

Ilu­stra­cja: Mal­wi­na Adaszek

Dołącz do Załogi F! Pomóż nam tworzyć jedyne w Polsce czasopismo popularyzujące filozofię. Na temat obszarów współpracy można przeczytać tutaj.

Reklama

Wesprzyj „Filozofuj!” finansowo

Jeśli chcesz wes­przeć tę ini­cja­ty­wę dowol­ną kwo­tą (1 zł, 2 zł lub inną), przejdź do zakład­ki WSPARCIE na naszej stro­nie, kli­ka­jąc poniż­szy link. Klik: Chcę wes­przeć „Filo­zo­fuj!”

Polecamy